Число Бет

Бесконечное кардинальное число

В математике , особенно в теории множеств , числа Бет — это определенная последовательность бесконечных кардинальных чисел (также известных как трансфинитные числа ), условно записываемая , где находится еврейская буква Бет . Числа Бет связаны с числами алефов ( ), но, если гипотеза обобщенного континуума не верна, существуют числа, индексированные , которые не индексируются . ${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$ ${\displaystyle \beth }$ ${\displaystyle \aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots }$ ${\displaystyle \aleph }$ ${\displaystyle \beth }$

Определение

Числа Бет определяются трансфинитной рекурсией :

• ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$
• ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \},}$

где – порядковый номер, а – предельный порядковый номер . ^[1] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$

Кардинал — это мощность любого счетно-бесконечного множества, такого как множество натуральных чисел , так что . ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \beth _{0}=|\mathbb {N} |}$

Пусть — порядковый номер, а — множество мощности . Затем, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|}$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A_{\alpha })}$обозначает набор мощности (т. е. набор всех подмножеств ), ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$
• множество обозначает множество всех функций от до {0,1}, ${\displaystyle 2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$
• кардинал является результатом кардинального возведения в степень , и ${\displaystyle 2^{\beth _{\alpha }}}$
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=|2^{A_{\alpha }}|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|}$- мощность набора мощности . ${\displaystyle A_{\alpha }}$

Учитывая это определение,

${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$

соответственно мощности

${\displaystyle \mathbb {N} ,\ {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\ \dots .}$

так что второе число бета равно мощности континуума (мощности множества действительных чисел ), а третье число бета - мощности набора степеней континуума. ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \beth _{2}}$

По теореме Кантора каждое множество в предыдущей последовательности имеет мощность строго большую, чем предыдущая. Для бесконечных предельных ординалов , λ, соответствующее число бета определяется как верхняя грань чисел бета для всех ординалов, строго меньших, чем λ:

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

Можно также показать, что вселенные фон Неймана имеют мощность . ${\displaystyle V_{\omega +\alpha }}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$

Связь с числами алефа

Предполагая аксиому выбора , бесконечные мощности линейно упорядочены ; никакие две мощности не могут быть несопоставимы. Таким образом, поскольку по определению между и нет бесконечных мощностей , отсюда следует, что ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}$

Повторение этого аргумента (см. трансфинитную индукцию ) дает результат для всех порядковых номеров . ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Гипотеза континуума эквивалентна

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что определенная таким образом последовательность чисел Бет такая же, как и последовательность чисел алеф , т. е. для всех порядковых номеров . ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Конкретные кардиналы

Бет ноль

Поскольку это определено как aleph null , множества с мощностью включают в себя: ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{0}}$

• натуральные числа N
• рациональные числа Q
• алгебраические числа
• вычислимые числа и вычислимые множества
• множество конечных наборов целых чисел
• множество конечных мультимножеств целых чисел
• множество конечных последовательностей целых чисел

Бет один

Наборы с кардинальностью включают в себя: ${\displaystyle \beth _{1}}$

• трансцендентные числа
• иррациональные числа
• настоящие числа Р
• комплексные числа C
• невычислимые действительные числа
• Евклидово пространство R ⁿ
• набор степеней натуральных чисел (множество всех подмножеств натуральных чисел)
• набор последовательностей целых чисел (т.е. все функции N → Z , часто обозначаемые Z ^N )
• множество последовательностей действительных чисел, R ^N
• множество всех действительных аналитических функций от R до R
• множество всех непрерывных функций от R до R
• множество всех функций из R в R с не более чем счетными разрывами ^[2]
• множество конечных подмножеств действительных чисел
• множество всех аналитических функций от C до C ( голоморфные функции)
• набор всех функций от натуральных чисел до натуральных чисел ( ) ${\displaystyle \mathbb {N^{N}} }$

Бет два

${\displaystyle \beth _{2}}$(произносится как бет два ) также называется 2 ^c (произносится как два в степени с ).

Наборы с кардинальностью включают в себя: ${\displaystyle \beth _{2}}$

• Набор мощности набора действительных чисел , то есть это количество подмножеств действительной линии или количество наборов действительных чисел.
• Набор степеней множества натуральных чисел
• Набор всех функций от R до R ( RR ⁾
• Набор всех функций от R ^m до R ⁿ
• Множество всех функций из R в R с несчетными разрывами ^[2]
• Набор мощности набора всех функций от набора натуральных чисел до себя, то есть это количество наборов последовательностей натуральных чисел.
• Компактификации Стоуна –Чеха R , Q и N
• Множество детерминированных фракталов в R ^{n [3]}
• Множество случайных фракталов в R ^{n [4]}

Бет омега

${\displaystyle \beth _{\omega }}$(произносится как «бет омега» ) — наименьший неисчисляемый кардинал сильного предела .

Обобщение

Иногда используется более общий символ для ординалов α и кардиналов κ . Это определяется: ${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$если λ — предельный ординал.

Так

${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}$

В теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) для любых кардиналов κ и µ существует ординал α такой, что:

${\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).}$

А в ZF для любого кардинала κ и ординалов α и β :

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}$

Следовательно, в ZF отсутствуют ur-элементы с аксиомой выбора или без нее , для любых кардиналов κ и µ выполняется равенство

${\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}$

справедливо для всех достаточно больших ординалов β. То есть существует ординал α такой, что равенство выполняется для любого ординала β ≥ α .

Это также справедливо в теории множеств Цермело–Френкеля с ur-элементами (с аксиомой выбора или без нее), при условии, что ur-элементы образуют множество, равнозначное чистому множеству (множество, транзитивное замыкание которого не содержит ur-элементов ). Если аксиома выбора верна, то любой набор ur-элементов равнозначен чистому набору.

Борелевская определенность

Определенность по Борелю подразумевается существованием всех ставок счетного индекса. ^[5]

Смотрите также

• Трансфинитное число
• Бесчисленное множество

Рекомендации

1. Джех, Томас (2002). Теория множеств (издание 3-го тысячелетия, переработка и расширение. Исправленное 4-е издание, изд. 2006 г.). Спрингер. п. 55. ИСБН 978-3-540-44085-7.
2. Солтанифар, Мохсен (2023). «Классификация элементов функционального пространства F (R, R)». Математика . 11 (17): 3715. arXiv : 2308.06297 . дои : 10.3390/math11173715 .
3. Солтанифар, Мохсен (2021). «Обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для детерминированных фракталов». Математика . 9 (13): 1546. arXiv : 2007.07991 . дои : 10.3390/math9131546 .
4. Солтанифар, Мохсен (2022). «Второе обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для случайных фракталов». Математика . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 . hdl : 1807/110291 .
5. Ленстер, Том (23 июля 2021 г.). «Определенность Бореля не требует замены». Кафе «Н-Категория» . Техасский университет в Остине . Проверено 25 августа 2021 г.

Библиография

• Т. Э. Форстер , Теория множеств с универсальным множеством: исследование нетипизированной Вселенной , Oxford University Press , 1995 — Число Бет определено на странице 5.
• Белл, Джон Лейн ; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Дуврские публикации . ISBN 0-486-44979-3.Номера ставок см. на стр. 6 и 204–205.
• Ройтман, Джудит (2011). Введение в современную теорию множеств . Университет Содружества Вирджинии . ISBN 978-0-9824062-4-3.См. стр. 109, где указаны номера ставок.