Подпись (топология)

В области топологии сигнатура — это целочисленный инвариант , который определяется для ориентированного многообразия M размерности, кратной четырем .

Этот инвариант многообразия был подробно изучен, начиная с теоремы Рохлина для 4-многообразий и теоремы Хирцебруха о сигнатуре .

Определение

Для связного и ориентированного многообразия M размерности 4k произведение чашек порождает квадратичную форму Q на «средней» вещественной группе когомологий

${\displaystyle H^{2k}(M,\mathbf {R} )}$.

Базовая идентичность для продукта «чашка»

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

показывает, что при p = q = 2 k произведение симметрично . Оно принимает значения в

${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {R} )}$.

Если мы также предположим, что M компактно , двойственность Пуанкаре отождествляет это с

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {R} )}$

который можно отождествить с . Следовательно, произведение чашек при этих гипотезах действительно приводит к симметричной билинейной форме на H ^{2 k} ( M , R ); и, следовательно , к квадратичной форме Q . Форма Q невырождена из-за двойственности Пуанкаре, поскольку она невырожденно спаривается с собой. ^[1] В более общем случае сигнатуру можно определить таким образом для любого общего компактного многогранника с 4n -мерной двойственностью Пуанкаре. ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Сигнатура M по определению является сигнатурой Q , то есть любая диагональная матрица, определяющая Q , имеет положительные и отрицательные элементы. ^[2] Если M не является связным, его сигнатура определяется как сумма сигнатур его связных компонентов. ${\displaystyle \sigma (M)}$ ${\displaystyle \sigma (M)=n_{+}-n_{-}}$ ${\displaystyle n_{+}}$ ${\displaystyle n_{-}}$

Другие размеры

Если M имеет размерность, не делящуюся на 4, ее сигнатура обычно определяется как 0. Существуют альтернативные обобщения в L-теории : сигнатуру можно интерпретировать как 4 k -мерную (односвязную) симметричную L-группу или как 4 k -мерную квадратичную L-группу , и эти инварианты не всегда обращаются в нуль для других размерностей. Инвариант Кервера является инвариантом mod 2 (т. е. элементом ) для оснащенных многообразий размерности 4 k +2 (квадратичная L-группа ), в то время как инвариант де Рама является инвариантом mod 2 многообразий размерности 4 k +1 (симметричная L-группа ); другие размерные L-группы обращаются в нуль. ${\displaystyle L^{4k},}$ ${\displaystyle L_{4k},}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$ ${\displaystyle L_{4k+2}}$ ${\displaystyle L^{4k+1}}$

инвариант Кервера

Когда — дважды нечетное целое число ( однократно четное ), то же построение приводит к антисимметричной билинейной форме . Такие формы не имеют инварианта сигнатуры; если они невырождены, любые две такие формы эквивалентны. Однако, если взять квадратичное уточнение формы, что происходит, если есть оснащенное многообразие , то полученные ε-квадратичные формы не обязаны быть эквивалентными, поскольку отличаются инвариантом Арфа . Результирующий инвариант многообразия называется инвариантом Кервера . ${\displaystyle d=4k+2=2(2k+1)}$

Характеристики

• Компактные ориентированные многообразия M и N удовлетворяют по определению и удовлетворяют по формуле Кюннета . ${\displaystyle \sigma (M\sqcup N)=\sigma (M)+\sigma (N)}$ ${\displaystyle \sigma (M\times N)=\sigma (M)\sigma (N)}$

• Если M — ориентированная граница, то . ${\displaystyle \sigma (M)=0}$

• Рене Том (1954) показал, что сигнатура многообразия является инвариантом кобордизма и, в частности, задается некоторой линейной комбинацией его чисел Понтрягина . ^[3] Например, в четырех измерениях она задается выражением . Фридрих Хирцебрух (1954) нашел явное выражение для этой линейной комбинации как рода L многообразия. ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{3}}}$

• Уильям Браудер (1962) доказал, что односвязный компактный многогранник с 4n -мерной двойственностью Пуанкаре гомотопически эквивалентен многообразию тогда и только тогда, когда его сигнатура удовлетворяет выражению теоремы Хирцебруха о сигнатуре .

• Теорема Рохлина гласит, что сигнатура 4-мерного односвязного многообразия со спиновой структурой делится на 16.

Смотрите также

• Теорема Хирцебруха о сигнатурах
• Род мультипликативной последовательности
• Теорема Рохлина

Ссылки

1. Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология (PDF) (Повторное издание). Кембридж: Cambridge Univ. Pr. стр. 250. ISBN 978-0521795401. Получено 8 января 2017 г.
2. Милнор, Джон; Сташефф, Джеймс (1962). Характеристические классы . Annals of Mathematics Studies 246. стр. 224. CiteSeerX 10.1.1.448.869 . ISBN  978-0691081229.
3. Том, Рене. «Quelques proprietes globales des varietes Differentiables» (PDF) (на французском языке). Комм. Математика. Гельветичи 28 (1954), С. 17–86 . Проверено 26 октября 2019 г.