Центростремительная сила

Сила, направленная к центру вращения

Частица выводится из своего равномерного линейного движения серией коротких толчков (1, 2, ...), придавая ее траектории почти круговую форму. Сила называется центростремительной силой в пределе непрерывно действующей силы, направленной к центру кривизны траектории.

Центростремительная сила (от лат. centrum , «центр» и petere , «стремиться» ^[1] ) — это сила , которая заставляет тело следовать по криволинейной траектории . Направление центростремительной силы всегда ортогонально движению тела и к фиксированной точке мгновенного центра кривизны траектории. Исаак Ньютон описывал ее как «силу, посредством которой тела притягиваются или толкаются, или каким-либо образом стремятся к точке как к центру». ^[2] В ньютоновской механике гравитация обеспечивает центростремительную силу, вызывающую астрономические орбиты .

Одним из распространенных примеров центростремительной силы является случай, когда тело движется с постоянной скоростью по круговой траектории. Центростремительная сила направлена ​​под прямым углом к ​​движению, а также вдоль радиуса к центру круговой траектории. ^{[3] [4]} Математическое описание было получено в 1659 году голландским физиком Христианом Гюйгенсом . ^{[5] [6]}

Формула

Из кинематики криволинейного движения известно, что объект, движущийся с тангенциальной скоростью v по траектории с радиусом кривизны r, ускоряется к центру кривизны со скоростью a c = lim Δ t → 0 Δ v Δ t , a c = v 2 r {\displaystyle {\textbf {a}}_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\textbf {v}}}{\Delta t}},\quad a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}} Здесь — центростремительное ускорение , а — разность векторов скорости при и . ${\displaystyle a_{c}}$ ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$ ${\displaystyle t+\Delta {t}}$ ${\displaystyle t}$

Согласно второму закону Ньютона , причиной ускорения является результирующая сила, действующая на объект, которая пропорциональна его массе m и его ускорению. Сила, обычно называемая центростремительной силой , имеет величину ^[7] F c = m a c = m v 2 r {\displaystyle F_{c}=ma_{c}=m{\frac {v^{2}}{r}}} и, как и центростремительное ускорение, направлена ​​к центру кривизны траектории объекта.

Вывод

Центростремительное ускорение можно вывести из диаграммы векторов скорости в двух случаях. В случае равномерного кругового движения скорости имеют постоянную величину. Поскольку каждая из них перпендикулярна соответствующему ей вектору положения, простое вычитание векторов подразумевает два подобных равнобедренных треугольника с конгруэнтными углами – один содержит основание и длину катета , а другой – основание ( разность векторов положения ) и длину катета : ^[8] Следовательно, можно заменить на : ^[8] Направление силы – к центру окружности, по которой движется объект, или к соприкасающейся окружности (окружности, которая наилучшим образом соответствует локальной траектории объекта, если траектория не круговая). ^[9] Скорость в формуле квадратична, поэтому для удвоенной скорости требуется удвоенная сила при заданном радиусе. ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}}$$ $${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$$ ${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|}$ ${\displaystyle {\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$ $${\displaystyle a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}={\frac {v}{r}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=\omega \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$$

Эту силу иногда также записывают через угловую скорость ω объекта относительно центра окружности, связанную с тангенциальной скоростью формулой : $${\displaystyle v=\omega r}$$ $${\displaystyle F_{c}=mr\omega ^{2}\,.}$$

Выраженное с использованием орбитального периода T для одного оборота окружности, ω = 2 π T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}} уравнение становится ^[10] $${\displaystyle F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.}$$

В ускорителях частиц скорость может быть очень высокой (близкой к скорости света в вакууме), поэтому та же самая масса покоя теперь оказывает большую инерцию (релятивистскую массу), тем самым требуя большей силы для того же центростремительного ускорения, поэтому уравнение становится следующим: ^[11] где γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} — фактор Лоренца . $${\displaystyle F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}}$$

Таким образом, центростремительная сила определяется выражением: которая представляет собой скорость изменения релятивистского импульса . $${\displaystyle F_{c}=\gamma mv\omega }$$ ${\displaystyle \gamma mv}$

Источники

Телу, совершающему равномерное круговое движение, для поддержания круговой траектории необходима центростремительная сила, направленная по направлению к оси, как показано на рисунке.

В случае объекта, который качается на конце веревки в горизонтальной плоскости, центростремительная сила на объекте создается натяжением веревки. Пример веревки является примером, включающим силу «тяги». Центростремительная сила может также быть предоставлена ​​как сила «толкания», например, в случае, когда нормальная реакция стены создает центростремительную силу для стены смерти или райдера Ротора .

Идея Ньютона о центростремительной силе соответствует тому, что в настоящее время называют центральной силой . Когда спутник находится на орбите вокруг планеты , гравитация считается центростремительной силой, хотя в случае эксцентрических орбит гравитационная сила направлена ​​к фокусу, а не к мгновенному центру кривизны. ^[12]

Другой пример центростремительной силы возникает в спирали, которая вычерчивается при движении заряженной частицы в однородном магнитном поле при отсутствии других внешних сил. В этом случае магнитная сила является центростремительной силой, которая действует по направлению к оси спирали.

Анализ нескольких случаев

Ниже приведены три примера возрастающей сложности с выводами формул, определяющих скорость и ускорение.

Равномерное круговое движение

Равномерное круговое движение относится к случаю постоянной скорости вращения. Вот два подхода к описанию этого случая.

Вывод исчисления

В двух измерениях радиус-вектор , имеющий величину (длину) и направленный под углом к ​​оси x, можно выразить в декартовых координатах с помощью единичных векторов и : ^[13] ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ $${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}.}$$

Предположение о равномерном круговом движении требует трех вещей:

1. Объект движется только по окружности.
2. Радиус окружности не меняется со временем. ${\displaystyle r}$
3. Объект движется с постоянной угловой скоростью по окружности. Следовательно, где время. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta =\omega t}$ ${\displaystyle t}$

Скорость и ускорение движения являются первой и второй производными положения по времени: ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}}$

$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$ v = r ˙ = − r ω sin ⁡ ( ω t ) x ^ + r ω cos ⁡ ( ω t ) y ^ , {\displaystyle {\textbf {v}}={\dot {\textbf {r}}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},} a = r ¨ = − ω 2 ( r cos ⁡ ( ω t ) x ^ + r sin ⁡ ( ω t ) y ^ ) . {\displaystyle {\textbf {a}}={\ddot {\textbf {r}}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t) {\hat {\mathbf {y} }}).}

Термин в скобках — это исходное выражение в декартовых координатах . Следовательно, отрицательное показывает, что ускорение направлено к центру окружности (противоположно радиусу), поэтому оно называется «центростремительным» (т.е. «стремящимся к центру»). В то время как объекты естественным образом следуют по прямолинейному пути (из-за инерции ), это центростремительное ускорение описывает круговую траекторию движения, вызванную центростремительной силой. ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ $${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$$

Вывод с использованием векторов

Векторные соотношения для равномерного кругового движения; вектор Ω, представляющий вращение, перпендикулярен плоскости орбиты с полярностью, определяемой правилом правой руки , и величиной dθ / dt .

Изображение справа показывает векторные соотношения для равномерного кругового движения. Само вращение представлено вектором угловой скорости Ω , который перпендикулярен плоскости орбиты (используя правило правой руки ) и имеет величину, заданную как:

${\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \ ,}$

где θ — угловое положение в момент времени t . В этом подразделе d θ /d t предполагается постоянным, не зависящим от времени. Расстояние, пройденное dℓ частицей за время d t по круговой траектории, равно

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\ ,}$

который, по свойствам векторного произведения , имеет величину r d θ и направлен по касательной к окружности.

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Другими словами,

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .}$

Дифференцируя по времени, $${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$$

Формула Лагранжа гласит: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$$

Применяя формулу Лагранжа с учетом того, что Ω • r ( t ) = 0 в любое время, $${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$$

На словах ускорение всегда направлено прямо противоположно радиальному смещению r и имеет величину: где вертикальные черты |...| обозначают величину вектора, которая в случае r ( t ) является просто радиусом r траектории. Этот результат согласуется с предыдущим разделом, хотя обозначения немного отличаются. $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}}$$

Если при анализе неравномерного кругового движения скорость вращения сделать постоянной, то этот анализ согласуется с этим.

Достоинством векторного подхода является то, что он явно независим от какой-либо системы координат.

Пример: поворот с наклоном

Верхняя панель: Шарик на наклонной круговой дорожке, движущийся с постоянной скоростью v ; Нижняя панель: Силы, действующие на шар

Верхняя панель на изображении справа показывает мяч, движущийся по круговой кривой с наклоном. Кривая наклонена под углом θ к горизонтали, а поверхность дороги считается скользкой. Цель состоит в том, чтобы найти, какой угол наклона должен быть у наклона, чтобы мяч не соскользнул с дороги. ^[14] Интуиция подсказывает нам, что на плоской кривой без наклона мяч просто соскользнет с дороги; в то время как при очень крутом наклоне мяч скатится к центру, если только он не будет быстро двигаться по кривой.

Помимо любого ускорения, которое может возникнуть в направлении пути, нижняя панель изображения выше показывает силы, действующие на мяч. Существует две силы: одна — сила тяжести, направленная вертикально вниз через центр масс мяча mg , где m — масса мяча, а g — ускорение свободного падения ; вторая — направленная вверх _{нормальная} сила, оказываемая дорогой под прямым углом к ​​поверхности дороги man . Центростремительная сила, требуемая криволинейным движением, также показана выше. Эта центростремительная сила не является третьей силой, приложенной к мячу, а скорее должна быть обеспечена чистой силой, действующей на мяч, возникающей в результате векторного сложения нормальной силы и силы тяжести . Результирующая или чистая сила, действующая на мяч, найденная путем векторного сложения нормальной силы, оказываемой дорогой, и вертикальной силы, обусловленной гравитацией, должна равняться центростремительной силе, диктуемой необходимостью движения по круговой траектории. Криволинейное движение сохраняется до тех пор, пока эта чистая сила обеспечивает центростремительную силу, необходимую для движения.

Горизонтальная чистая сила на мяче - это горизонтальная составляющая силы от дороги, которая имеет величину | F _h | = m | a _n | sin θ . Вертикальная составляющая силы от дороги должна противодействовать силе тяготения: | F _v | = m | a _n | cos θ = m | g | , что подразумевает | a _n | = | g | / cos θ . Подстановка в приведенную выше формулу для | F _h | дает горизонтальную силу: | F h | = m | g | sin ⁡ θ cos ⁡ θ = m | g | tan ⁡ θ . {\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=m|\mathbf {g} |\tan \theta \,.}

С другой стороны, при скорости | v | на круговой траектории радиуса r кинематика утверждает, что сила, необходимая для непрерывного поворота мяча в сторону поворота, представляет собой радиально направленную внутрь центростремительную силу F _c величиной: $${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,.}$$

Следовательно, мяч находится на устойчивой траектории, когда угол наклона дороги установлен так, чтобы удовлетворять условию: или, $${\displaystyle m|\mathbf {g} |\tan \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,,}$$ $${\displaystyle \tan \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\,.}$$

Когда угол наклона θ приближается к 90°, функция касательной стремится к бесконечности, допуская большие значения для | v | ² / r . На словах это уравнение гласит, что для больших скоростей (больше | v |) дорога должна иметь более крутой наклон (большее значение для θ ), а для более крутых поворотов (меньше r ) дорога также должна иметь более крутой наклон, что согласуется с интуицией. Когда угол θ не удовлетворяет вышеуказанному условию, горизонтальная составляющая силы, оказываемой дорогой, не обеспечивает правильной центростремительной силы, и для обеспечения разницы требуется дополнительная сила трения, касательная к поверхности дороги. Если трение не может этого сделать (то есть коэффициент трения превышен), мяч скользит к другому радиусу, где может быть реализован баланс. ^{[15] [16]}

Эти идеи применимы и к воздушным полетам. См. руководство пилота FAA. ^[17]

Неравномерное круговое движение

/ Р.​

В качестве обобщения случая равномерного кругового движения предположим, что угловая скорость вращения не является постоянной. Ускорение теперь имеет тангенциальную составляющую, как показано на рисунке справа. Этот случай используется для демонстрации стратегии вывода, основанной на полярной системе координат .

Пусть r ( t ) будет вектором, который описывает положение точечной массы как функцию времени. Поскольку мы предполагаем круговое движение , пусть r ( t ) = R · u _r , где R - константа (радиус окружности), а u _r - единичный вектор, направленный от начала координат к точечной массе. Направление u _r описывается θ , углом между осью x и единичным вектором, измеренным против часовой стрелки от оси x. Другой единичный вектор для полярных координат, u _{θ ,} перпендикулярен u _r и указывает в направлении увеличения θ . Эти полярные единичные векторы могут быть выражены через декартовы единичные векторы в направлениях x и y , обозначенные и соответственно: ^[18] и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{r}=\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{\theta }=-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}.}$$

Для нахождения скорости можно выполнить дифференциацию: где ω — угловая скорость dθ / dt . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=r{\frac {d\mathbf {u} _{r}}{dt}}\\&=r{\frac {d}{dt}}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\left(-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }\\&=\omega r\mathbf {u} _{\theta }\end{aligned}}}$$

Этот результат для скорости соответствует ожиданиям, что скорость должна быть направлена ​​по касательной к окружности, и что величина скорости должна быть rω . Дифференцируя снова и отмечая, что мы находим, что ускорение a равно: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{r}=-\omega \mathbf {u} _{r}\ ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} =r\left({\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}\mathbf {u} _{r}\right)\ .}$$

Таким образом, радиальная и тангенциальная составляющие ускорения равны: и где | v | = r ω — величина скорости (скорость). $${\displaystyle \mathbf {a} _{r}=-\omega ^{2}r\ \mathbf {u} _{r}=-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ \mathbf {u} _{r}}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{\theta }=r\ {\frac {d\omega }{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }={\frac {d|\mathbf {v} |}{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }\ ,}$$

Эти уравнения математически выражают, что в случае объекта, движущегося по круговой траектории с изменяющейся скоростью, ускорение тела можно разложить на перпендикулярную составляющую , которая изменяет направление движения (центростремительное ускорение), и параллельную, или тангенциальную, составляющую , которая изменяет скорость.

Общее плоскостное движение

Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что настройка не ограничена двумерным пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Полярные единичные векторы в два момента времени t и t + dt для частицы с траекторией r ( t ); слева единичные векторы u _ρ и u _θ в два момента времени смещены так, что их хвосты встречаются, и показано, что они описывают дугу окружности единичного радиуса. Их вращение во времени dt равно d θ, как раз тому же углу, что и вращение траектории r ( t ).

Полярные координаты

Вышеуказанные результаты могут быть получены, возможно, более просто в полярных координатах , и в то же время расширены на общее движение в плоскости, как показано далее. Полярные координаты в плоскости используют радиальный единичный вектор u _ρ и угловой единичный вектор u _θ , как показано выше. ^[19] Частица в положении r описывается следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\ ,}$$

где обозначение ρ используется для описания расстояния пути от начала координат вместо R, чтобы подчеркнуть, что это расстояние не фиксировано, а меняется со временем. Единичный вектор u _ρ движется вместе с частицей и всегда указывает в том же направлении, что и r ( t ). Единичный вектор u _θ также движется вместе с частицей и остается ортогональным к u _ρ . Таким образом, u _ρ и u _θ образуют локальную декартову систему координат, прикрепленную к частице и привязанную к пути, пройденному частицей. ^[20] Перемещая единичные векторы так, чтобы их хвосты совпадали, как показано на круге слева на изображении выше, видно, что u _ρ и u _θ образуют прямоугольную пару с кончиками на единичной окружности, которые следуют вперед и назад по периметру этой окружности с тем же углом θ ( t ), что и r ( t ).

Когда частица движется, ее скорость равна

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\,.}$

Для оценки скорости необходима производная единичного вектора u _{ρ . Поскольку} u _ρ является единичным вектором, его величина фиксирована и может изменяться только по направлению, то есть его изменение d u _ρ имеет компоненту, перпендикулярную только u _ρ . Когда траектория r ( t ) поворачивается на величину d θ , u _ρ , которая указывает в том же направлении, что и r ( t ), также поворачивается на d θ . Смотрите изображение выше. Следовательно, изменение u _ρ равно

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }=\mathbf {u} _{\theta }\mathrm {d} \theta \,,}$

или

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,.}$

Аналогичным образом находится скорость изменения u _{θ . Как и в случае с} u _ρ , u _θ является единичным вектором и может вращаться только без изменения размера. Чтобы оставаться ортогональным к u _ρ , пока траектория r ( t ) вращается на величину d θ , u _θ , которая ортогональна r ( t ), также вращается на d θ . См. изображение выше. Следовательно, изменение d u _θ ортогонально u _θ и пропорционально d θ (см. изображение выше):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\,.}$

Уравнение выше показывает, что знак отрицательный: для сохранения ортогональности, если d u _ρ положительно с d θ , то d u _θ должно уменьшаться.

Подставим производную u _ρ в выражение для скорости:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\,.}$

Для получения ускорения выполняется еще одно дифференцирование по времени:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\,.}$

Подставляя производные u _ρ и u _θ , ускорение частицы равно: ^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho }\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} v_{\rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {2}{\rho }}v_{\rho }v_{\theta }+\rho {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\theta }}{\rho }}\right]\,.\end{aligned}}}$

В качестве частного примера, если частица движется по окружности постоянного радиуса R , то d ρ /d t = 0, v = v _θ и:

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\ }$$

где ${\displaystyle v=v_{\theta }.}$

Эти результаты согласуются с результатами, приведенными выше для неравномерного кругового движения. См. также статью о неравномерном круговом движении . Если это ускорение умножить на массу частицы, то главный член будет центростремительной силой, а отрицательный член второго члена, относящийся к угловому ускорению, иногда называют силой Эйлера . ^[22]

Для траекторий, отличных от кругового движения, например, более общей траектории, представленной на изображении выше, мгновенный центр вращения и радиус кривизны траектории связаны только косвенно с системой координат, определяемой u _ρ и u _θ , и с длиной | r ( t )| = ρ . Следовательно, в общем случае не так просто отделить центростремительные и эйлеровы члены от приведенного выше общего уравнения ускорения. ^{[23] [24]} Чтобы напрямую разобраться с этой проблемой, предпочтительны локальные координаты, как обсуждается далее.

Местные координаты

Локальная система координат для плоского движения по кривой. Показаны два различных положения для расстояний s и s + ds вдоль кривой. В каждом положении s единичный вектор u _n направлен вдоль внешней нормали к кривой, а единичный вектор u _t касается траектории. Радиус кривизны траектории равен ρ и определяется из скорости вращения касательной к кривой относительно длины дуги и является радиусом соприкасающейся окружности в положении s . Единичная окружность слева показывает вращение единичных векторов с s .

Локальные координаты означают набор координат, которые перемещаются вместе с частицей, ^[25] и имеют ориентацию, определяемую траекторией частицы. ^[26] Единичные векторы формируются, как показано на изображении справа, как касательные, так и нормальные к траектории. Эту систему координат иногда называют внутренними или координатами траектории ^{[27] [28]} или nt-координатами , для нормально-касательных , ссылаясь на эти единичные векторы. Эти координаты являются очень частным примером более общей концепции локальных координат из теории дифференциальных форм. ^[29]

Расстояние вдоль траектории частицы — это длина дуги s , считающаяся известной функцией времени.

${\displaystyle s=s(t)\ .}$

Центр кривизны определяется в каждой точке s, расположенной на расстоянии ρ ( радиус кривизны ) от кривой на линии вдоль нормали u _n ( s ). Требуемое расстояние ρ ( s ) на длине дуги s определяется в терминах скорости вращения касательной к кривой, которая, в свою очередь, определяется самим путем. Если ориентация касательной относительно некоторой начальной точки равна θ ( s ), то ρ ( s ) определяется производной d θ /d s :

${\displaystyle {\frac {1}{\rho (s)}}=\kappa (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

Радиус кривизны обычно принимается положительным (то есть как абсолютная величина), тогда как кривизна κ является знаковой величиной.

Геометрический подход к нахождению центра кривизны и радиуса кривизны использует предельный процесс, приводящий к соприкасающейся окружности . ^{[30] [31]} См. изображение выше.

Используя эти координаты, движение по траектории рассматривается как последовательность круговых траекторий с постоянно меняющимся центром, и в каждой позиции s представляет собой неравномерное круговое движение в этой позиции с радиусом ρ . Локальное значение угловой скорости вращения тогда определяется как:

${\displaystyle \omega (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\rho (s)}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,}$

с местной скоростью v, определяемой по формуле:

${\displaystyle v(s)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Что касается других приведенных выше примеров, поскольку единичные векторы не могут изменять величину, скорость их изменения всегда перпендикулярна их направлению (см. левую вставку на изображении выше): ^[32]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;}$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)}{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {1}{\rho }}\ .}$

Следовательно, скорость и ускорение равны: ^{[31] [33] [34]}

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ;}$

и используя цепное правило дифференциации :

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$с тангенциальным ускорением ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\mathrm {d} } v}{\mathrm {\mathrm {d} } t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ v\ .}$

В этой локальной системе координат ускорение напоминает выражение для неравномерного кругового движения с локальным радиусом ρ ( s ), а центростремительное ускорение определяется как второй член. ^[35]

Распространение этого подхода на трехмерные пространственные кривые приводит к формулам Френе-Серре . ^{[36] [37]}

Альтернативный подход

Глядя на изображение выше, можно задаться вопросом, была ли адекватно учтена разница в кривизне между ρ ( s ) и ρ ( s + d s ) при вычислении длины дуги как d s = ρ ( s )d θ . Успокоение по этому вопросу можно найти, используя более формальный подход, описанный ниже. Этот подход также устанавливает связь со статьей о кривизне .

Чтобы ввести единичные векторы локальной системы координат, один из подходов состоит в том, чтобы начать с декартовых координат и описать локальные координаты в терминах этих декартовых координат. В терминах длины дуги s пусть путь будет описан как: ^[38] $${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right].}$$

Тогда приращение смещения вдоль пути d s описывается выражением: $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,}$$

где штрихи введены для обозначения производных по s . Величина этого смещения равна d s , показывая, что: ^[39]

${\displaystyle \left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right]=1\ .}$ (Уравнение 1)

Это смещение обязательно является касательной к кривой в точке s , показывая, что единичный вектор, касательный к кривой, равен: в то время как внешний единичный вектор, нормальный к кривой, равен $${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right],}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right],}$$

Ортогональность можно проверить, показав, что скалярное произведение векторов равно нулю. Единичная величина этих векторов является следствием уравнения 1. Используя касательный вектор, угол θ касательной к кривой определяется как: и $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$$ ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$

Радиус кривизны вводится совершенно формально (без необходимости геометрической интерпретации) как: $${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$$

Производную θ можно найти из производной sin θ : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}=\cos \theta {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$$

Теперь: в котором знаменатель равен единице. С этой формулой для производной синуса радиус кривизны становится: где эквивалентность форм вытекает из дифференцирования уравнения 1: С этими результатами можно найти ускорение: как можно проверить, взяв скалярное произведение с единичными векторами u _t ( s ) и u _n ( s ). Этот результат для ускорения такой же, как и для кругового движения на основе радиуса ρ . Используя эту систему координат в инерциальной системе отсчета, легко определить силу, нормальную к траектории, как центростремительную силу, а параллельную траектории — как касательную силу. С качественной точки зрения путь можно аппроксимировать дугой окружности на ограниченное время, и на ограниченное время применяется определенный радиус кривизны, центробежные и эйлеровы силы можно проанализировать на основе кругового движения с этим радиусом. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,}$$ $${\displaystyle x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0\ .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {v} (s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\end{aligned}}}$$

Этот результат для ускорения согласуется с полученным ранее. Однако в этом подходе вопрос изменения радиуса кривизны с s решается полностью формально, в соответствии с геометрической интерпретацией, но не опираясь на нее, тем самым избегая любых вопросов, которые может вызвать изображение выше относительно пренебрежения изменением ρ .

Пример: круговое движение

Чтобы проиллюстрировать приведенные выше формулы, пусть x , y заданы как:

${\displaystyle x=\alpha \cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ y=\alpha \sin {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

Затем:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}\ ,}$

который можно распознать как круговой путь вокруг начала координат с радиусом α . Положение s = 0 соответствует [ α , 0] или 3 часам. Для использования приведенного выше формализма необходимы производные:

${\displaystyle y^{\prime }(s)=\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime }(s)=-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,}$

${\displaystyle y^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\cos {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

С помощью этих результатов можно убедиться, что:

${\displaystyle x^{\prime }(s)^{2}+y^{\prime }(s)^{2}=1\ ;\ {\frac {1}{\rho }}=y^{\prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }}\ .}$

Единичные векторы также можно найти:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ;\ \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ,}$

которые служат для того, чтобы показать, что s = 0 находится в позиции [ ρ , 0] и s = ρ π/2 в [0, ρ ], что согласуется с исходными выражениями для x и y . Другими словами, s измеряется против часовой стрелки по окружности от 3 часов. Также можно найти производные этих векторов:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]=-{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$

${\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)={\frac {1}{\alpha }}\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]={\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ .}$

Для получения скорости и ускорения необходима зависимость s от времени. Для движения против часовой стрелки с переменной скоростью v ( t ):

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\ dt^{\prime }\ v(t^{\prime })\ ,}$

где v ( t ) — скорость, t — время, а s ( t = 0) = 0. Тогда:

${\displaystyle \mathbf {v} =v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ,}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+v{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-v{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ,}$

где уже установлено, что α = ρ. Это ускорение является стандартным результатом для неравномерного кругового движения .

Смотрите также

• Аналитическая механика
• Прикладная механика
• Теорема Бертрана
• Центральная сила
• Центробежная сила
• Круговое движение
• Классическая механика
• сила Кориолиса
• Динамика (физика)
• Эскимосское йо-йо
• Пример: круговое движение
• Фиктивная сила
• Формулы Френе-Серре
• История центробежных и центростремительных сил
• Кинематика
• Кинетика
• Механика движения плоской частицы
• Ортогональные координаты
• Реактивная центробежная сила
• Статика

Примечания и ссылки

1. Крейг, Джон (1849). Новый универсальный этимологический, технологический и орфоэпический словарь английского языка: охватывающий все термины, используемые в искусстве, науке и литературе, том 1. Гарвардский университет. стр. 291.Выдержка из страницы 291
2. Ньютон, Исаак (2010). Principia: математические принципы натуральной философии . [Sl]: Snowball Pub. стр. 10. ISBN 978-1-60796-240-3.
3. Рассел К Хиббелер (2009). "Уравнения движения: нормальные и тангенциальные координаты". Инженерная механика: Динамика (12-е изд.). Prentice Hall. стр. 131. ISBN 978-0-13-607791-6.
4. Пол Аллен Типлер; Джин Моска (2003). Физика для ученых и инженеров (5-е изд.). Macmillan. стр. 129. ISBN 978-0-7167-8339-8. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 4 ноября 2020 .
5. P. Germain; M. Piau; D. Caillerie, ред. (2012). Теоретическая и прикладная механика. Elsevier. ISBN 9780444600202.
6. «Что вам нужно знать о центростремительной силе». ThoughtCo . Получено 7 октября 2024 г. .
7. Крис Картер (2001). Факты и практика для A-Level: Физика . S.2.: Oxford University Press. стр. 30. ISBN 978-0-19-914768-7.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
8. OpenStax CNX. "Равномерное круговое движение". Архивировано из оригинала 7 октября 2024 г. Получено 25 декабря 2020 г.
9. Юджин Ломмель; Джордж Уильям Майерс (1900). Экспериментальная физика. K. Paul, Trench, Trübner & Co. стр. 63. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 г. Получено 30 марта 2021 г.
10. Колвелл, Кэтрин Х. "Вывод формул для центростремительного ускорения". PhysicsLAB . Архивировано из оригинала 15 августа 2011 г. Получено 31 июля 2011 г.
11. Конте, Марио; Маккей, Уильям В. (1991). Введение в физику ускорителей частиц. World Scientific. стр. 8. ISBN 978-981-4518-00-0. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 18 мая 2020 .Выдержка из страницы 8 Архивировано 7 октября 2024 г. на Wayback Machine
12. Тео Купелис (2010). В поисках Вселенной (6-е изд.). Jones & Bartlett Learning. стр. 83. ISBN 978-0-7637-6858-4.
13. AV Durrant (1996). Векторы в физике и технике. CRC Press. стр. 103. ISBN 978-0-412-62710-1.
14. Лоуренс С. Лернер (1997). Физика для ученых и инженеров. Бостон: Jones & Bartlett Publishers. стр. 128. ISBN 978-0-86720-479-7. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
15. Артур Бейзер (2004). Очерк прикладной физики Шаума. Нью-Йорк: McGraw-Hill Professional. стр. 103. ISBN 978-0-07-142611-4. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
16. Алан Дарбишир (2003). Машиностроение: BTEC National Option Units. Оксфорд: Newnes. стр. 56. ISBN 978-0-7506-5761-7. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
17. Федеральное управление гражданской авиации (2007). Энциклопедия авиационных знаний для пилотов. Оклахома-Сити, Оклахома: Skyhorse Publishing Inc. Рисунок 3–21. ISBN 978-1-60239-034-8. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
18. Примечание: в отличие от декартовых единичных векторов и , которые постоянны, в полярных координатах направление единичных векторов u _r и u _θ зависит от θ и, как правило, имеет ненулевые производные по времени. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$
19. Хотя полярная система координат движется вместе с частицей, наблюдатель — нет. Описание движения частицы остается описанием с точки зрения неподвижного наблюдателя.
20. Обратите внимание, что эта локальная система координат не является автономной; например, ее вращение во времени диктуется траекторией, проложенной частицей. Радиальный вектор r ( t ) не представляет радиус кривизны пути.
21. Джон Роберт Тейлор (2005). Классическая механика. Sausalito CA: University Science Books. стр. 28–29. ISBN 978-1-891389-22-1. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 4 ноября 2020 .
22. Корнелиус Ланцош (1986). Вариационные принципы механики. Нью-Йорк: Courier Dover Publications. стр. 103. ISBN 978-0-486-65067-8.
23. См., например, Howard D. Curtis (2005). Орбитальная механика для студентов-инженеров . Butterworth-Heinemann. стр. 5. ISBN 978-0-7506-6169-0.
24. SY Lee (2004). Физика ускорителей (2-е изд.). Hackensack NJ: World Scientific. стр. 37. ISBN 978-981-256-182-4. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
25. Наблюдатель движения вдоль кривой использует эти локальные координаты для описания движения из системы отсчета наблюдателя, то есть с неподвижной точки зрения. Другими словами, хотя локальная система координат движется вместе с частицей, наблюдатель — нет. Изменение системы координат, используемой наблюдателем, — это только изменение в его описании наблюдений, и не означает, что наблюдатель изменил свое состояние движения, и наоборот .
26. Zhilin Li; Kazufumi Ito (2006). Метод погруженного интерфейса: численные решения уравнений в частных производных, включающих интерфейсы и нерегулярные области. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. стр. 16. ISBN 978-0-89871-609-2. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
27. KL Kumar (2003). Инженерная механика. Нью-Дели: Tata McGraw-Hill. стр. 339. ISBN 978-0-07-049473-2. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
28. Лакшмана С. Рао; Дж. Лакшминарасимхан; Раджу Сетхураман; С. М. Шивакума (2004). Инженерная динамика: статика и динамика. Prentice Hall of India. стр. 133. ISBN 978-81-203-2189-2. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
29. Шигеюки Морита (2001). Геометрия дифференциальных форм . Американское математическое общество. стр. 1. ISBN 978-0-8218-1045-3. местные координаты.
30. Окружность соприкосновения в данной точке P на кривой является предельной окружностью последовательности окружностей, проходящих через P и две другие точки на кривой, Q и R , по обе стороны от P , когда Q и R приближаются к P. См. онлайн-текст Лэмба: Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. стр. 406. ISBN 978-1-108-00534-0. соприкасающийся круг.
31. Guang Chen; Fook Fah Yap (2003). Введение в плоскую динамику (3-е изд.). Central Learning Asia/Thomson Learning Asia. стр. 34. ISBN 978-981-243-568-2. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
32. Р. Дуглас Грегори (2006). Классическая механика: Учебник для студентов. Cambridge University Press. стр. 20. ISBN 978-0-521-82678-5. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
33. Эдмунд Тейлор Уиттекер ; Уильям МакКри (1988). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел: с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Cambridge University Press. стр. 20. ISBN 978-0-521-35883-5.
34. Джерри Х. Гинсберг (2007). Engineering Dynamics. Cambridge University Press. стр. 33. ISBN 978-0-521-88303-0.
35. Джозеф Ф. Шелли (1990). 800 решенных задач по векторной механике для инженеров: Динамика. McGraw-Hill Professional. стр. 47. ISBN 978-0-07-056687-3. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
36. Ларри К. Эндрюс; Рональд Л. Филлипс (2003). Математические методы для инженеров и ученых. SPIE Press. стр. 164. ISBN 978-0-8194-4506-3. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .
37. Ч. В. Рамана Мурти; Н. К. Шринивас (2001). Прикладная математика. Нью-Дели: S. Chand & Co. стр. 337. ISBN 978-81-219-2082-7. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 4 ноября 2020 .
38. В статье о кривизне рассматривается более общий случай, когда кривая параметризуется произвольной переменной (обозначаемой t ), а не длиной дуги s .
39. Ахмед А. Шабана; Халед Э. Заазаа; Хироюки Сугияма (2007). Динамика железнодорожного транспорта: вычислительный подход. CRC Press. стр. 91. ISBN 978-1-4200-4581-9. Архивировано из оригинала 7 октября 2024 . Получено 30 марта 2021 .

Дальнейшее чтение

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
• Центростремительная сила против центробежной силы, из онлайн-руководства по физике для подготовки к экзамену Regents, разработанного школьным округом города Освего

Внешние ссылки

• Заметки из курса физики и астрономии HyperPhysics в Университете штата Джорджия