Цепная линия

Кривая, образованная висящей цепью

Цепь , свисающая с точек, образует контактную сеть.

Свободно висящие воздушные линии электропередачи также образуют контактную сеть (наиболее заметно на высоковольтных линиях и с некоторыми дефектами вблизи изоляторов ) .

Шелк паутины образует множество эластичных цепей.

В физике и геометрии контактная линия ( США : / ˈ k æ t ən ɛr i / KAT -ən-err-ee , Великобритания : / k ə ˈ t iː n ər i / kə- TEE -nər-ee ) — это кривая. которую идеализированная висящая цепь или трос принимает на себя под собственным весом , когда поддерживается только на концах в однородном гравитационном поле.

Цепная кривая имеет U-образную форму, внешне похожую на параболу , которой она не является.

Кривая появляется в конструкции некоторых типов арок и как поперечное сечение катеноида — формы, которую принимает мыльная пленка, ограниченная двумя параллельными круглыми кольцами.

Цепную сеть также называют ализоидом , цепочкой ^[1] или , особенно в материаловедении, примером фуникулера . ^[2] Статика веревок описывает цепные линии в классической задаче статики, включающей висящую веревку. ^[3]

Математически цепная кривая представляет собой график гиперболической функции косинуса . Поверхность вращения цепной кривой, катеноид , является минимальной поверхностью , в частности, минимальной поверхностью вращения . Висящая цепь примет форму с наименьшей потенциальной энергией, то есть цепную связь. ^[4] Галилео Галилей в 1638 году обсуждал цепную линию в книге «Две новые науки», признавая, что она отличается от параболы . Математические свойства цепной кривой изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а ее уравнение вывели Лейбниц , Гюйгенс и Иоганн Бернулли в 1691 году.

Контактные сети и связанные с ними кривые используются в архитектуре и технике (например, при проектировании мостов и арок , чтобы силы не приводили к изгибающим моментам). В морской нефтегазовой отрасли термин «цепная линия» относится к стальному стояку цепной линии , трубопроводу, подвешенному между добывающей платформой и морским дном, который принимает форму, приближенную к цепной линии. В железнодорожной отрасли это относится к воздушной проводке , передающей электроэнергию поездам. (Часто он поддерживает контактный провод, и в этом случае он не следует истинной цепной линии.)

В оптике и электромагнетике гиперболические функции косинуса и синуса являются основными решениями уравнений Максвелла. ^[5] Симметричные моды, состоящие из двух затухающих волн, образуют цепную форму. ^{[6] [7] [8]}

История

Модель цепной линии Антонио Гауди в Доме Мила

Слово «цепочка» происходит от латинского слова catēna , что означает « цепь ». Английское слово «цепная цепь» обычно приписывают Томасу Джефферсону , ^{[9] [10]} который написал в письме Томасу Пейну о строительстве арки для моста:

Недавно я получил из Италии трактат аббата Маскерони о равновесии арок. Кажется, это очень научная работа. Я еще не успел этим заняться; но я нахожу, что выводы его доказательств таковы, что каждая часть цепной цепи находится в совершенном равновесии. ^[11]

Часто говорят ^[12] , что Галилей считал кривую висящей цепи параболической. Однако в своей книге «Две новые науки» (1638 г.) Галилей писал, что висящий шнур представляет собой лишь приблизительную параболу, правильно отмечая, что это приближение улучшается в точности по мере уменьшения кривизны и становится почти точным, когда угол возвышения меньше 45 °. ^[13] Тот факт, что кривая, за которой следует цепочка, не является параболой, был доказан Иоахимом Юнгиусом (1587–1657); этот результат был опубликован посмертно в 1669 году. ^[12]

Применение контактной сети для строительства арок приписывается Роберту Гуку , чья «истинная математическая и механическая форма» в контексте восстановления собора Святого Павла намекала на контактную сеть. ^[14] Некоторые гораздо более старые арки приближаются к контактным сетям, примером которых является арка Так-и Кисра в Ктесифоне . ^[15]

Аналогия между аркой и висящей цепью и сравнение с куполом базилики Святого Петра в Риме ( Джованни Полени , 1748 г.)

В 1671 году Гук объявил Королевскому обществу , что он решил проблему оптимальной формы арки, а в 1675 году опубликовал зашифрованное решение в виде латинской анаграммы ^[16] в приложении к своему «Описанию гелиоскопов», ^[17] где он писал, что нашел «истинную математическую и механическую форму всех видов строительных арок». Он не опубликовал решение этой анаграммы ^[18] при своей жизни, но в 1705 году его душеприказчик представил ее как ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguumrigidum inversum , что означает «Как висит гибкий трос, так, перевернув, стоят соприкасающиеся части». из арки».

В 1691 году Готфрид Лейбниц , Христиан Гюйгенс и Иоганн Бернулли вывели уравнение в ответ на вызов Якоба Бернулли ; ^[12] их решения были опубликованы в Acta Eruditorum за июнь 1691 года. ^{[19] [20]} Дэвид Грегори написал трактат о цепной линии в 1697 году ^{[12] [21]} , в котором он предоставил неправильный вывод правильного дифференциального уравнения. ^[20]

Эйлер доказал в 1744 году, что цепная линия — это кривая, которая при вращении вокруг оси x дает поверхность с минимальной площадью поверхности ( катеноид ) для данных ограничивающих кругов. ^[1] Николас Фусс дал уравнения, описывающие равновесие цепи под действием любой силы в 1796 году ^{. [22]}

Перевернутая цепная арка

Цепные арки часто используются при строительстве печей . Чтобы создать желаемую кривую, форму подвесной цепи нужных размеров переносят в форму, которая затем используется в качестве ориентира для размещения кирпичей или другого строительного материала. ^{[23] [24]}

Арку Ворот в Сент-Луисе, штат Миссури , США, иногда называют (перевернутой) цепной линией, но это неверно. ^[25] Это близко к более общей кривой, называемой сплющенной цепной линией, с уравнением y = A  ch( Bx ) , которая является цепной цепью, если AB = 1 . В то время как цепная связь является идеальной формой для отдельно стоящей арки постоянной толщины, Арка Ворот уже ближе к вершине. Согласно номинации арки в номинации « Национальный исторический памятник США», вместо этого она представляет собой « взвешенную цепную связь ». Ее форма соответствует форме, которую могла бы образовать утяжеленная цепь, имеющая более легкие звенья посередине. ^{[26] [27]}

• 
  Цепная арка ^[28] под крышей дома Мила работы Гауди , Барселона , Испания.
• 
  Зимний сад Шеффилда окружен серией цепных арок . ^[29]
• 
  Арка Ворот ( Сент-Луис, Миссури ) представляет собой сплющенную контактную сеть.
• 
  Строящаяся печь с цепной аркой поверх временной формы

Цепные мосты

Простые подвесные мосты по существу представляют собой утолщенные тросы и следуют по цепной линии.

Напряженные ленточные мосты , такие как мост Леонеля Виера в Мальдонадо, Уругвай , также следуют по цепной линии с кабелями, встроенными в жесткое настил.

В свободно висящих цепях прилагаемая сила одинакова по длине цепи, поэтому цепь следует цепной кривой. ^[30] То же самое относится и к простому подвесному мосту или «цепному мосту», где проезжая часть следует за тросом. ^{[31] [32]}

Напряженный ленточный мост представляет собой более сложную конструкцию с такой же цепной формой. ^{[33] [34]}

Однако в подвесном мосту с подвесной проезжей частью цепи или тросы выдерживают вес моста и поэтому не висят свободно. В большинстве случаев проезжая часть плоская, поэтому, когда вес кабеля пренебрежимо мал по сравнению с поддерживаемым весом, прикладываемая сила однородна по отношению к горизонтальному расстоянию, и результатом является парабола , как обсуждается ниже (хотя термин « контактная сеть» часто до сих пор используется в неформальном смысле). Если трос тяжелый, то результирующая кривая находится между цепной линией и параболой. ^{[35] [36]}

Сравнение цепной арки (черная пунктирная кривая) и параболической арки (красная сплошная кривая) с одинаковым пролетом и провисанием. Цепная линия представляет собой профиль простого подвесного моста или трос подвесного подвесного моста, настил и подвески которого имеют незначительную массу по сравнению с его тросом. Парабола представляет собой профиль троса подвесного моста, на котором его трос и подвески имеют пренебрежимо малую массу по сравнению с его палубой. Профиль троса реального подвесного моста с одинаковым пролетом и провисанием лежит между двумя кривыми. Уравнения цепной связи и параболы соответственно: и ${\displaystyle y={\text{cosh }}x}$ ${\displaystyle y=x^{2}[({\text{cosh }}1)-1]+1}$

Закрепление морских объектов

Тяжелая якорная цепь образует контактную сеть с небольшим углом натяжения якоря.

Цепная связь, создаваемая силой тяжести, дает преимущество тяжелым якорным канатам. Якорная тяга (или якорный канат) обычно состоит из цепи или троса, или того и другого. Якорные тросы используются на кораблях, нефтяных вышках, доках, плавучих ветряных турбинах и другом морском оборудовании, которое необходимо закрепить на морском дне.

Когда веревка провисает, кривая цепной линии представляет собой меньший угол натяжения якоря или швартовочного устройства, чем это было бы в случае, если бы она была почти прямой. Это повышает эффективность якоря и повышает уровень силы, которой он будет сопротивляться перед перетаскиванием. Для сохранения формы цепной цепи при наличии ветра необходима тяжелая цепь, так что на этот эффект могут рассчитывать только более крупные корабли, находящиеся на большей глубине. Лодки меньшего размера также полагаются на контактную сеть для поддержания максимальной удерживающей силы. ^[37]

Канатные паромы и цепные лодки представляют собой особый случай морских транспортных средств, движущихся, хотя они и пришвартованы двумя контактными сетями, каждый из которых состоит из одного или нескольких тросов (тросов или цепей), проходящих через транспортное средство и перемещаемых моторизованными шкивами. Цепные линии можно оценить графически. ^[38]

Математическое описание

Уравнение

Контактные сети для разных значений a

Уравнение цепной линии в декартовых координатах имеет вид ^[35]

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),}$$

coshфункция гиперболического косинусаa^[39]подобныaмасштабированию

Уравнение Уэвелла для контактной сети имеет вид ^[35]

$${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}},}$$

касательный уголs -дуги ${\displaystyle \varphi }$

Дифференциация дает

$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}},}$$

уравнение Чезаро ^[40] ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}},}$$

_ ${\displaystyle \kappa }$

Тогда радиус кривизны

$${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi ,}$$

междуx^[41]

Связь с другими кривыми

Когда парабола катится по прямой, кривая рулетки , очерченная ее фокусом , представляет собой цепную линию. ^[42] Огибающая директрисы параболы также является цепной. ^[43] Эвольвента из вершины, то есть рулетка , прослеживаемая точкой, начинающейся в вершине, когда линия катится по цепной линии, является трактрисой . ^[42]

Другая рулетка, образованная путем перекатывания линии по цепной линии, является еще одной линией. Это означает, что квадратные колеса могут совершенно плавно катиться по дороге, состоящей из ряда неровностей в форме перевернутой цепной цепи. Колеса могут представлять собой любой правильный многоугольник , кроме треугольника, но цепная связь должна иметь параметры, соответствующие форме и размерам колес. ^[44]

Геометрические свойства

На любом горизонтальном интервале отношение площади под цепной линией к ее длине равно a независимо от выбранного интервала. Цепная линия — единственная плоская кривая, кроме горизонтальной линии, обладающая этим свойством. Кроме того, геометрический центр тяжести области под отрезком контактной сети является средней точкой перпендикулярного сегмента, соединяющего центр тяжести самой кривой и ось X. ^[45]

Наука

Движущийся заряд в однородном электрическом поле движется по цепной линии (которая стремится к параболе , если скорость заряда много меньше скорости света с ). ^[46]

Поверхность вращения с фиксированными радиусами на обоих концах и минимальной площадью поверхности представляет собой цепную линию, вращающуюся вокруг оси x . ^[42]

Анализ

Модель цепей и арок

В математической модели цепь (или шнур, трос, веревка, веревка и т. д.) идеализируется, предполагая, что она настолько тонка, что ее можно рассматривать как кривую, и что она настолько гибка, что любая сила натяжения , оказываемая цепью параллелен цепи. ^[47] Анализ кривой оптимальной арки аналогичен, за исключением того, что силы натяжения становятся силами сжатия , и все переворачивается. ^[48] ​​Основной принцип заключается в том, что цепь можно считать твердым телом, как только она достигла равновесия. ^[49] Уравнения, которые определяют форму кривой и натяжение цепи в каждой точке, могут быть получены путем тщательного изучения различных сил, действующих на сегмент, используя тот факт, что эти силы должны быть в равновесии, если цепь находится в статическое равновесие .

Пусть путь, по которому следует цепь, задан параметрически как r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )) , где s представляет длину дуги , а r — вектор положения . Это естественная параметризация , обладающая тем свойством, что

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }$$

где u — единичный касательный вектор .

Схема сил, действующих на участок цепной линии от c до r . Силы — это натяжение T ₀ в точке c , натяжение T в точке r и вес цепи (0, − λgs ) . Поскольку цепь покоится, сумма этих сил должна быть равна нулю.

Дифференциальное уравнение кривой можно вывести следующим образом. ^[50] Пусть c — самая нижняя точка цепи, называемая вершиной контактной сети. ^[51] Наклонумри/дхкривой равна нулю в точке c , поскольку это точка минимума. Предположим, что r находится справа от c , поскольку другой случай подразумевается симметрией. Силы, действующие на участок цепи от c до r , — это натяжение цепи в точке c , натяжение цепи в точке r и вес цепи. Натяжение в точке c касается кривой в точке c и, следовательно, горизонтально без какой-либо вертикальной составляющей и тянет секцию влево, поэтому ее можно записать (− T ₀ , 0) , где T ₀ — величина силы. Натяжение в точке r параллельно кривой в точке r и тянет секцию вправо. Натяжение в точке r можно разделить на две составляющие , поэтому ее можно записать T u = ( T cos φ , T sin φ ) , где T — величина силы, а φ — угол между кривой в точке r и x- ось (см. Тангенциальный угол ). Наконец, вес цепи обозначается как (0, − λgs ) , где λ — масса на единицу длины, g — напряженность гравитационного поля, а s — длина сегмента цепи между c и r .

Цепь находится в равновесии, поэтому сумма трех сил равна 0 , следовательно

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$

$${\displaystyle T\sin \varphi =\lambda gs\,,}$$

и деление этих дает

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda gs}{T_{0}}}\,.}$$

Удобно писать

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda g}}}$$

которая представляет собой длину цепи, вес которой равен по величине натяжению в точке с . ^[52] Тогда

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}$$

представляет собой уравнение, определяющее кривую.

Горизонтальная составляющая напряжения T cos φ = T ₀ является постоянной, а вертикальная составляющая напряжения T sin φ = λgs пропорциональна длине цепи между r и вершиной. ^[53]

После вывода уравнений кривой (в следующем разделе) можно снова подставить уравнение и получить простое уравнение . ${\textstyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$ ${\displaystyle T=\lambda gs/\sin \varphi =\lambda gy}$

Вывод уравнений кривой

Приведенное выше дифференциальное уравнение можно решить, чтобы получить уравнения для кривой. ^[54]

От

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}\,,}$$

формула длины дуги дает

$${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {a^{2}+s^{2}}}{a}}\,.}$$

Затем

$${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}}$$

и

$${\displaystyle {\frac {dy}{ds}}={\frac {\frac {dy}{dx}}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {s}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}\,.}$$

Второе из этих уравнений можно проинтегрировать и получить

$${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}+\beta }$$

и, сместив положение оси x , β можно принять равным 0. Тогда

$${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,,\quad y^{2}=a^{2}+s^{2}\,.}$$

Выбранная таким образом ось X называется направляющей цепной линии.

Отсюда следует, что величина натяжения в точке ( x , y ) равна T = λgy , что пропорционально расстоянию между точкой и директрисой. ^[53]

Это напряжение также можно выразить как T = T ₀ y / a .

Интеграл выражения длядх/дсможно найти, используя стандартные методы , давая ^[55]

$${\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)+\alpha \,.}$$

и снова, сместив положение оси y , α можно принять равным 0. Тогда

$${\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)\,,\quad s=a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

Выбранная таким образом ось Y проходит через вершину и называется осью контактной сети.

Эти результаты могут быть использованы для устранения

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

Альтернативный вывод

Дифференциальное уравнение можно решить, используя другой подход. ^[56] Откуда

$${\displaystyle s=a\tan \varphi }$$

следует, что

$${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$$

$${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$$

Интеграция дает,

$${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$$

$${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$$

Как и раньше, оси x и y можно сместить, так что α и β можно принять равными 0. Тогда

$${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$$

$${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$$

Сложение и вычитание последних двух уравнений дает решение

$${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$$

$${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

Определение параметров

Три контактные сети, проходящие через одни и те же две точки, в зависимости от горизонтальной силы T _H .

В общем случае параметр a — это положение оси. Уравнение в этом случае можно определить следующим образом: ^[57]

При необходимости измените маркировку так, чтобы P1 находилась слева от P2 _, и пусть _H — горизонтальное расстояние, а _v — _{вертикальное} расстояние от P1 до P2 . Переведите оси так, чтобы вершина цепной линии лежала на оси y , а ее высота a была отрегулирована так, чтобы цепная связь удовлетворяла стандартному уравнению кривой.

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

и пусть координаты P ₁ и P ₂ будут ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) соответственно. Кривая проходит через эти точки, поэтому разница высот равна

$${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

а длина кривой от P ₁ до P ₂ равна

$${\displaystyle L=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

Когда L ² − v ² разлагается с использованием этих выражений, результат равен

$${\displaystyle L^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{H}}{\sqrt {L^{2}-v^{2}}}={\frac {2a}{H}}\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$$

Это трансцендентное уравнение относительно a и его необходимо решать численно . Поскольку строго монотонно на , ^[58] существует не более одного решения с a > 0 и, следовательно, существует не более одного положения равновесия. ${\displaystyle \sinh(x)/x}$ ${\displaystyle x>0}$

Однако если оба конца кривой ( P ₁ и P ₂ ) находятся на одном уровне ( y ₁ = y ₂ ), можно показать, что ^[59]

$${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$$

P1P2 _,h_P1 , _P2 и₎

Также можно показать, что

$${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$$

$${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$$

P ₁P ₂H = x ₂ − x ₁

Горизонтальная тяговая сила при Р ₁ и Р ₂ равна Т ₀ = λga , где λ — масса единицы длины цепи или троса.

Вариационная формулировка

Рассмотрим цепь длины , подвешенную в двух точках одинаковой высоты и на расстоянии . Кривая должна минимизировать свою потенциальную энергию. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle U=\int _{0}^{D}g\rho y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{D}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=L\,.}$$

Таким образом, модифицированный лагранжиан

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=(g\rho y-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}}$$

множитель Лагранжа,тождество Бельтрами. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}-y'{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y'}}=C}$$

${\displaystyle C}$

$${\displaystyle {\frac {(g\rho y-\lambda )}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-C}$$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить методом разделения переменных . Его решением является обычный гиперболический косинус, параметры которого получены из ограничений.

Обобщения с вертикальной силой

Неоднородные цепи

Если плотность цепи является переменной, то приведенный выше анализ можно адаптировать для получения уравнений для кривой с учетом плотности или с учетом кривой для определения плотности. ^[60]

Обозначим через w вес единицы длины цепи, тогда вес цепи имеет величину

$${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

где пределы интегрирования — c и r . Балансирующие силы, как в единой цепочке, производят

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$

$${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$$

Тогда дифференцирование дает

$${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$$

С точки зрения φ и радиуса кривизны ρ это становится

$${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$$

Кривая подвесного моста

Мост "Золотые ворота . Большинство тросов подвесного моста следуют по параболической, а не по цепной линии, поскольку проезжая часть намного тяжелее троса.

Аналогичный анализ можно провести, чтобы найти кривую, по которой следует трос, поддерживающий подвесной мост с горизонтальной проезжей частью. ^[61] Если вес проезжей части на единицу длины равен w и вес троса и троса, поддерживающего мост, по сравнению с ним пренебрежимо мал, то вес на тросе (см. рисунок в Контактной сети#Модель цепей и арок) от c до r — это wx , где x — горизонтальное расстояние между c и r . Продолжая, как и раньше, получаем дифференциальное уравнение

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$$

Это решается простым интегрированием, чтобы получить

$${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$$

и поэтому кабель следует по параболе. Если вес кабеля и поддерживающих проводов незначителен, анализ становится более сложным. ^[62]

Цепная связь равной силы

В контактной сети равной прочности трос усиливается по величине натяжения в каждой точке, поэтому его сопротивление разрыву постоянно по длине. Полагая, что прочность троса пропорциональна его плотности на единицу длины, можно записать вес w на единицу длины цепи:Т/с, где c — константа, и можно применить анализ неоднородных цепей. ^[63]

В этом случае уравнения для натяжения имеют вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$$

Объединение дает

$${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$$

и путем дифференцирования

$${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$$

где ρ — радиус кривизны.

Решение этой проблемы

$${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$$

В этом случае кривая имеет вертикальные асимптоты, и это ограничивает диапазон до π c . Другие отношения

$${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$$

Кривая была изучена в 1826 году Дэвисом Гилбертом и, очевидно, независимо, Гаспаром-Гюставом Кориолисом в 1836 году.

Недавно было показано, что этот тип цепной линии может выступать в качестве строительного блока электромагнитной метаповерхности и был известен как «цепная цепь равного фазового градиента». ^[64]

Эластичная контактная цепь

В эластичной контактной сети цепь заменена пружиной, которая может растягиваться в ответ на натяжение. Предполагается, что пружина растягивается в соответствии с законом Гука . В частности, если p — естественная длина секции пружины, то длина пружины с приложенным натяжением T имеет длину

$${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$$

где E — константа, равная kp , где k — жесткость пружины. ^[65] В цепной цепи значение T является переменным, но соотношение остается действительным на местном уровне, поэтому ^[66]

$${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$$

^[67]

Уравнения натяжения пружины имеют вид

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$$

$${\displaystyle T\sin \varphi =\lambda _{0}gp\,,}$$

откуда

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+\lambda _{0}^{2}g^{2}p^{2}}}\,,}$$

где p — естественная длина отрезка от c до r , λ ₀ — масса единицы длины пружины в ненапряженном состоянии, а g — напряженность гравитационного поля. Писать

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda _{0}g}}}$$

так

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$$

Затем

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}\,,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{alignedat}}}$$

Интегрирование дает параметрические уравнения

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$$

Опять же, оси x и y можно сместить, так что α и β можно принять равными 0. Итак,

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$$

являются параметрическими уравнениями кривой. В жестком пределе , когда E велико, форма кривой сводится к форме неупругой цепи.

Другие обобщения

Цепь под общей силой

Не делая никаких предположений относительно силы G , действующей на цепь, можно провести следующий анализ. ^[68]

Во-первых, пусть T = T ( s ) — сила натяжения как функция s . Цепь гибкая, поэтому она может прилагать силу только параллельно самой себе. Поскольку натяжение определяется как сила, которую цепь оказывает на себя, T должно быть параллельно цепи. Другими словами,

$${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$$

где T — величина T , а u — единичный касательный вектор.

Во-вторых, пусть G = G ( s ) — внешняя сила на единицу длины, действующая на небольшой участок цепи как функция s . Силы, действующие на отрезок цепи между s и s + Δ s, представляют собой силу натяжения T ( s + Δ s ) на одном конце отрезка, почти противоположную силу − T ( s ) на другом конце и внешняя сила, действующая на сегмент, равна примерно G Δ s . Эти силы должны уравновешиваться так

$${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$$

Разделите на Δ s и примите предел при Δ s → 0 , чтобы получить

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$$

Эти уравнения можно использовать в качестве отправной точки при анализе гибкой цепи, действующей под действием любой внешней силы. В случае стандартной контактной сети G = (0, − λg ) , где цепь имеет массу λ на единицу длины, а g — напряженность гравитационного поля.

Смотрите также

• Цепная арка
• Цепочка-фонтан или самовыкачивающиеся бусины.
• Воздушная контактная сеть - линии электропередачи, подвешенные над железнодорожными или трамвайными транспортными средствами.
• Рулетка (кривая) – эллиптическая/гиперболическая цепная линия.
• Тропоскейн – форма скрученной веревки.
• Взвешенная контактная сеть

Примечания

1. MathWorld
2. например : Шодек, Дэниел Л. (2004). Структуры (5-е изд.). Прентис Холл. п. 22. ISBN 978-0-13-048879-4. ОСЛК  148137330.
3. «Форма висящей веревки» (PDF) . Департамент машиностроения и аэрокосмической техники – Университет Флориды . 2017-05-02. Архивировано (PDF) из оригинала 20 сентября 2018 г. Проверено 4 июня 2020 г.
4. «Вариационное исчисление». 2015 . Проверено 3 мая 2019 г.
5. Ло, Сянган (2019). Цепная оптика . Сингапур: Спрингер. дои : 10.1007/978-981-13-4818-1. ISBN 978-981-13-4818-1. S2CID  199492908.
6. Бурк, Леви; Блейки, Ричард Дж. (01 декабря 2017 г.). «Эффективные резонансные подслои Herpin и конструкции резонансных верхних слоев для литографии со сверхвысокой числовой интерференцией». ЖОСА А. 34 (12): 2243–2249. Бибкод : 2017JOSAA..34.2243B. дои : 10.1364/JOSAA.34.002243. ISSN  1520-8532. ПМИД  29240100.
7. Пу, Минбо; Го, Инхуэй; Ли, Сюн; Ма, Сяолян; Ло, Сянган (5 июля 2018 г.). «Возврат к необычному вмешательству Янга: от цепных оптических полей к спин-орбитальному взаимодействию в метаповерхностях». АСУ Фотоника . 5 (8): 3198–3204. doi : 10.1021/acsphotonics.8b00437. ISSN  2330-4022. S2CID  126267453.
8. Пу, Минбо; Ма, СяоЛян; Го, Инхуэй; Ли, Сюн; Ло, Сянган (23 июля 2018 г.). «Теория микроскопических метаповерхностных волн, основанная на цепных оптических полях и дисперсии». Оптика Экспресс . 26 (15): 19555–19562. Бибкод : 2018OExpr..2619555P. дои : 10.1364/OE.26.019555 . ISSN  1094-4087. ПМИД  30114126.
9. "" Цепная линия " в Math Words" . Pballew.net. 21 ноября 1995 г. Проверено 17 ноября 2010 г.
10. Барроу, Джон Д. (2010). 100 важных вещей, о которых вы не знали: математика объясняет ваш мир. WW Нортон и компания. п. 27. ISBN 978-0-393-33867-6.
11. Джефферсон, Томас (1829). Мемуары, переписка и частные документы Томаса Джефферсона. Генри Колбура и Ричард Бертли. п. 419.
12. Локвуд с. 124
13. Фахи, Джон Джозеф (1903). Галилей, его жизнь и творчество. Дж. Мюррей. стр. 359–360.
14. Жардин, Лиза (2001). «Памятники и микроскопы: крупномасштабное научное мышление в раннем Королевском обществе». Заметки и отчеты Лондонского королевского общества . 55 (2): 289–308. дои : 10.1098/rsnr.2001.0145. JSTOR  532102. S2CID  144311552.
15. Денни, Марк (2010). Суперструктуры: наука о мостах, зданиях, плотинах и других инженерных достижениях . Джу Пресс. стр. 112–113. ISBN 978-0-8018-9437-4.
16. см. анаграмма закона Гука , которая появилась в следующем абзаце.
17. «Дизайн арки». Линдахолл.орг. 28 октября 2002 г. Архивировано из оригинала 13 ноября 2010 г. Проверено 17 ноября 2010 г.
18. Исходная анаграмма была abcccddeeeeefggiiiiiiiiiillmmmmnnnnnooprrsssttttttuuuuuuuux : буквы латинской фразы, расположенные в алфавитном порядке.
19. Трусделл, К. (1960), Механика вращения гибких или упругих тел 1638–1788: Введение в Леонарди Эйлери Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae, Цюрих: Орелл Фюссли, с. 66, ISBN 9783764314415
20. Калладайн, CR (13 апреля 2015 г.), «Вклад любителя в проектирование подвесного моста Менай в Телфорде: комментарий к Гилберту (1826 г.) «К математической теории подвесных мостов»", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 373 (2039): 20140346, Bibcode : 2015RSPTA.37340346C, doi : 10.1098/rsta.2014.0346, PMC  4360092 , PMID  25750153
21. Грегори, Давидис (август 1697 г.), «Катенария», Philosophical Transactions , 19 (231): 637–652, doi : 10.1098/rstl.1695.0114
22. Раут Арт. 455, сноска
23. Миноуг, Колл; Сандерсон, Роберт (2000). Дровяная керамика: современные практики . Пенсильванский университет. п. 42. ИСБН 978-0-8122-3514-2.
24. Петерсон, Сьюзен; Петерсон, Ян (2003). Ремесло и искусство глины: Полный справочник гончара. Лоуренс Кинг. п. 224. ИСБН 978-1-85669-354-7.
25. Оссерман, Роберт (2010), «Математика арки ворот», Уведомления Американского математического общества , 57 (2): 220–229, ISSN  0002-9920
26. Хикс, Клиффорд Б. (декабрь 1963 г.). «Невероятная арка ворот: самый могущественный национальный памятник Америки». Популярная механика . 120 (6): 89. ISSN  0032-4558.
27. Харрисон, Лаура Сульер (1985), Национальный реестр исторических мест, номинация: Арка ворот Мемориала национального расширения Джефферсона / Арка ворот; или «Арка», Служба национальных парков.и сопроводительное фото с воздуха 1975 г.  (578 КБ)
28. Сеннотт, Стивен (2004). Энциклопедия архитектуры двадцатого века . Тейлор и Фрэнсис. п. 224. ИСБН 978-1-57958-433-7.
29. Хаймерс, Пол (2005). Планирование и строительство зимнего сада . Новая Голландия. п. 36. ISBN 978-1-84330-910-9.
30. Байер, Оуэн; Лазебник, Феликс; Смелцер, Дейдра Л. (2 сентября 2010 г.). Методы евклидовой геометрии. МАА. п. 210. ИСБН 978-0-88385-763-2.
31. Фернандес Трояно, Леонардо (2003). Мостостроение: глобальная перспектива. Томас Телфорд. п. 514. ИСБН 978-0-7277-3215-6.
32. Тринкс, В.; Мохинни, Миннесота; Шеннон, РА; Рид, Р.Дж.; Гарви, младший (5 декабря 2003 г.). Промышленные печи. Уайли. п. 132. ИСБН 978-0-471-38706-0.
33. Скотт, Джон С. (31 октября 1992 г.). Словарь гражданского строительства . Спрингер. п. 433. ИСБН 978-0-412-98421-1.
34. Финч, Пол (19 марта 1998 г.). «Дизайн изогнутой стресс-ленты, охватывающей Медуэй». Журнал архитекторов . 207 :51.
35. Локвуд с. 122
36. Кункель, Пол (30 июня 2006 г.). «Висеть с Галилеем». Математика Уистлера Элли . Проверено 27 марта 2009 г.
37. «Цепь, веревка и цепная связь - якорные системы для небольших лодок» . Petersmith.net.nz . Проверено 17 ноября 2010 г.
38. «Эффективность кабельных паромов - Часть 2» . Электронный журнал «Человеческая сила» . Проверено 8 декабря 2023 г.
39. Вайсштейн, Эрик В. «Цепная линия». MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 21 сентября 2019 г. Параметрические уравнения для цепной линии имеют вид x(t) = t, y(t) = [...] a ch(t/a), где t=0 соответствует вершине [...]
40. MathWorld, экв. 7
41. Раут Арт. 444
42. Йейтс, Роберт К. (1952). Кривые и их свойства . НКТМ. п. 13.
43. Йейтс с. 80
44. Холл, Леон; Вагон, Стэн (1992). «Дороги и колеса». Журнал «Математика» . 65 (5): 283–301. дои : 10.2307/2691240. JSTOR  2691240.
45. Паркер, Эдвард (2010). «Свойство, характеризующее контактную сеть». Журнал «Математика» . 83 : 63–64. дои : 10.4169/002557010X485120. S2CID  122116662.
46. Ландау, Лев Давидович (1975). Классическая теория полей. Баттерворт-Хайнеманн. п. 56. ИСБН 978-0-7506-2768-9.
47. Раут Арт. 442, с. 316
48. Черч, Ирвинг Портер (1890). Механика машиностроения. Уайли. п. 387.
49. Уэвелл с. 65
50. По словам Раута Арта. 443 с. 316
51. Раут Арт. 443 с. 317
52. Уэвелл с. 67
53. Раут Арт. 443 с. 318
54. По словам Раута Арта. 443 п/ 317
55. Использование гиперболических функций следует за Маурером, стр. 107
56. По следам Лэмба с. 342
57. Согласно Тодхантеру Арт. 186
58. См. Искусство Рауса. 447
59. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: «Chaînette - party 3: longueur». YouTube .
60. По словам Раута Арта. 450
61. По словам Раута Арта. 452
62. Ира Фриман расследовала случай, когда значение имеют только кабель и дорога, см. раздел «Внешние ссылки». Раут в качестве упражнения приводит случай, когда только поддерживающие тросы имеют значительный вес.
63. По словам Раута Арта. 453
64. Пу, Минбо; Ли, Сюн; Ма, Сяолян; Ло, Сянган (2015). «Цепная оптика для ахроматической генерации идеального оптического углового момента». Достижения науки . 1 (9): e1500396. Бибкод : 2015SciA....1E0396P. doi : 10.1126/sciadv.1500396. ПМЦ 4646797 . ПМИД  26601283. 
65. Раут Арт. 489
66. Раут Арт. 494
67. По словам Раута Арта. 500
68. Следует за Раутом Артом. 455

Библиография

• Локвуд, Э.Х. (1961). «Глава 13: Трактрикс и цепная линия». Книга кривых . Кембридж.
• Салмон, Джордж (1879). Высшие плоские кривые. Ходжес, Фостер и Фиггис. стр. 287–289.
• Раут, Эдвард Джон (1891). «Глава X: О струнах». Трактат по аналитической статике . Университетское издательство.
• Маурер, Эдвард Роуз (1914). «Статья 26 Цепной кабель». Техническая механика . Дж. Уайли и сыновья.
• Лэмб, сэр Гораций (1897). «Статья 134 Трансцендентных кривых; Цепная линия, Tractrix». Элементарный курс исчисления бесконечно малых . Университетское издательство.
• Тодхантер, Исаак (1858). «XI Гибкие струны. Нерастяжимые, XII Гибкие струны. Растяжимые». Трактат по аналитической статике . Макмиллан.
• Уэвелл, Уильям (1833). «Глава V: Равновесие гибкого тела». Аналитическая статика . Дж. и Джей Джей Дейтон. п. 65.
• Вайсштейн, Эрик В. «Цепная линия». Математический мир .

дальнейшее чтение

• Свец, Фрэнк (1995). Учитесь у Мастеров. МАА. стр. 128–9. ISBN 978-0-88385-703-8.
• Вентуроли, Джузеппе (1822). «Глава XXIII: О цепной линии». Элементы теории механики . Пер. Дэниел Крессвелл. Дж. Николсон и сын.

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Цепная линия», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Цепная линия в PlanetMath .
• Калькулятор контактной кривой
• Цепная линия в Центре геометрии
• «Цепная сеть» в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• Цепная линия — цепи, арки и мыльная пленка.
• Калькулятор ошибки провисания кабеля – рассчитывает отклонение от прямой линии контактной кривой и обеспечивает расчет калькулятора и справочных данных.
• Выведены динамические, а также статические уравнения столетней кривой. Выведены уравнения, определяющие форму (статический случай), а также динамику (динамический случай) столетней годовщины. Решение обсуждаемых уравнений.
• Прямая линия, цепная линия, брахистохрона, круг и унифицированный подход Ферма к некоторым геодезическим.
• Ира Фриман «Общая форма контактной сети подвесного моста» Бюллетень AMS