stringtranslate.com

Частотная вероятность

Джон Венн , который дал подробное изложение частотной вероятности в своей книге «Логика случая» . [1]

Частотная вероятность или частотность — это интерпретация вероятности ; она определяет вероятность события как предел его относительной частоты в бесконечном числе испытаний ( долгосрочная вероятность ). [2] Вероятности могут быть найдены (в принципе) с помощью повторяющегося объективного процесса (и, таким образом, в идеале лишены мнения). Однако постоянное использование частотных методов в научном выводе было поставлено под сомнение. [3] [4] [5]

Развитие частотного подхода было мотивировано проблемами и парадоксами ранее господствовавшей точки зрения, классической интерпретации . В классической интерпретации вероятность определялась в терминах принципа безразличия , основанного на естественной симметрии проблемы, так, например, вероятности игр в кости возникают из естественной симметричности 6-гранности куба. Эта классическая интерпретация спотыкалась на любой статистической проблеме, которая не имела естественной симметрии для рассуждения.

Определение

В частотной интерпретации вероятности обсуждаются только при работе с четко определенными случайными экспериментами. Набор всех возможных результатов случайного эксперимента называется выборочным пространством эксперимента. Событие определяется как определенное подмножество выборочного пространства, которое должно быть рассмотрено. Для любого данного события может иметь место только одна из двух возможностей: оно происходит или нет. Относительная частота появления события, наблюдаемая в ряде повторений эксперимента, является мерой вероятности этого события. Это основная концепция вероятности в частотной интерпретации.

Утверждение частотного подхода заключается в том, что по мере увеличения числа испытаний изменение относительной частоты будет уменьшаться. Следовательно, можно рассматривать вероятность как предельное значение соответствующих относительных частот.

Объем

Частотная интерпретация — это философский подход к определению и использованию вероятностей; это один из нескольких таких подходов. Он не претендует на то, чтобы охватить все коннотации понятия «вероятный» в разговорной речи естественных языков.

Как интерпретация, она не противоречит математической аксиоматизации теории вероятностей; скорее, она дает указания о том, как применять математическую теорию вероятностей к ситуациям реального мира. Она предлагает четкое руководство по построению и проектированию практических экспериментов, особенно в сравнении с байесовской интерпретацией . Что касается того, полезно ли это руководство или оно склонно к неправильной интерпретации, это стало источником споров. Особенно когда частотная интерпретация вероятности ошибочно считается единственно возможной основой для частотного вывода . Так, например, список неправильных интерпретаций смысла p-значений сопровождает статью о p -значениях; споры подробно описаны в статье о статистической проверке гипотез . Парадокс Джеффриса-Линдли показывает, как разные интерпретации, примененные к одному и тому же набору данных, могут привести к разным выводам о «статистической значимости» результата. [ необходима цитата ]

Как отмечает Феллер : [а]

В нашей системе нет места для спекуляций относительно вероятности того, что солнце взойдет завтра . Прежде чем говорить об этом, нам следует договориться о (идеализированной) модели, которая, предположительно, будет работать по принципу «из бесконечного множества миров один выбирается случайным образом...» Для построения такой модели требуется немного воображения, но она кажется и неинтересной, и бессмысленной. [6]

История

Фракционистский взгляд, возможно, был предвосхищен Аристотелем в его «Риторике» [7] , когда он писал:

вероятно то, что большей частью случается — Аристотель Риторика [8]

Пуассон (1837) четко различал объективные и субъективные вероятности. [9] Вскоре после этого поток почти одновременных публикаций Милля , Эллиса (1843) [10] и Эллиса (1854), [11], Курно (1843), [12] и Фриза представили частотную точку зрения. Венн (1866, 1876, 1888) [1] представил подробное изложение два десятилетия спустя. Они были дополнительно подкреплены публикациями Буля и Бертрана . К концу 19-го века частотная интерпретация была прочно устоявшейся и, возможно, доминирующей в науках. [9] Следующее поколение создало инструменты классической инференциальной статистики (проверка значимости, проверка гипотез и доверительные интервалы), все основанные на частотной вероятности.

В качестве альтернативы [13] Бернулли [b] понял концепцию частотной вероятности и опубликовал критическое доказательство ( слабый закон больших чисел ) посмертно (Бернулли, 1713). [14] Ему также приписывают некоторую оценку субъективной вероятности (до и без теоремы Байеса ). [15] [c] [16] Гаусс и Лаплас использовали частотную (и другую) вероятность при выводе метода наименьших квадратов столетие спустя, за поколение до Пуассона. [13] Лаплас рассматривал вероятности показаний, таблиц смертности, решений трибуналов и т. д., которые вряд ли являются кандидатами на классическую вероятность. С этой точки зрения вкладом Пуассона была его резкая критика альтернативной «обратной» (субъективной, байесовской) интерпретации вероятности. Любая критика Гаусса или Лапласа была приглушенной и неявной. (Однако следует отметить, что их более поздние выводы наименьших квадратов не использовали обратную вероятность.)

Основными авторами «классической» статистики в начале 20-го века были Фишер , Нейман и Пирсон . Фишер внес вклад в большую часть статистики и сделал проверку значимости ядром экспериментальной науки, хотя он критиковал частотную концепцию «повторной выборки из той же популяции» ; [17] Нейман сформулировал доверительные интервалы и внес большой вклад в теорию выборки; Нейман и Пирсон объединились в создании проверки гипотез. Все они ценили объективность, поэтому наилучшей интерпретацией вероятности, доступной им, была частотная.

Все с подозрением относились к «обратной вероятности» (доступной альтернативе) с априорными вероятностями, выбранными с использованием принципа безразличия. Фишер сказал: «... теория обратной вероятности основана на ошибке [ссылаясь на теорему Байеса] и должна быть полностью отвергнута». [18] Хотя Нейман был чистым частотником, [19] [d] взгляды Фишера на вероятность были уникальными: и Фишер, и Нейман имели нюансированный взгляд на вероятность. Фон Мизес предложил сочетание математической и философской поддержки частотности в эпоху. [20] [21]

Этимология

Согласно Оксфордскому словарю английского языка , термин «частотник» впервые был использован М. Г. Кендаллом в 1949 году для противопоставления байесовцам , которых он называл нечастотниками . [22] [23] Кендалл заметил,

3. ... мы можем в общих чертах выделить два основных подхода. Один из них рассматривает вероятность как «степень рациональной веры» или какую-то подобную идею... второй определяет вероятность в терминах частоты возникновения событий или относительных пропорций в «популяциях» или «коллективах»; [23] (стр. 101)
...
12. Можно подумать, что различия между частотниками и нечастотниками (если их можно так назвать) во многом обусловлены различиями в областях, которые они якобы охватывают. [23] (стр. 104)
...
Я утверждаю, что это не так ... Главное различие между сторонниками частотности и не сторонниками частотности, как мне кажется, заключается в том, что первые, стремясь избежать всего, что отдает вопросами мнения, стремятся определить вероятность в терминах объективных свойств совокупности, реальной или гипотетической, тогда как вторые этого не делают. [выделено в оригинале]

«Частотная теория вероятностей» использовалась поколением ранее в качестве названия главы в работе Кейнса (1921). [7]

Историческая последовательность:

  1. Были введены концепции вероятности и выведена большая часть математики вероятности (до 20-го века)
  2. были разработаны классические методы статистического вывода
  3. были заложены математические основы теории вероятностей и введена современная терминология (все это произошло в XX веке).

В основных исторических источниках по вероятности и статистике не использовалась современная терминология классической , субъективной (байесовской) и частотной вероятности.

Альтернативные взгляды

Теория вероятностей — раздел математики. Хотя ее корни уходят вглубь веков, она достигла зрелости с аксиомами Андрея Колмогорова в 1933 году. Теория фокусируется на допустимых операциях над значениями вероятности, а не на первоначальном назначении значений; математика в значительной степени независима от какой-либо интерпретации вероятности.

Приложения и интерпретации вероятности рассматриваются философией, науками и статистикой. Все они заинтересованы в извлечении знаний из наблюдений — индуктивном рассуждении . Существует множество конкурирующих интерпретаций; [24] У всех есть проблемы. Частотная интерпретация действительно разрешает трудности с классической интерпретацией, например, любую проблему, где естественная симметрия результатов неизвестна. Она не рассматривает другие вопросы, такие как голландская книга .

Сноски

  1. ^ Комментарий Феллера представляет собой критику решения Пьера-Симона Лапласа проблемы «завтрашнего восхода солнца», в котором использовалась альтернативная интерпретация вероятности.
    Несмотря на явный и немедленный отказ Лапласа от ответственности в источнике , основанный на его личных познаниях как в астрономии, так и в теории вероятности, последовали два столетия болтливой критики.
  2. ^ Швейцарский математик Якоб Бернулли из знаменитой семьи Бернулли жил в многоязычной стране и сам регулярно переписывался и общался с носителями немецкого и французского языков, а также публиковался на латыни — на всех этих языках он говорил свободно. Он с удобством и часто использовал три имени «Якоб», «Джеймс» и «Жак», в зависимости от языка, на котором он говорил или писал.
  3. ^ Бернулли привел классический пример извлечения множества черных и белых камешков из урны (с заменой). Соотношение выборок позволило Бернулли вывести соотношение в урне, с более узкими границами по мере увеличения числа выборок.
    Историки могут интерпретировать пример как классическую, частотную или субъективную вероятность. Дэвид пишет: « Джеймс определенно начал здесь спор об обратной вероятности...» Бернулли писал за поколения до Байеса, Лапласа и Гаусса. Споры продолжаются. — Дэвид (1962), стр. 137–138 [16]
  4. ^ Вывод доверительных интервалов Ежи Нейманом охватывал аксиомы теории меры вероятности, опубликованные Андреем Колмогоровым несколькими годами ранее, и ссылался на « субъективные определения вероятности (Байесовские), которые Джеффрис опубликовал ранее в этом десятилетии. Нейман определил частотную вероятность (под названием классическая ) и указал на необходимость случайности в повторяющихся выборках или испытаниях. Он в принципе принял возможность множественных конкурирующих теорий вероятности, в то же время выразив несколько конкретных оговорок относительно существующей альтернативной интерпретации вероятности. [19]

Цитаты

  1. ^ ab Venn, John (1888) [1866, 1876]. Логика случая (3-е изд.). Лондон, Великобритания: Macmillan & Co. – через Интернет-архив (archive.org. Эссе об основах и области теории вероятностей, с особым упором на ее логические аспекты и ее применение в моральной и социальной науке, а также в статистике.
  2. ^ Каплан, Д. (2014). Байесовская статистика для социальных наук. Методология в социальных науках. Guilford Publications. стр. 4. ISBN 978-1-4625-1667-4. Получено 23 апреля 2022 г. .
  3. ^ Гудман, Стивен Н. (1999). «На пути к медицинской статистике на основе фактических данных. 1: Ошибка p -значения ». Annals of Internal Medicine . 130 (12): 995–1004. doi :10.7326/0003-4819-130-12-199906150-00008. PMID  10383371. S2CID  7534212.
  4. ^ Morey, Richard D.; Hoekstra, Rink; Rouder, Jeffrey N.; Lee, Michael D.; Wagenmakers, Eric-Jan (2016). «Ошибочность размещения уверенности в доверительных интервалах». Psychonomic Bulletin & Review . 23 (1): 103–123. doi :10.3758/s13423-015-0947-8. PMC 4742505. PMID  26450628 . 
  5. ^ Мэтьюз, Роберт (2021). « Утверждение о p -значении, пять лет спустя». Значимость . 18 (2): 16–19. doi :10.1111/1740-9713.01505. S2CID  233534109.
  6. ^ Феллер, В. (1957). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Т. 1. С. 4.
  7. ^ ab Keynes, JM (1921). "Глава VIII – Частотная теория вероятности". Трактат о вероятности .
  8. ↑ Аристотель . Риторика . Книга 1, гл. 2.
    обсуждается в
    Франклин, Дж. (2001). Наука предположений: доказательства и вероятность до Паскаля . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса. стр. 110. ISBN 0801865697.
  9. ^ ab Gigerenzer, Gerd; Swijtink, Porter; Daston, Beatty; Daston, Krüger (1989). Империя случая: как вероятность изменила науку и повседневную жизнь . Кембридж, Великобритания / Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 35–36, 45. ISBN 978-0-521-39838-1.
  10. ^ Эллис, Р. Л. (1843). «Об основах теории вероятностей». Труды Кембриджского философского общества . 8 .
  11. ^ Эллис, Р. Л. (1854). «Замечания об основных принципах теории вероятностей». Труды Кембриджского философского общества . 9 .
  12. ^ Курно, А.А. (1843). Экспозиция теории шансов и вероятностей. Париж, Франция: Л. Хашетт – через Интернет-архив (archive.org).
  13. ^ ab Hald, Anders (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера, 1713–1935 . Копенгаген, DM: Anders Hald, Department of Applied Mathematics and Statistics, University of Copenhagen . pp. 1–5. ISBN 978-87-7834-628-5.
  14. ^ Бернулли, Якоб (1713). Ars Conjectandi: Usum & applicationem praecedentis doctrinae in Civilibus, Moralibus, & o Economicis [ Искусство строить предположения: использование и применение предыдущего опыта в гражданских, моральных и экономических темах ] (на латыни).
  15. ^ Файнберг, Стивен Э. (1992). «Краткая история статистики в трех с половиной главах: обзорное эссе». Статистическая наука . 7 (2): 208–225. doi : 10.1214/ss/1177011360 .
  16. ^ ab Дэвид, ФН (1962). Игры, боги и азартные игры . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Hafner. С. 137–138.
  17. ^ Рубин, М. (2020). ««Повторная выборка из той же популяции?» Критика ответов Неймана и Пирсона Фишеру». Европейский журнал философии науки . 10 (42): 1–15. doi :10.1007/s13194-020-00309-6. S2CID  221939887.
  18. ^ Фишер, Р.А. Статистические методы для научных работников .
  19. ^ ab Neyman, Jerzy (30 августа 1937 г.). «Очерк теории статистической оценки, основанной на классической теории вероятности». Philosophical Transactions of the Royal Society of London A . 236 (767): 333–380. Bibcode :1937RSPTA.236..333N. doi : 10.1098/rsta.1937.0005 .
  20. ^ фон Мизес, Ричард (1981) [1939]. Вероятность, статистика и истина (на немецком и английском языках) (2-е, перераб. изд.). Dover Publications. стр. 14. ISBN 0486242145.
  21. ^ Жиль, Дональд (2000). "Глава 5 – Теория частот". Философские теории вероятности . Psychology Press. стр. 88. ISBN 9780415182751.
  22. ^ «Самые ранние известные использования некоторых слов из области вероятности и статистики». leidenuniv.nl . Лейдин, Нидерланды: Лейденский университет .
  23. ^ abc Кендалл, MG (1949). «О согласовании теорий вероятности». Biometrika . 36 (1–2): 101–116. doi :10.1093/biomet/36.1-2.101. JSTOR  2332534. PMID  18132087.
  24. ^ ab Hájek, Alan (21 октября 2002 г.). «Интерпретации вероятности». В Zalta, Edward N. (ред.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy – via plato.stanford.edu.
  25. ^ Эш, Роберт Б. (1970). Основная теория вероятностей . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Wiley. С. 1–2.
  26. ^ Фэрфилд, Таша; Чарман, Эндрю Э. (15 мая 2017 г.). «Явный байесовский анализ для отслеживания процессов: рекомендации, возможности и предостережения». Политический анализ . 25 (3): 363–380. doi :10.1017/pan.2017.14. S2CID  8862619.

Ссылки