Цепной комплекс

Инструмент в гомологической алгебре

В математике цепной комплекс — это алгебраическая структура , состоящая из последовательности абелевых групп (или модулей ) и последовательности гомоморфизмов между последовательными группами, таких, что образ каждого гомоморфизма включен в ядро ​​следующего. С цепным комплексом связана его гомология , которая описывает, как образы включены в ядра.

Коцепной комплекс похож на цепной комплекс, за исключением того, что его гомоморфизмы направлены в противоположном направлении. Гомологии коцепного комплекса называются его когомологиями .

В алгебраической топологии сингулярный цепной комплекс топологического пространства X строится с использованием непрерывных отображений из симплекса в X, а гомоморфизмы цепного комплекса фиксируют, как эти отображения ограничиваются границей симплекса. Гомологии этого цепного комплекса называются сингулярными гомологиями X и являются обычно используемым инвариантом топологического пространства.

Цепные комплексы изучаются в гомологической алгебре , но используются в нескольких областях математики, включая абстрактную алгебру , теорию Галуа , дифференциальную геометрию и алгебраическую геометрию . Их можно определить более общо в абелевых категориях .

Определения

Цепной комплекс — это последовательность абелевых групп или модулей ..., A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ , A _{4 , ... ,} связанных гомоморфизмами (называемыми граничными операторами или дифференциалами ) d _n  : An → An ₋₁ , такими, что композиция любых двух последовательных отображений является нулевым отображением. Явно, дифференциалы удовлетворяют d _n ∘ d _{n +1} = 0 , или с опущенными индексами d ² = 0 . Комплекс может быть записан следующим образом _. ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {d_{0}}}A_{0}{\xleftarrow {d_{1}}}A_{1}{\xleftarrow {d_{2}}}A_{2}{\xleftarrow {d_{3}}}A_{3}{\xleftarrow {d_{4}}}A_{4}{\xleftarrow {d_{5}}}\cdots }$

Коцепной комплекс — это двойственное понятие к цепному комплексу. Он состоит из последовательности абелевых групп или модулей ..., A ⁰ , A ¹ , A ² , A ³ , A ^{4 , ... ,} связанных гомоморфизмами d ⁿ  : An → An ^{+1 ,} удовлетворяющими d ^{n +1} ∘ ^d n = 0 . Коцепной комплекс может быть записан аналогично цепному комплексу. ${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}A^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}A^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

Индекс n в A _n или A ⁿ называется степенью ( или размерностью ). Разница между цепными и коцепными комплексами заключается в том, что в цепных комплексах дифференциалы уменьшают размерность, тогда как в коцепных комплексах они увеличивают размерность. Все концепции и определения для цепных комплексов применимы к коцепным комплексам, за исключением того, что они будут следовать этому другому соглашению о размерности, и часто терминам будет даваться префикс co- . В этой статье будут даны определения для цепных комплексов, когда различие не требуется.

Ограниченный цепной комплекс — это комплекс, в котором почти все A _n равны 0; то есть конечный комплекс, расширенный влево и вправо на 0. Примером является цепной комплекс, определяющий симплициальные гомологии конечного симплициального комплекса . Цепной комплекс ограничен сверху, если все модули выше некоторой фиксированной степени N равны 0, и ограничен снизу, если все модули ниже некоторой фиксированной степени равны 0. Очевидно, что комплекс ограничен как сверху, так и снизу тогда и только тогда, когда комплекс ограничен.

Элементы отдельных групп комплекса (ко)цепи называются (ко)цепями . Элементы в ядре d называются (ко)циклами (или замкнутыми элементами), а элементы в образе d называются (ко)границами (или точными элементами). Прямо из определения дифференциала все границы являются циклами. n -я группа (ко)гомологий H _n ( H ⁿ ) является группой (ко)циклов по модулю (ко)границ в степени n , то есть,

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

Точные последовательности

Точная последовательность ( или точный комплекс) — это цепной комплекс, все группы гомологии которого равны нулю. Это означает, что все замкнутые элементы в комплексе точны. Короткая точная последовательность — это ограниченная точная последовательность, в которой только группы A _k , A _{k +1} , A _{k +2} могут быть ненулевыми. Например, следующий цепной комплекс — это короткая точная последовательность.

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots }$

В средней группе замкнутыми элементами являются элементы p Z ; это, очевидно, точные элементы в этой группе.

Карты цепей

Цепное отображение f между двумя цепными комплексами и представляет собой последовательность гомоморфизмов для каждого n , которая коммутирует с граничными операторами на двух цепных комплексах, так что . Это записано в следующей коммутативной диаграмме . ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

Цепная карта переводит циклы в циклы, а границы в границы и, таким образом, индуцирует карту по гомологии . ${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

Непрерывное отображение f между топологическими пространствами X и Y индуцирует цепное отображение между сингулярными цепными комплексами X и Y и, следовательно, также индуцирует отображение f _* между сингулярными гомологиями X и Y. Когда X и Y оба равны n -сфере , отображение, индуцированное на гомологии, определяет степень отображения f .

Понятие цепной карты сводится к понятию границы посредством построения конуса цепной карты.

Цепная гомотопия

Цепная гомотопия предлагает способ связать две цепные карты, которые индуцируют одну и ту же карту на группах гомологии, даже если карты могут быть разными. Если даны два цепных комплекса A и B и две цепные карты _f , g :  A → B , цепная гомотопия — это последовательность гомоморфизмов h _n  : An → B _{n +1} такая, что hd _A + d _B h = f − g . Карты можно записать в виде диаграммы следующим образом, но эта диаграмма не коммутативна.

Легко проверить, что отображение hd _A + d _B h индуцирует нулевое отображение на гомологии для любого h . Из этого немедленно следует, что f и g индуцируют одно и то же отображение на гомологии. Говорят, что f и g являются цепными гомотопами (или просто гомотопами ), и это свойство определяет отношение эквивалентности между цепными отображениями.

Пусть X и Y — топологические пространства. В случае сингулярных гомологий гомотопия между непрерывными отображениями f , g  : X → Y индуцирует цепную гомотопию между цепными отображениями, соответствующими f и g . Это показывает, что два гомотопных отображения индуцируют одно и то же отображение на сингулярных гомологиях. Название «цепная гомотопия» мотивировано этим примером.

Примеры

Сингулярная гомология

Пусть X — топологическое пространство. Определим C _n ( X ) для натурального n как свободную абелеву группу, формально порожденную сингулярными n-симплексами в X , и определим граничное отображение как ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$

${\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}$

где шляпа обозначает пропуск вершины . То есть граница особого симплекса — это чередующаяся сумма ограничений на его грани. Можно показать, что ∂ ² = 0, поэтому — цепной комплекс; особые гомологии — это гомологии этого комплекса. ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$

Сингулярные гомологии являются полезным инвариантом топологических пространств с точностью до гомотопической эквивалентности . Группа гомологий нулевой степени является свободной абелевой группой на компонентах пути X.

когомологии де Рама

Дифференциальные k -формы на любом гладком многообразии M образуют при сложении действительное векторное пространство , называемое Ω ^k ( M ). Внешняя производная d отображает Ω ^k ( M ) в Ω ^{k +1} ( M ), а d ² = 0 по существу следует из симметрии вторых производных , поэтому векторные пространства k -форм вместе с внешней производной являются коцепным комплексом.

${\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots }$

Когомологии этого комплекса называются когомологиями де Рама M. Локально постоянные функции обозначаются его изоморфизмом с c — числом взаимно несвязных компонент M. Таким образом, комплекс был расширен , чтобы оставить комплекс точным на уровне нулевой формы с помощью оператора подмножества. ${\displaystyle \Re ^{c}}$

Гладкие отображения между многообразиями индуцируют цепные отображения, а гладкие гомотопии между отображениями индуцируют цепные гомотопии.

Категория цепных комплексов

Цепные комплексы K -модулей с цепными отображениями образуют категорию Ch _K , где K — коммутативное кольцо.

Если V = V и W = W — цепные комплексы, то их тензорное произведение — цепной комплекс с элементами степени n, задаваемый формулой ${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j|i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

и дифференциал определяется как

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

где a и b — любые два однородных вектора в V и W соответственно, а обозначает степень a . ${\displaystyle \left|a\right|}$

Это тензорное произведение превращает категорию Ch _K в симметричную моноидальную категорию . Объектом тождества относительно этого моноидального произведения является базовое кольцо K, рассматриваемое как цепной комплекс в степени 0. Сплетение задается на простых тензорах однородных элементов как

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

Знак необходим для того, чтобы плетение представляло собой цепную карту.

Более того, категория цепных комплексов K -модулей также имеет внутренний Hom : для заданных цепных комплексов V и W внутренний Hom V и W , обозначаемый Hom( V , W ), является цепным комплексом с элементами степени n , заданным как и дифференциалом, заданным как ${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$.

У нас есть естественный изоморфизм

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

Дополнительные примеры

• комплекс Амицура
• Комплекс, используемый для определения высших групп Чоу по Блоху
• Комплекс Буксбаума–Рим
• Чеховский комплекс
• Комплекс кузена
• Комплекс Игона–Норткотта
• комплекс Герстена
• Графический комплекс ^[1]
• комплекс Козюля
• комплекс Мура
• комплекс Шура

Смотрите также

• Дифференциальная градуированная алгебра
• Дифференциальная градуированная алгебра Ли
• Соответствие Дольда–Кана утверждает, что существует эквивалентность между категорией цепных комплексов и категорией симплициальных абелевых групп .
• Критерий ацикличности Бухсбаума – Эйзенбуда
• Дифференцированный оценочный модуль

Ссылки

1. "Графический комплекс".

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.