Чашка продукта

Превращает когомологии пространства в градуированное кольцо

В математике , в частности в алгебраической топологии , произведение кубков — это метод присоединения двух коциклов степени p и q для образования составного коцикла степени p + q . Это определяет ассоциативную (и дистрибутивную) градуированную коммутативную операцию произведения в когомологиях, превращающую когомологии пространства X в градуированное кольцо , H ^∗ ( X ), называемое кольцом когомологий . Произведение кубков было введено в работах Дж. В. Александера , Эдуарда Чеха и Хасслера Уитни в 1935–1938 годах и, в полной общности, Сэмюэлем Эйленбергом в 1944 году.

Определение

В сингулярных когомологиях произведение чашек — это конструкция, дающая произведение на градуированном кольце когомологий H ^∗ ( X ) топологического пространства X .

Построение начинается с произведения коцепей : если является p -коцепью, а является q -коцепью, то ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle \beta ^{q}}$

${\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

где σ — сингулярный ( p + q ) -симплекс , а — каноническое вложение симплекса, натянутого на S, в -симплекс, вершины которого индексированы . ${\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}$ ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$

Неформально, — это p -я передняя грань , а — q -я задняя грань σ соответственно. ${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$ ${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$

Кограница чашечного произведения коцепей и задается выражением ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle \beta ^{q}}$

${\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$

Произведение чашек двух коциклов снова является коциклом, а произведение кограницы с коциклом (в любом порядке) является кограницей. Операция произведения чашек индуцирует билинейную операцию на когомологиях,

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$

Характеристики

Операция произведения чашек в когомологиях удовлетворяет тождеству

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

так что соответствующее умножение является градуированно-коммутативным .

Произведение чашек является функториальным в следующем смысле: если

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

является непрерывной функцией, и

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$

— индуцированный гомоморфизм в когомологиях, тогда

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$

для всех классов α, β в H ^* ( Y ). Другими словами, f ^* является (градуированным) гомоморфизмом колец .

Интерпретация

Можно рассматривать продукт в виде чашки как полученный из следующего состава: ${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$

${\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}$

в терминах цепных комплексов и , где первое отображение — это отображение Кюннета , а второе — отображение, индуцированное диагональю . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$

Эта композиция переходит к фактору, чтобы дать хорошо определенную карту в терминах когомологий, это произведение чашек. Этот подход объясняет существование произведения чашек для когомологий, но не для гомологии: индуцирует карту , но также индуцирует карту , которая идет в обратном направлении, чтобы позволить нам определить произведение. Это, однако, полезно для определения произведения крышек . ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)}$

Билинейность следует из этого представления произведения чашек, т.е. и ${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v}$ ${\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.}$

Примеры

Произведения чашек можно использовать для различения многообразий от клиньев пространств с идентичными группами когомологий. Пространство имеет те же группы когомологий, что и тор T , но с другим произведением чашек. В случае X умножение коцепей, связанных с копиями , вырождено, тогда как в T умножение в первой группе когомологий можно использовать для разложения тора как 2-клеточной диаграммы, таким образом получая произведение, равное Z (в более общем случае M , где это базовый модуль). ${\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Другие определения

Чашечное произведение и дифференциальные формы

В когомологиях де Рама произведение чашек дифференциальных форм индуцируется произведением клиньев . Другими словами, произведение клиньев двух замкнутых дифференциальных форм принадлежит классу де Рама произведения чашек двух исходных классов де Рама.

Чашечное произведение и геометрические пересечения

Число зацепления можно определить в терминах неисчезающего кубового произведения на дополнении к зацеплению. Дополнение этих двух связанных окружностей при деформации стягивается к клиновой сумме тора и 2-сферы, которая имеет неисчезающее кубовое произведение в степени 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Для ориентированных многообразий существует геометрическая эвристика, согласно которой «чашечное произведение двойственно пересечениям». ^{[1] [2]}

Действительно, пусть будет ориентированным гладким многообразием размерности . Если два подмногообразия коразмерности и пересекаются трансверсально , ​​то их пересечение снова является подмногообразием коразмерности . Взяв образы фундаментальных классов гомологии этих многообразий при включении, можно получить билинейное произведение по гомологии. Это произведение является дуальным по Пуанкаре к произведению чашек в том смысле, что если взять спаривания Пуанкаре , то будет иметь место следующее равенство: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle i+j}$ ${\displaystyle [A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}}$

${\displaystyle [A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )}$. ^[1]

Аналогично, число связей можно определить в терминах пересечений, сдвигая измерения на 1, или, альтернативно, в терминах неисчезающего кубового произведения на дополнении связи.

Продукция Massey

Произведения Мэсси обобщают чашечные произведения, позволяя определить «числа связей более высокого порядка», инварианты Милнора .

Произведение кубка является бинарным (2-арным) действием; можно определить тернарное (3-арное) и более высокого порядка действие, называемое произведением Масси , которое обобщает произведение кубка. Это когомологическая операция более высокого порядка , которая определена лишь частично (определена только для некоторых троек).

Смотрите также

• Сингулярная гомология
• Теория гомологии
• Продукт крышки
• Продукт Massey
• Группа Торелли

Ссылки

1. Хатчингс, Майкл. «Произведение чашек и пересечения» (PDF) .
2. Ciencias TV (10.12.2016), Неформальный разговор в Derived Geometry (Якоб Лурье), архивировано из оригинала 21.12.2021 , извлечено 26.04.2018

• Джеймс Р. Манкрес, «Элементы алгебраической топологии», Perseus Publishing, Кембридж, Массачусетс (1984) ISBN 0-201-04586-9 (твердый переплет) ISBN 0-201-62728-0 (мягкая обложка)  
• Глен Э. Бредон , «Топология и геометрия», Springer-Verlag, Нью-Йорк (1993) ISBN 0-387-97926-3 
• Аллен Хэтчер, «Алгебраическая топология», Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0