stringtranslate.com

Частотная вероятность

Джон Венн , который подробно изложил частотную вероятность в своей книге «Логика шанса» (1866).

Частотная вероятность или частотность — это интерпретация вероятности ; он определяет вероятность события как предел его относительной частоты во многих испытаниях ( долгосрочная вероятность ). [1] Вероятности могут быть найдены (в принципе) с помощью повторяемого объективного процесса (и, таким образом, в идеале они лишены мнения). Однако дальнейшее использование частотных методов в научных выводах было поставлено под сомнение. [2] [3] [4]

Развитие частотной теории было мотивировано проблемами и парадоксами ранее доминирующей точки зрения, классической интерпретации . В классической интерпретации вероятность определялась в терминах принципа безразличия , основанного на естественной симметрии задачи, так, например, вероятности игр в кости возникают из естественной симметричной шестигранности куба. Эта классическая интерпретация натыкалась на любую статистическую задачу, не имеющую естественной симметрии для рассуждений.

Определение

В частотной интерпретации вероятности обсуждаются только в случае четко определенных случайных экспериментов. Совокупность всех возможных результатов случайного эксперимента называется выборочным пространством эксперимента. Событие определяется как определенное подмножество выборочного пространства, которое необходимо учитывать. Для любого данного события может иметь место только одна из двух возможностей: оно происходит или нет. Относительная частота возникновения события, наблюдаемая при нескольких повторениях эксперимента, является мерой вероятности этого события. Это основная концепция вероятности в частотной интерпретации.

Утверждение частотного подхода состоит в том, что по мере увеличения количества испытаний изменение относительной частоты будет уменьшаться. Следовательно, можно рассматривать вероятность как предельное значение соответствующих относительных частот.

Объем

Частотная интерпретация — это философский подход к определению и использованию вероятностей; это один из нескольких таких подходов. Он не претендует на то, чтобы охватить все значения понятия «вероятный» в разговорной речи естественных языков.

Как интерпретация, она не противоречит математической аксиоматизации теории вероятностей; скорее, он дает рекомендации о том, как применять математическую теорию вероятностей к реальным ситуациям. Он предлагает четкое руководство при построении и планировании практических экспериментов, особенно в сравнении с байесовской интерпретацией . Относительно того, полезно ли это руководство или оно может быть неправильно истолковано, стало источником разногласий. Особенно когда частотная интерпретация вероятности ошибочно считается единственной возможной основой для частотного вывода . Так, например, статью о p-значениях сопровождает список неправильных интерпретаций значения p-значений; Разногласия подробно описаны в статье о проверке статистических гипотез . Парадокс Джеффриса -Линдли показывает, как разные интерпретации, примененные к одному и тому же набору данных, могут привести к разным выводам о «статистической значимости» результата. [ нужна цитата ]

Как заметил Уильям Феллер : [5]

В нашей системе нет места спекуляциям относительно вероятности того, что солнце взойдет завтра . Прежде чем говорить об этом, нам следует договориться о (идеализированной) модели, которая, предположительно, будет работать по принципу «из бесконечного множества миров один выбирается случайным образом...». Чтобы построить такую ​​модель, требуется немного воображения, но, похоже, и неинтересно, и бессмысленно.

Комментарий Феллера был критикой Пьера-Симона Лапласа , который опубликовал решение проблемы восхода солнца, используя альтернативную вероятностную интерпретацию. Несмотря на явный и немедленный отказ Лапласа от ответственности в источнике, основанный на знаниях в области астрономии, а также теории вероятности, последовало два столетия критики.

История

Частота взглядов, возможно, была предвосхищена Аристотелем в « Риторике» [6] , когда он писал:

вероятно то, что по большей части происходит [7]

Пуассон четко различал объективные и субъективные вероятности в 1837 году . вероятностей» [10] ), Курно ( «Изложение теории шансов и вероятностей ») [11] и Фрис представили частотную точку зрения. Два десятилетия спустя Венн представил подробное изложение (« Логика случая: очерк об основах и области теории вероятностей» (опубликованные издания в 1866, 1876, 1888 годах)) [12] . Они были дополнительно поддержаны публикациями Буля и Бертрана . К концу XIX века частотная интерпретация прочно утвердилась и, возможно, стала доминировать в науке. [8] Следующее поколение разработало инструменты классической статистики вывода (проверка значимости, проверка гипотез и доверительные интервалы), все они основаны на частотной вероятности.

Альтернативно, [13] Якоб Бернулли (также известный как Джеймс или Жак) понял концепцию частотной вероятности и посмертно в 1713 году опубликовал критическое доказательство (слабый закон больших чисел) . Ему также приписывают некоторую оценку субъективной вероятности (до и без теоремы Байеса). [14] [15] Гаусс и Лаплас использовали частотную (и другие) вероятности при выводе метода наименьших квадратов столетие спустя, за поколение до Пуассона. [16] Лаплас рассматривал вероятности показаний, таблиц смертности, решений трибуналов и т. д., которые вряд ли являются кандидатами на классическую вероятность. С этой точки зрения вкладом Пуассона была его резкая критика альтернативной интерпретации «обратной» (субъективной, байесовской) вероятности. Любая критика со стороны Гаусса и Лапласа была приглушенной и неявной. (В их более поздних выводах обратная вероятность не использовалась.)

Основными авторами «классической» статистики в начале 20-го века были Фишер , Нейман и Пирсон . Фишер внес свой вклад в большую часть статистики и сделал значимое тестирование основой экспериментальной науки, хотя он критиковал частотную концепцию «повторной выборки из одной и той же популяции» (Рубин, 2020); [17] Нейман сформулировал доверительные интервалы и внес большой вклад в теорию выборки; Нейман и Пирсон объединились для проведения проверки гипотез. Все ценили объективность, поэтому лучшая доступная им интерпретация вероятности была частотной. Все с подозрением относились к «обратной вероятности» (доступной альтернативе) с априорными вероятностями, выбранными с использованием принципа безразличия. Фишер сказал: «... теория обратной вероятности основана на ошибке [ссылаясь на теорему Байеса] и должна быть полностью отвергнута». (из его «Статистических методов для научных работников»). Хотя Нейман был чистым сторонником частотности, [18] взгляды Фишера на вероятность были уникальными; Оба имели тонкий взгляд на вероятность. фон Мизес предложил сочетание математической и философской поддержки частотности той эпохи. [19] [20]

Этимология

Согласно Оксфордскому словарю английского языка , термин «частотный» впервые был использован М.Г. Кендаллом в 1949 году для противопоставления байесовцам , которых он называл «нечасто встречающимися». [21] [22] Он заметил

3....мы можем в общих чертах выделить два основных подхода. Один принимает вероятность как «степень рационального убеждения» или какую-то подобную идею... второй определяет вероятность с точки зрения частоты возникновения событий или относительных пропорций в «популяциях» или «коллективах»; (стр. 101)
...
12. Можно подумать, что различия между частыми и нечастыми пользователями (если я могу их так назвать) во многом обусловлены различиями в областях, которые они призваны охватить. (стр. 104)
...
Я утверждаю, что это не так ... Существенное различие между частыми и нечастыми сторонниками состоит, я думаю, в том, что первые, стремясь избежать всего, что имеет привкус мнения, стремятся определить вероятность в терминах объективные свойства популяции, реальные или гипотетические, тогда как последние этого не делают. [курсив в оригинале]

«Частотная теория вероятностей» использовалась поколением ранее в качестве названия главы у Кейнса (1921). [6]

Историческая последовательность: были введены концепции вероятности и получена большая часть вероятностной математики (до 20-го века), были разработаны классические статистические методы вывода, были закреплены математические основы вероятности и введена современная терминология (все в 20-м веке). В основных исторических источниках по вероятности и статистике не использовалась текущая терминология классической, субъективной (байесовской) и частотной вероятности.

Альтернативные взгляды

Теория вероятностей – это раздел математики. Хотя ее корни уходят в далекое прошлое, она достигла зрелости благодаря аксиомам Андрея Колмогорова в 1933 году. Теория фокусируется на действительных операциях над значениями вероятности, а не на первоначальном присвоении значений; математика в значительной степени независима от какой-либо интерпретации вероятности.

Приложения и интерпретации вероятности рассматриваются философией, науками и статистикой. Всех интересует извлечение знаний из наблюдений — индуктивное рассуждение . Существует множество конкурирующих интерпретаций; [23] У всех есть проблемы. Частотная интерпретация разрешает трудности классической интерпретации, например, любую проблему, в которой неизвестна естественная симметрия результатов. Он не затрагивает другие вопросы, такие как голландская книга .

Примечания

  1. ^ Каплан, Д. (2014). Байесовская статистика для социальных наук. Методология в социальных науках. Публикации Гилфорда. п. 4. ISBN 978-1-4625-1667-4. Проверено 23 апреля 2022 г.
  2. ^ Гудман, Стивен Н. (1999). «На пути к доказательной медицинской статистике. 1: Ошибка значения P». Анналы внутренней медицины . 130 (12): 995–1004. дои : 10.7326/0003-4819-130-12-199906150-00008. PMID  10383371. S2CID  7534212.
  3. ^ Мори, Ричард Д.; Хукстра, Ринк; Рудер, Джеффри Н.; Ли, Майкл Д.; Вагенмейкерс, Эрик-Ян (2016). «Ошибка доверия к доверительным интервалам». Психономический бюллетень и обзор . 23 (1): 103–123. дои : 10.3758/s13423-015-0947-8. ПМЦ 4742505 . ПМИД  26450628. 
  4. ^ Мэтьюз, Роберт (2021). «Заявление о p-value, пять лет спустя». Значение . 18 (2): 16–19. дои : 10.1111/1740-9713.01505. S2CID  233534109.
  5. ^ Уильям Феллер (1957), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1 , с. 4
  6. ^ Аб Кейнс, Джон Мейнард ; Трактат о вероятности (1921), глава VIII «Частотная теория вероятностей».
  7. ^ Риторика, Бк 1, глава 2; обсуждается в книге Дж. Франклина «Наука гипотез: доказательства и вероятности до Паскаля» (2001), The Johns Hopkins University Press. ISBN 0801865697 , с. 110. 
  8. ^ аб Гигеренцер, Герд; Свейтинк, Портер; Дастон, Битти; Дастон, Крюгер (1989). Империя случайностей: как вероятность изменила науку и повседневную жизнь . Кембридж Кембриджшир, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 35–6, 45. ISBN. 978-0-521-39838-1.
  9. ^ Эллис, Роберт Лесли (1843) «Об основах теории вероятностей», Труды Кембриджского философского общества, том 8
  10. ^ Эллис, Роберт Лесли (1854) «Замечания об фундаментальных принципах теории вероятностей», Труды Кембриджского философского общества, том 9
  11. ^ Курно, Антуан Огюстен (1843) Экспозиция теории шансов и вероятностей . Л. Ашетт, Париж. archive.org
  12. ^ Венн, Джон (1888) Логика шанса , 3-е издание archive.org. Полное название: «Логика шанса: эссе об основах и сфере применения теории вероятностей с особым упором на ее логические аспекты и применение к моральным и социальным наукам, а также к статистике» , Macmillan & Co, Лондон.
  13. ^ Хальд, Андерс (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера с 1713 по 1935 год . Копенгаген: Андерс Хальд, факультет прикладной математики и статистики, Копенгагенский университет. стр. 11–12. ISBN 978-87-7834-628-5.
  14. ^ Финберг, Стивен Э. (1992). «Краткая история статистики в трех с половиной главах: обзорное эссе». Статистическая наука . 7 (2): 208–225. дои : 10.1214/ss/1177011360 .
  15. ^ Дэвид, ФН (1962). Игры, боги и азартные игры . Нью-Йорк: Хафнер. стр. 137–138.Бернулли дал классический пример извлечения из урны множества черных и белых камешков (с заменой). Соотношение выборок позволило Бернулли сделать вывод о соотношении в урне с более жесткими границами по мере увеличения количества образцов. Историки могут интерпретировать этот пример как классическую, частотную или субъективную вероятность. Дэвид говорит: «Джеймс определенно начал здесь спор об обратной вероятности...» Бернулли писал за несколько поколений до Байеса, Лапласа и Гаусса. Споры продолжаются.
  16. ^ Хальд, Андерс (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера с 1713 по 1935 год . Копенгаген: Андерс Хальд, факультет прикладной математики и статистики Копенгагенского университета. стр. 1–5. ISBN 978-87-7834-628-5.
  17. ^ Рубин, М. (2020). «Повторная выборка из одной и той же популяции?» Критика ответов Неймана и Пирсона Фишеру». Европейский журнал философии науки . 10 (42): 1–15. дои : 10.1007/s13194-020-00309-6. S2CID  221939887.
  18. ↑ Нейман, Ежи (30 августа 1937 г.). «Очерк теории статистического оценивания, основанной на классической теории вероятностей». Фил. Пер. Р. Сок. Лонд. А. _ 236 (767): 333–380. Бибкод : 1937RSPTA.236..333N. дои : 10.1098/rsta.1937.0005 .Вывод доверительных интервалов Нейманом включал аксиомы теории меры вероятности, опубликованные Колмогоровым несколькими годами ранее, и ссылался на субъективные (байесовские) определения вероятности Джеффриса, опубликованные ранее в том же десятилетии. Нейман определил частотную вероятность (под названием классической) и заявил о необходимости случайности в повторяющихся выборках или испытаниях. Он в принципе признал возможность существования множества конкурирующих теорий вероятности, выразив при этом несколько конкретных оговорок по поводу существующей альтернативной интерпретации вероятности.
  19. ^ фон Мизес, Ричард (1939) Вероятность, статистика и истина (на немецком языке) (английский перевод, 1981: Dover Publications; 2 исправленное издание. ISBN 0486242145 ) (стр.14) 
  20. ^ Теория частот, глава 5; обсуждается в Дональде Жиле, «Философские теории вероятности» (2000), Psychology Press. ISBN 9780415182751 , с. 88. 
  21. ^ «Самое раннее известное использование некоторых слов вероятности и статистики» .
  22. ^ Кендалл, Морис Джордж (1949). «О согласовании теорий вероятности». Биометрика . Биометрика Трест. 36 (1/2): 101–116. дои : 10.1093/biomet/36.1-2.101. JSTOR  2332534. PMID  18132087.
  23. ^ Аб Хаек, Алан (21 октября 2002 г.), Залта, Эдвард Н. (редактор), Интерпретации вероятности, Стэнфордская энциклопедия философии
  24. ^ Эш, Роберт Б. (1970). Основная теория вероятностей . Нью-Йорк: Уайли. стр. 1–2.
  25. ^ Фэрфилд, Таша; Чарман, Эндрю Э. (15 мая 2017 г.). «Явный байесовский анализ для отслеживания процессов: рекомендации, возможности и предостережения». Политический анализ . 25 (3): 363–380. дои : 10.1017/pan.2017.14. S2CID  8862619.

Рекомендации