В теории категорий , разделе математики , подобъект — это, грубо говоря, объект , который находится внутри другого объекта той же категории . Это понятие является обобщением таких понятий, как подмножества из теории множеств , подгруппы из теории групп [ 1] и подпространства из топологии . Поскольку подробная структура объектов не имеет значения в теории категорий, определение подобъекта опирается на морфизм , который описывает, как один объект находится внутри другого, а не на использование элементов.
Двойственная концепция подобъекта – этофакторный объект . Это обобщает такие понятия, какфактормножества,факторгруппы,факторпространства,факторграфыи т. д.
Соответствующее категориальное определение «подобъекта» может варьироваться в зависимости от контекста и цели. Одно из распространенных определений заключается в следующем.
Подробно, пусть это объект какой-то категории. Учитывая два мономорфизма
с кодоменом мы определяем отношение эквивалентности, если существует изоморфизм с .
Эквивалентно, мы пишем , если факторы проходят через — то есть, если существует такое, что . Бинарное отношение, определяемое
является отношением эквивалентности на мономорфизмах с кодобластью , а соответствующие классы эквивалентности этих мономорфизмов являются подобъектами .
Отношение ≤ индуцирует частичный порядок в наборе подобъектов .
Коллекция подобъектов объекта на самом деле может быть собственным классом ; это означает, что данное обсуждение несколько расплывчато. Если коллекция подобъектов каждого объекта представляет собой множество , категория называется хорошо развитой или, реже, локально малой (это противоречит другому использованию термина локально малый , а именно, что между любыми двумя объектами существует набор морфизмов). ).
Чтобы получить двойственное понятие факторобъекта , замените «мономорфизм» на « эпиморфизм » выше и поменяйте местами стрелки. Тогда фактор-объект A является классом эквивалентности эпиморфизмов с областью определения A.
Однако в некоторых контекстах эти определения неадекватны, поскольку они не согласуются с устоявшимися представлениями о субобъекте или факторобъекте. В категории топологических пространств мономорфизмы — это в точности инъективные непрерывные функции; но не все инъективные непрерывные функции являются вложениями в подпространства. В категории колец включение является эпиморфизмом, но не фактором по двустороннему идеалу. Чтобы получить карты, которые действительно ведут себя как вложения или факторы подобъектов, а не как произвольные инъективные функции или карты с плотным образом, необходимо ограничиться мономорфизмами и эпиморфизмами, удовлетворяющими дополнительным гипотезам. Следовательно, можно определить «подобъект» как класс эквивалентности так называемых «регулярных мономорфизмов» (мономорфизмов, которые могут быть выражены как эквалайзер двух морфизмов), а «фактор-объект» как любой класс эквивалентности «регулярных эпиморфизмов». " (морфизмы, которые можно выразить как коэквалайзер двух морфизмов)
Это определение соответствует обычному пониманию подобъекта вне теории категорий. Когда объекты категории являются множествами (возможно, с дополнительной структурой, такой как групповая структура), а морфизмы являются функциями множества (сохраняющими дополнительную структуру), о мономорфизме думают с точки зрения его образа. Класс эквивалентности мономорфизмов определяется образом каждого мономорфизма в классе; то есть два мономорфизма f и g в объект T эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы являются одним и тем же подмножеством (таким образом, подобъектом) T . В этом случае существует изоморфизм их областей, при котором соответствующие элементы областей отображаются посредством f и g соответственно в один и тот же элемент из T ; это объясняет определение эквивалентности.
В Set , категории множеств , подобъект A соответствует подмножеству B из A , или, скорее, совокупности всех карт из множеств , равносильных B , с изображением точно B. Частичный порядок подобъектов множества в Set — это просто решетка его подмножеств .
В Grp , категории групп , подобъекты A соответствуют подгруппам A.
Учитывая частично упорядоченный класс P = ( P , ≤ ), мы можем сформировать категорию с элементами P в качестве объектов и одной стрелкой от p к q тогда и только тогда, когда p ≤ q . Если P имеет наибольший элемент, частичный порядок подобъекта этого наибольшего элемента будет самим P. Частично это связано с тем, что все стрелки в такой категории будут мономорфизмами.
Подобъект терминального объекта называется субтерминальным объектом .
