Одиночно и даже дважды

Сколько раз число делится на 2

В математике четное целое число , то есть число, которое делится на 2, называется четно четным или дважды четным, даже если оно кратно 4, и нечетно четным или одинарно кратным, даже если оно не кратно 4. Первые названия являются традиционными, полученными из древнегреческой математики ; последние стали распространенными в последние десятилетия.

Эти названия отражают базовую концепцию в теории чисел , 2-порядок целого числа: сколько раз целое число можно разделить на 2. В частности, 2-порядок ненулевого целого числа n — это максимальное целое значение k, такое что n /2 ^k является целым числом. Это эквивалентно кратности 2 в разложении на простые множители .

• Чётное число можно разделить на 2 только один раз; оно чётное, но его частное от деления на 2 нечётное.
• Дважды четное число — это целое число, которое делится на 2 более одного раза; оно четное, и его частное на 2 также четное.

Раздельное рассмотрение нечетно- и четно-четных чисел полезно во многих разделах математики, особенно в теории чисел, комбинаторике , теории кодирования (см. четные коды ) и других.

Определения

Древнегреческие термины «четное-четное» ( древнегреческий : ἀρτιάκις ἄρτιος ) и «четное-нечетное» ( древнегреческий : ἀρτιάκις περισσός или ἀρτιοπέριττος ) получили различные неэквивалентные определения от Евклида и более поздних авторов, таких как Никомах . ^[1] Сегодня существует стандартное развитие этих концепций. 2-порядок или 2-адический порядок — это просто частный случай p -адического порядка при общем простом числе p ; см. p -адическое число для получения дополнительной информации об этой широкой области математики. Многие из следующих определений напрямую обобщаются на другие простые числа.

Для целого числа n 2-порядок n (также называемый оценкой ) — это наибольшее натуральное число ν, такое что 2 ^ν делит n . Это определение применимо к положительным и отрицательным числам n , хотя некоторые авторы ограничивают его положительным n ; и можно определить 2-порядок 0 как бесконечность (см. также четность нуля ). ^[2] 2-порядок n записывается как ν ₂ ( n ) или ord ₂ ( n ). Его не следует путать с мультипликативным порядком по модулю 2 .

2-й порядок обеспечивает единое описание различных классов целых чисел, определяемых четностью:

• Нечетные числа — это те, у которых ν ₂ ( n ) = 0, т. е. целые числа вида 2 m + 1 .
• Четные числа — это те, у которых ν ₂ ( n ) > 0, т. е. целые числа вида 2 m . В частности:
  • Чётными являются числа, у которых ν ₂ ( n ) = 1, т. е. целые числа вида 4 m + 2 .
  • Дважды четные числа — это числа, у которых ν ₂ ( n ) > 1, т. е. целые числа вида 4 m .
    • В этой терминологии дважды четное число может делиться на 8, а может и не делиться, поэтому в чистой математике нет специальной терминологии для «трижды четных» чисел, хотя она используется в учебных материалах для детей, включая более высокие кратные числа, такие как «четырежды четные». ^[3]

Можно также расширить 2-й порядок до рациональных чисел , определив ν ₂ ( q ) как уникальное целое число ν, где

${\displaystyle q=2^{\nu }{\frac {a}{b}}}$

и a и b оба нечетные. Например, полуцелые числа имеют отрицательный 2-порядок, а именно −1. Наконец, определив 2-адическое абсолютное значение

${\displaystyle |n|_{2}=2^{-\nu _{2}(n)},}$

мы находимся на пути к построению 2-адических чисел .

Приложения

Более безопасные ауты в дартсе

Цель игры в дартс — достичь счета 0, так что игрок с меньшим счетом находится в лучшем положении для победы. В начале этапа «меньше» имеет обычное значение абсолютного значения , и основная стратегия заключается в том, чтобы целиться в области с высоким значением на мишени и набирать как можно больше очков. В конце этапа, поскольку для победы нужно удвоить ставку, 2-адическое абсолютное значение становится соответствующей мерой. При любом нечетном счете, независимо от того, насколько он мал по абсолютному значению, требуется как минимум два дротика, чтобы выиграть. Любой четный счет от 2 до 40 может быть удовлетворен одним дротиком, а 40 — гораздо более желательный счет, чем 2, из-за эффектов промаха.

Распространенной ошибкой при целивании в дабл-ринг является попадание в сингл вместо этого и случайное уменьшение счета вдвое. При счете 22 — одинарное четное число — у вас есть игровой выстрел для дабл-11. Если вы попадаете в сингл-11, новый счет — 11, что нечетно, и потребуется как минимум еще два дротика, чтобы восстановиться. Напротив, при стрельбе в дабл-12 вы можете совершить ту же ошибку, но все равно иметь 3 игровых выстрела подряд: D12, D6 и D3. Как правило, при счете n < 42 у вас есть ν ₂ ( n ) таких игровых выстрелов. Вот почему 32 = 2 ⁵ — такой желанный счет: он делится 5 раз. ^{[4] [5]}

Иррациональность квадратного корня из 2

Классическое доказательство того, что квадратный корень из 2 иррационален , работает с помощью бесконечного спуска . Обычно часть доказательства, связанная с спуском, абстрагируется путем предположения (или доказательства) существования неприводимых представлений рациональных чисел . Альтернативный подход заключается в использовании существования оператора ν ₂ .

Предположим от противного, что

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}},}$

где a и b — ненулевые натуральные числа. Возведем обе части равенства в квадрат и применим оператор оценки 2-го порядка ν ₂ к 2 b ² = a ² :

${\displaystyle \nu _{2}\left(2b^{2}\right)=\nu _{2}\left(a^{2}\right)}$

${\displaystyle \nu _{2}\left(b^{2}\right)+1=\nu _{2}\left(a^{2}\right)}$

${\displaystyle 2\nu _{2}(b)+1=2\nu _{2}(a)}$

${\displaystyle \nu _{2}(a)-\nu _{2}(b)={\frac {1}{2}}}$

Поскольку оценки 2-го порядка являются целыми числами, разность не может быть равна рациональному числу . Следовательно, от противного, √ 2 не является рациональным числом. ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$

Более конкретно, поскольку оценка 2 b ² нечетна, а оценка a ² четна, они должны быть различными целыми числами, так что . Затем простой расчет дает нижнюю границу для разности , что дает прямое доказательство иррациональности, не полагаясь на закон исключенного третьего . ^[6] ${\displaystyle \left|2b^{2}-a^{2}\right|\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{3b^{2}}}}$ ${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-a/b\right|}$

Геометрическая топология

В геометрической топологии многие свойства многообразий зависят только от их размерности mod 4 или mod 8; таким образом, часто изучают многообразия однократно четной и дважды четной размерности (4 k +2 и 4 k ) как классы. Например, дважды четномерные многообразия имеют симметричную невырожденную билинейную форму на своей группе когомологий средней размерности , которая, таким образом, имеет целочисленную сигнатуру . Наоборот, однократно четномерные многообразия имеют кососимметричную невырожденную билинейную форму на своей средней размерности; если определить квадратичное уточнение этого до квадратичной формы (как на оснащенном многообразии ), то получим инвариант Арфа как инвариант mod 2. Нечетномерные многообразия, напротив, не имеют этих инвариантов, хотя в теории алгебраической хирургии можно определить более сложные инварианты. Эта 4-кратная и 8-кратная периодичность в структуре многообразий связана с 4-кратной периодичностью L-теории и 8-кратной периодичностью реальной топологической K-теории , которая известна как периодичность Ботта .

Если компактное ориентированное гладкое спиновое многообразие имеет размерность n ≡ 4 mod 8 , или ν ₂ ( n ) = 2 точно, то его сигнатура является целым числом, кратным 16. ^[7]

Другие выступления

Однократное четное число не может быть степенным числом . Его нельзя представить как разность двух квадратов . Однако однократное четное число можно представить как разность двух пронических чисел или двух степенных чисел. ^[8]

В теории групп относительно просто ^[9] показать, что порядок неабелевой конечной простой группы не может быть однозначно четным числом. Фактически, по теореме Фейта–Томпсона , он не может быть и нечетным, поэтому каждая такая группа имеет дважды четный порядок.

Непрерывная дробь Ламберта для функции тангенса дает следующую непрерывную дробь, включающую положительные четные числа: ^[10]

${\displaystyle \tanh {\frac {1}{2}}={\frac {e-1}{e+1}}=0+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

Это выражение приводит к аналогичным представлениям e . ^[11]

В органической химии правило Хюккеля , также известное как правило 4n + 2, предсказывает, что циклическая система π-связей , содержащая четное число p-электронов, будет ароматической . ^[12]

Связанные классификации

Хотя 2-й порядок может обнаружить, когда целое число сравнимо с 0 (mod 4) или 2 (mod 4), он не может определить разницу между 1 (mod 4) или 3 (mod 4). Это различие имеет некоторые интересные следствия, такие как теорема Ферма о суммах двух квадратов .

Смотрите также

• p-адический порядок

Ссылки

1. Евклид; Иоган Людвиг Гейберг (1908). Тринадцать книг «Начал» Евклида. Издательство Университета. С. 281–284.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. Лендьел, Тамас (1994). «Характеристика 2-адического порядка логарифма» (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 32 (5): 397–401. doi :10.1080/00150517.1994.12429184.
3. url=https://www.parleybot.com/p/double-triple-quadruple-even-number.html | Онлайн-калькулятор для расчета нескольких четных чисел
4. Нунес, Терезинья и Питер Брайант (1996). Дети, занимающиеся математикой . Блэквелл. С. 98–99. ISBN 0-631-18472-4.
5. Эверсон, Фред (2006). Руководство для игроков в бар по выигрышу в дартс . Траффорд. стр. 39. ISBN 1-55369-321-3.
6. Бенсон, Дональд С. (2000). Момент доказательства: математические прозрения . Oxford UP. С. 46–47. ISBN 0-19-513919-4.
7. Ошанин, Серж, «Подпись по модулю 16, общие инварианты Kervaire généralisés и nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle», Mém. Соц. Математика. Франция 1980/81, нет. 5, 142 стр. МР 1809832
8. * Макдэниел, Уэйн Л. (1982). «Представление каждого целого числа как разности мощных чисел». Fibonacci Quarterly . 20 : 85–87. doi :10.1080/00150517.1982.12430037.
9. См., например: Бурбаки (1989). Элементы математики: Алгебра I: Главы 1-3 (Мягкая обложка переиздания английского перевода 1974 года). Springer. С. 154–155. ISBN 3-540-64243-9.
10. Хайрер, Эрнст и Герхард Ваннер (1996). Анализ по его истории . Springer. стр. 69–78. ISBN 0-387-94551-2.
11. Ланг, Серж (1995). Введение в диофантовы приближения . Springer. стр. 69–73. ISBN 0-387-94456-7.
12. Уэллетт, Роберт Дж. и Дж. Дэвид Рон (1996). Органическая химия . Prentice Hall. стр. 473. ISBN 0-02-390171-3.

Внешние ссылки

• одно четное число на PlanetMath
• Последовательность OEIS A016825 (Числа, сравнимые с 2 по модулю 4)
• Последовательность OEIS A008586 (кратно 4)