Четырехугольник

Многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами

В геометрии четырехугольник — это четырехсторонний многоугольник , имеющий четыре ребра (стороны) и четыре угла (вершины). Это слово происходит от латинских слов « квадри» (вариант слова «четыре») и « latus» , что означает «сторона». Его также называют тетрагоном , производным от греческого слова «тетра», означающего «четыре», и «гона», означающего «угол» или «угол», по аналогии с другими многоугольниками (например, пятиугольником ). Поскольку «гон» означает «угол», его по аналогии называют четырехугольником или четырехугольником. Четырехугольник с вершинами , , и иногда обозначается как . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \square ABCD}$

Четырехугольники бывают простыми (не самопересекающимися) или сложными (самопересекающимися или скрещенными). Простые четырехугольники бывают выпуклыми или вогнутыми .

Внутренние углы простого (и плоского ) четырехугольника ABCD в сумме составляют 360 градусов дуги , то есть ^[1]

${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.}$

Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: S = ( n - 2) × 180 °. ^[2]

Все несамопересекающиеся четырехугольники замостили плоскость путем многократного вращения вокруг середин своих ребер. ^[3]

Простые четырехугольники

Любой четырехугольник, не являющийся самопересекающимся, является простым четырехугольником.

Выпуклый четырехугольник

Диаграмма Эйлера некоторых типов простых четырехугольников. (UK) обозначает британский английский, а (US) — американский английский.

Выпуклые четырехугольники по симметрии, изображенные диаграммой Хассе .

В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

• Неправильный четырехугольник ( британский английский ) или трапеция ( североамериканский английский ): ни одна сторона не является параллельной. (В британском английском это когда-то называлось трапецией . Дополнительную информацию см. в разделе «Трапеция § Трапеция против трапеции» .)
• Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна . Трапеция (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
• Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельны, а углы при основании равны по мере. Альтернативные определения - это четырехугольник с осью симметрии, делящей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
• Параллелограмм : четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия заключаются в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам. К параллелограммам относятся ромбы (в том числе прямоугольники, называемые квадратами) и ромбоиды (в том числе прямоугольники, называемые продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбоиды, а значит, и все прямоугольники.
• Ромб , ромб: ^[1] все четыре стороны одинаковой длины (равносторонние). Эквивалентное условие состоит в том, что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неофициально: «передвинутый квадрат» (но строго включая и квадрат).
• Ромбовидный : параллелограмм, у которого смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы являются косыми (эквивалент, не имеющий прямых углов). Неофициально: «передвинутый продолговатый». Не все ссылки совпадают; некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом. ^[4]
• Прямоугольник : все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентным условием является то, что диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и прямоугольники. Неофициально: «коробочка или продолговатая форма» (в том числе квадратная).
• Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны имеют одинаковую длину (равносторонний), и все четыре угла являются прямыми. Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат — это параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (т. е. имеет четыре равные стороны и четыре равных угла).
• Продолговатый: длиннее ширины или шире длины (т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом). ^[5]
• Кайт : две пары соседних сторон имеют одинаковую длину. Это означает, что одна диагональ делит змей на равные треугольники , и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере. Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбы.

• Касательный четырёхугольник : четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
• Тангенциальная трапеция : трапеция, четыре стороны которой касаются вписанной окружности .
• Циклический четырехугольник : четыре вершины лежат на описанной окружности . Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.
• Правый кайт : воздушный змей с двумя противоположными прямыми углами. Это тип вписанного четырехугольника.
• Гармонический четырехугольник : произведения длин противоположных сторон равны. Это тип вписанного четырехугольника.
• Бицентрический четырехугольник : он одновременно тангенциальный и циклический.
• Ортодиагональный четырехугольник : диагонали пересекаются под прямым углом .
• Равнодиагональный четырехугольник : диагонали имеют одинаковую длину.
• Внекасательный четырехугольник : четыре продолжения сторон касаются вписанной окружности .
• Равный четырёхугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в вытянутом состоянии сходятся под углом 60°.
• Четырехугольник Ватта — это четырехугольник, у которого пара противоположных сторон одинаковой длины. ^[6]
• Четырехугольник четырехугольника — это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата. ^[7]
• Диаметральный четырехугольник — это вписанный в окружность четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности. ^[8]
• Четырёхугольник Ельмслева — четырёхугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах. ^[9]

Вогнутые четырехугольники

В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180°, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.

• Дротик (или наконечник стрелы) представляет собой вогнутый четырехугольник с двусторонней симметрией, подобный воздушному змею, но у которого один внутренний угол является рефлекторным. См . Кайт .

Сложные четырехугольники

Антипараллелограмм

Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному: перекрестным четырехугольником , скрещенным четырехугольником , четырехугольником -бабочкой или четырехугольником с галстуком-бабочкой . В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от пересечения (два острых и два рефлекторных , все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720°. ^[10]

• Скрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): ^[11] скрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как трапеция ).
• Антипараллелограмм : перекрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как в параллелограмме ).
• Перекрещенный прямоугольник : антипараллелограмм, стороны которого представляют собой две противоположные стороны и две диагонали прямоугольника , следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон.
• Скрещенный квадрат : частный случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом.

Специальные сегменты линий

Две диагонали выпуклого четырехугольника — это отрезки , соединяющие противоположные вершины.

Две бимедианы выпуклого четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. ^[12] Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

Четыре высоты выпуклого четырехугольника представляют собой перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны. ^[13]

Площадь выпуклого четырехугольника

Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .

Тригонометрические формулы

Площадь можно выразить в тригонометрических терминах как ^[14]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,}$

где длины диагоналей равны p и q , а угол между ними равен θ . ^[15] В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к тому, что θ равен 90° . ${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$

Площадь также можно выразить через бимедианы как ^[16]

${\displaystyle K=mn\sin \varphi ,}$

где длины бимедиан равны m и n , а угол между ними равен φ .

Формула Бретшнейдера ^{[17] [14]} выражает площадь через стороны и два противоположных угла:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{aligned}}}$

где стороны по порядку — a , b , c , d , где s — полупериметр, а A и C — два (фактически любые два) противоположных угла. Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, когда A + C = 180 ° .

Другая формула площади, выражающая стороны и углы, где угол C находится между сторонами b и c , а угол A — между сторонами a и d :

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.}$

В случае вписанного четырехугольника последняя формула принимает вид ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

В параллелограмме, у которого обе пары противоположных сторон и углов равны, эта формула сводится к ${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

В качестве альтернативы мы можем записать площадь через стороны и угол пересечения диагоналей θ , если θ не равен 90 ° : ^[18]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

В случае параллелограмма последняя формула принимает вид ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Другая формула площади, включающая стороны a , b , c , d : ^[16]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }}$

где x — расстояние между серединами диагоналей, а φ — угол между бимедианами.

Последняя формула тригонометрической площади, включающая стороны a , b , c , d и угол α (между a и b ): ^[19]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},}$

который также можно использовать для определения площади вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу α ), просто изменив первый знак + на - .

Нетригонометрические формулы

Следующие две формулы выражают площадь через стороны a , b , c и d , полупериметр s и диагонали p , q :

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$ ^[20]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$ ^[21]

Первый сводится к формуле Брахмагупты в случае циклического четырехугольника, поскольку тогда pq = ac + bd .

Площадь также можно выразить через бимедианы m , n и диагонали p , q :

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$ ^[22]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$ ^{[23] : Thm. 7}

Фактически, для определения площади достаточно любых трех из четырех значений m , n , p и q ^{, поскольку в любом четырехугольнике эти четыре значения связаны соотношением [24] : p. 126} Соответствующие выражения: ^[25] ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

если заданы длины двух бимедиан и одной диагонали, и ^[25]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

если заданы длины двух диагоналей и одной бимедианы.

Векторные формулы

Площадь четырехугольника ABCD можно вычислить с помощью векторов . Пусть векторы AC и BD образуют диагонали от A до C и от B до D. Тогда площадь четырехугольника равна

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

что составляет половину величины векторного произведения векторов AC и BD . В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AC как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x ₁ , y ₁ ) и BD как ( x ₂ , y ₂ ) , это можно переписать как:

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

Диагонали

Свойства диагоналей в четырехугольниках

В следующей таблице указано, делят ли диагонали в некоторых из самых основных четырехугольников пополам друг друга, перпендикулярны ли их диагонали и имеют ли их диагонали одинаковую длину. ^[26] Список применим к наиболее общим случаям и исключает именованные подмножества.

Примечание 1. Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеции не имеют перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (несходных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не являются какими-либо другими названными четырехугольниками.

Примечание 2: В воздушном змее одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (непохожих) воздушных змеев, у которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются какими-либо другими названными четырехугольниками).

Длины диагоналей

Длины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD можно вычислить, используя закон косинусов в каждом треугольнике, образованном одной диагональю и двумя сторонами четырехугольника. Таким образом

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

и

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: ^[27]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

и

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Обобщения закона параллелограмма и теоремы Птолемея.

В любом выпуклом четырехугольнике ABCD сумма квадратов четырех сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четырехкратный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей. Таким образом

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

где x — расстояние между серединами диагоналей. ^{[24] : стр.126} Это иногда называют теоремой Эйлера о четырёхугольниках и является обобщением закона параллелограмма .

Немецкий математик Карл Антон Бретшнейдер вывел в 1842 году следующее обобщение теоремы Птолемея относительно произведения диагоналей в выпуклом четырехугольнике ^[28]

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов четырехугольника. В вписанном четырёхугольнике , где A + C = 180°, оно сводится к pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

Другие метрические отношения

Если X и Y — основания нормалей B и D к диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , то ^{[29] : р. 14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA и диагонали пересекаются в точке E ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE . ^[30]

Форма и размеры выпуклого четырехугольника полностью определяются длинами его последовательных сторон и одной диагонали между двумя заданными вершинами. Две диагонали p, q и длины четырех сторон a, b, c , d четырехугольника связаны ^[14] определителем Кэли-Менгера следующим образом:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Биссектрисы угла

Внутренние биссектрисы выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник ^{[24] : с.127} (т. е. четыре точки пересечения соседних биссектрис лежат на одной окружности ), либо совпадают . В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником .

В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы A и C пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы B и D пересекаются на диагонали AC . ^[31]

Бимедианы

Параллелограмм Вариньона EFGH.

Бимедианы четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Пересечение бимедиан является центроидом вершин четырехугольника. ^[14]

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона . Он имеет следующие свойства:

• Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
• Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. ^[32]
• Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.
• Диагонали параллелограмма Вариньона являются бимедианами исходного четырехугольника.

Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, совпадают и делятся пополам точкой пересечения. ^{[24] : стр. 125}

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c, равна

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

где p и q — длины диагоналей. ^[33] Длина бимедианы, соединяющей середины сторон b и d , равна

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Следовательно ^{[24] : стр.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Это также следствие закона параллелограмма , примененного в параллелограмме Вариньона.

Длины бимедиан также можно выразить через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольниках в приведенных выше формулах. Откуда ^[23]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

и

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах не являются двумя, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике между бимедианами и диагоналями существует следующая двойственная связь: ^[29]

• Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны .
• Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Тригонометрические тождества

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам: ^[34]

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+C)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+D)}$

и

${\displaystyle {\frac {\tan A\,\tan {B}-\tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C-\tan B\,\tan D}}={\frac {\tan(A+C)}{\tan(A+B)}}.}$

Кроме того, ^[35]

${\displaystyle {\frac {\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}$

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым , поскольку tan 90° не определен.

Пусть , , , — стороны выпуклого четырехугольника, — полупериметр, и — противоположные углы, тогда ^[36] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle ad\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}A+bc\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}C=(s-a)(s-d)}$

и

${\displaystyle bc\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}C+ad\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}A=(s-b)(s-c)}$.

Мы можем использовать эти тождества для вывода формулы Бретшнайдера .

Неравенства

Область

Если выпуклый четырехугольник имеет последовательные стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет ^[37]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$с равенством только для прямоугольника .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$с равенством только для квадрата .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$с равенством только в том случае, если диагонали перпендикулярны и равны.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$с равенством только для прямоугольника. ^[16]

Из формулы Бретшнейдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет условию

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является вписанным или вырожденным, так что одна сторона равна сумме трех других (он сжался в отрезок , поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству ^[38]

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Обозначив периметр как L , имеем ^{[38] : с.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

для длин диагоналей p и q с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K и диагоналей AC = p , BD = q . Тогда ^[39]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)}$с равенством только для квадрата.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K , тогда имеет место следующее неравенство: ^[40]

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$с равенством только для квадрата.

Диагонали и бимедианы

Следствием теоремы Эйлера о четырехугольниках является неравенство

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом .

Эйлер также обобщил теорему Птолемея , которая представляет собой равенство в вписанном четырехугольнике , в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный. ^{[24] : стр.128–129} Это часто называют неравенством Птолемея .

В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы m, n и диагонали p, q связаны неравенством

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны. ^{[41] : Предложение 1.} Это следует непосредственно из тождества четырехугольника ${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Стороны

Стороны a , b , c и d любого четырехугольника удовлетворяют ^{[42] : с.228, №275.}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}}$

и ^{[42] : с.234, №466.}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.}$

Максимальные и минимальные свойства

Среди всех четырехугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат . Это называется изопериметрической теоремой для четырехугольников . Это прямое следствие неравенства площадей ^{[38] : с.114.}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}$

где K — площадь выпуклого четырехугольника с периметром L. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Теорема двойственности утверждает, что из всех четырехугольников заданной площади квадрат имеет наименьший периметр.

Четырехугольник с заданными длинами сторон, имеющий максимальную площадь, является вписанным четырехугольником . ^[43]

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями наибольшую площадь имеет ортодиагональный четырехугольник . ^{[38] : с.119} Это прямое следствие того факта, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет условию

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}$

где θ — угол между диагоналями p и q . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда θ = 90°.

Если P — внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

${\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}$

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин , является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. ^{[44] : стр. 120}

Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике.

Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» возникает из рассмотрения четырехугольника как пустого, но имеющего равные массы в вершинах. «Боковой центроид» возникает из-за того, что стороны имеют постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), возникает из-за того, что поверхность четырехугольника имеет постоянную плотность. Эти три пункта, как правило, не являются одним и тем же. ^[45]

«Центроид вершины» представляет собой пересечение двух бимедиан. ^[46] Как и в случае с любым многоугольником, координаты x и y центроида вершины являются средними арифметическими координатами x и y вершин.

«Центр тяжести площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G _a , G _b , G _c , G _d — центры тяжести треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда «центр тяжести площади» — это пересечение линий G _a G _c и G _b G _d . ^[47]

В общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогий центру описанной окружности и ортоцентру треугольника . Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O _a , Ob _b , O _c , O _d — центры описанных треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно; и обозначим через H _a , H _b , H _c , H _d ортоцентры в тех же треугольниках. Тогда пересечение прямых O _a O _c и O _b O _d называется квазицентром окружности , а пересечение прямых H _a H _c и H _b H _d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. ^[47] Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O лежат на одной прямой в этом порядке, и HG = 2 GO . ^[47]

Также можно определить квазинижнеточечный центр E как пересечение прямых E _a E _c и E _b E _d , где E _a , E _b , E _c , E _d — девятиточечные центры треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда E — середина OH . _ ^[47]

Другой замечательной линией в выпуклом четырехугольнике, не являющемся параллелограммом, является линия Ньютона , которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центроидом вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона ) — это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центроидом вершины. Линия примечательна тем, что она содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центроид (площади) в соотношении 3:1. ^[48]

Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и BC и AB и CD соответственно окружности (PAB), (PCD), (QAD) и (QBC) проходят через общую точку M , называемую микелевой точкой. точка. ^[49]

Для выпуклого четырехугольника ABCD , в котором E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω — окружность, проходящая через E и F , которая пересекает CB внутри в точках M и DA внутри . у Н. _ Пусть CA снова встретит ω в точке L , а DB снова встретит ω в точке K. Тогда справедливо: прямые NK и ML пересекаются в точке Р , расположенной на стороне АВ ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , расположенной на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD . ^{[50] [51] [52]}

Другие свойства выпуклых четырехугольников

• Пусть на всех сторонах четырёхугольника нарисованы внешние квадраты. Отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, а) равны по длине и (б) перпендикулярны . Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника . Это называется теоремой Ван Обеля .
• Для любого простого четырехугольника с заданными длинами ребер существует вписанный четырехугольник с такими же длинами ребер. ^[43]
• Четыре меньших треугольника, образованных диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. ^[53]

Таксономия

Таксономия четырехугольников с использованием диаграммы Хассе .

Иерархическая систематика четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы — это частные случаи высших классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что слово «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент — трапеция). Инклюзивные определения используются повсюду.

Перекос четырехугольников

(Красные) боковые края тетрагонального дисфеноида представляют собой правильный зигзагообразный скошенный четырехугольник.

Неплоский четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для расчета двугранных углов на основе длин ребер и угла между двумя соседними краями были выведены для изучения свойств таких молекул, как циклобутан , которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. ^[54] Исторически термин «четырехугольник» также использовался для обозначения перекошенного четырехугольника. ^[55] Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образует (возможно, неправильный) тетраэдр , и наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, в котором удалена пара противоположных ребер .

Смотрите также

• Полный четырехугольник
• Построение перпендикулярной биссектрисы четырехугольника
• Четырехугольник Саккери
• Виды сетки § Четырехугольная
• Четырехугольник (география)
• Гомография . Любой четырехугольник можно преобразовать в другой четырехугольник с помощью проективного преобразования (гомографии).

Рекомендации

1. «Четырехугольники - квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм». Mathsisfun.com . Проверено 2 сентября 2020 г.
2. «Сумма углов многоугольника». Куемат . Проверено 22 июня 2022 г.
3. Мартин, Джордж Эдвард (1982), Геометрия преобразований, Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, Теорема 12.1, стр. 120, doi : 10.1007/978-1-4612-5680-9, ISBN 0-387-90636-3, МР  0718119
4. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 года . Проверено 20 июня 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
5. «Калькулятор прямоугольников» . Cleavebooks.co.uk . Проверено 1 марта 2022 г.
6. Киди, Г.; Весы, П.; Немет, СЗ (2004). «Связи Ватта и четырехугольники». Математический вестник . 88 (513): 475–492. дои : 10.1017/S0025557200176107. S2CID  125102050.
7. Джоббингс, АК (1997). «Квадрика четырехугольников». Математический вестник . 81 (491): 220–224. дои : 10.2307/3619199. JSTOR  3619199. S2CID  250440553.
8. Борегар, РА (2009). «Диаметрические четырехугольники с двумя равными сторонами». Математический журнал колледжа . 40 (1): 17–21. дои : 10.1080/07468342.2009.11922331. S2CID  122206817.
9. Хартсхорн, Р. (2005). Геометрия: Евклид и не только . Спрингер. стр. 429–430. ISBN 978-1-4419-3145-0.
10. «Звезды: второй взгляд» (PDF) . Mysite.mweb.co.za . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 года . Проверено 1 марта 2022 г.
11. Батлер, Дэвид (6 апреля 2016 г.). «Перекрещенная трапеция». Осмысление собственного смысла . Проверено 13 сентября 2017 г.
12. Э. В. Вайсштейн. «Бимедиан». MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
13. Э. В. Вайсштейн. «Малтитут». MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
14. Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». mathworld.wolfram.com . Проверено 2 сентября 2020 г.
15. Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 86, июль 2002 г., 310–311.
16. Йозефссон, Мартин (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 13 : 17–21.
17. Р. А. Джонсон, Расширенная евклидова геометрия , 2007, Dover Publ. , п. 82.
18. Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.
19. «Формулы треугольника» (PDF) . mathcentre.ac.uk . 2009 . Проверено 26 июня 2023 г.
20. Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347.
21. Э. В. Вайсштейн. «Формула Бретшнейдера». MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
22. Арчибальд, Р.К., «Площадь четырехугольника», American Mathematical Monthly , 29 (1922), стр. 29–36.
23. Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164.
24. Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.
25. Йозефссон, Мартин (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), стр. 505–508.
26. «Диагонали четырехугольников - перпендикуляр, биссектриса или оба» . Math.okstate.edu . Проверено 1 марта 2022 г.
27. Рашид, М.А. и Аджибаде, А.О., «Два условия того, чтобы четырехугольник был циклическим, выраженные через длины его сторон», Int. Дж. Математика. Образование. наук. Технол. , том. 34 (2003) нет. 5, стр. 739–799.
28. Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, Комплексные числа от А до... Я , Биркхойзер, 2006, стр. 207–209.
29. Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25.
30. Хен, Ларри (2011), «Новая формула, касающаяся диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 211–212.
31. Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.
32. HSM Coxeter и SL Greitzer, «Возвращение к геометрии», MAA, 1967, стр. 52–53.
33. «Матееску Константин, ответ на неравенство диагонали» .
34. К.В. Дурелл и А. Робсон, Расширенная тригонометрия , Дувр, 2003, стр. 267.
35. «Оригинальные задачи, предложенные Стэнли Рабиновичем, 1963–2005» (PDF) . Mathpropress.com . Проверено 1 марта 2022 г.
36. «EA Хосе Гарсиа, Две идентичности и их последствия, MATINF, 6 (2020) 5-11» . Matinf.upit.ro . Проверено 1 марта 2022 г.
37. О. Боттема, Геометрические неравенства , Издательство Wolters-Noordhoff, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.
38. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация базового неравенства , Математическая ассоциация Америки, стр. 68.
39. Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
40. Леонард Михай Джуджюк; Дао Тхань Оай; Кадир Алтынтас (2018). «Неравенство, связанное с длинами и площадью выпуклого четырехугольника» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 : 81–86.
41. Йозефссон, Мартин (2014). «Свойства равнодиагональных четырехугольников». Форум Геометрикорум . 14 : 129–144.
42. «Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum (от тома 1, № 1 до тома 4, № 2, известного как «Эврика»)» (PDF) . Имомат.com . Проверено 1 марта 2022 г.
43. Питер, Томас, «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , Vol. 34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
44. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки. стр. 114, 119, 120, 261. ISBN . 978-0-88385-348-1.
45. «Два центра масс четырехугольника». Sites.math.washington.edu . Проверено 1 марта 2022 г.
46. Хонсбергер, Росс, Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. доц. Амер., 1995, стр. 35–41.
47. Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
48. Джон Борис Миллер. «Центр тяжести четырехугольника» (PDF) . Austmd.org.au . Проверено 1 марта 2022 г.
49. Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 198. ИСБН 9780883858394.
50. Дэвид, Фрайверт (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные в циклический четырехугольник», The Mathematical Gazette , 103 (557): 233–239, doi : 10.1017/mag.2019.54, S2CID  233360695.
51. Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определяемых кругами Паскаля-Пойнтса», Журнал геометрии и графики , 23 : 5–27.
52. Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства окружности точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 509–526.
53. Йозефссон, Мартин (2013). «Характеристики трапеций» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 23–35.
54. Барнетт, член парламента; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии . 106 (1): 215–227. Бибкод : 2006IJQC..106..215B. дои : 10.1002/qua.20807.
55. Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). «О некоторых результатах, полученных с помощью кватернионного анализа в отношении записи многоугольников «гош» на поверхностях второго порядка» (PDF) . Труды Королевской ирландской академии . 4 : 380–387.

Внешние ссылки

• «Четырехугольник полный», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Четырехугольники, образованные биссектрисами, проективная коллинеарность и интерактивная классификация четырехугольников с разрезанием узла
• Определения и примеры четырехугольников, а также Определение и свойства четырехугольников из Mathopenref.
• (Динамическое) иерархическое четырехугольное дерево в эскизах динамической геометрии
• Расширенная классификация четырехугольников. Архивировано 30 декабря 2019 г. на Wayback Machine на домашней странице Dynamic Math Learning. Архивировано 25 августа 2018 г. на Wayback Machine.
• Роль и функция иерархической классификации четырехугольников Майкла де Вильерса.