Марковское число

Решение задачи x² + y² + z² = 3xyz

Число  Маркова или число Маркова — это целое положительное число x , y или z , которое является частью решения диофантового уравнения Маркова.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

изучал Андрей Марков  (1879, 1880).

Первые несколько чисел Маркова

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (последовательность A002559 в OEIS )

появляются как координаты троек Маркова

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169) , 985), (13, 34, 1325), ...

Существует бесконечно много марковских чисел и марковских троек.

Дерево Маркова

Первые уровни дерева чисел Маркова

Есть два простых способа получить новую тройку Маркова из старой ( x ,  y ,  z ). Во-первых, можно переставить местами три числа x , y , z , так что, в частности, можно нормализовать тройки так, чтобы x  ≤  y  ≤  z . Во-вторых, если ( x ,  y ,  z ) является марковской тройкой, то и ( x ,  y , 3 xy  −  z ) тоже. Применение этой операции дважды возвращает ту же самую тройную операцию, с которой она началась. Присоединение каждой нормализованной тройки Маркова к 1, 2 или 3 нормализованным тройкам, которые можно получить из этого, дает граф, начинающийся с (1,1,1), как показано на диаграмме. Этот граф связен ; другими словами, каждую марковскую тройку можно соединить с (1,1,1) последовательностью этих операций. ^[1] Если начать, например, с (1, 5, 13), мы получим трех его соседей (5, 13, 194) , (1, 13, 34) и (1, 2, 5) в марковском дерево, если z установлено равным 1, 5 и 13 соответственно. Например, начиная с (1, 1, 2) и меняя y и z перед каждой итерацией преобразования, вы получаете тройки Маркова с числами Фибоначчи . Начиная с той же тройки и меняя x и z перед каждой итерацией, получаем тройки с числами Пелла .

Все числа Маркова в регионах, прилегающих к региону 2, являются числами Пелля с нечетным индексом (или числами n , такими что 2 n ²  − 1 является квадратом , OEIS : A001653 ), а все числа Маркова в регионах, прилегающих к региону 1, равны числа Фибоначчи с нечетным индексом ( OEIS : A001519 ). Таким образом, существует бесконечно много марковских троек вида

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

где Fk _— k -е число Фибоначчи . Аналогично существует бесконечно много марковских троек вида

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

где Pk _– k -е число Пелля . ^[2]

Другие объекты недвижимости

За исключением двух наименьших сингулярных троек (1, 1, 1) и (1, 1, 2), каждая марковская тройка состоит из трех различных целых чисел. ^[3]

Гипотеза единственности , как заметил Фробениус в 1913 году, ^[4] утверждает, что для данного марковского числа c существует ровно одно нормализованное решение, имеющее c как самый большой элемент: были заявлены доказательства этой гипотезы , но ни одно из них не кажется правильным. ^[5] Мартин Айгнер ^[6] рассматривает несколько более слабых вариантов гипотезы единственности. Его гипотеза о фиксированном числителе была доказана Рабидо и Шиффлером в 2020 году ^[7] , а гипотеза о фиксированном знаменателе и гипотеза о фиксированной сумме были доказаны Ли, Ли, Рабидо и Шиффлером в 2023 году. ^[8]

Нечетные числа Маркова на 1 больше, чем кратные 4, а четные числа Маркова на 2 больше, чем кратные 32. ^[9]

В своей статье 1982 года Дон Загер предположил, что n- е марковское число асимптотически определяется выражением

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523414972\ldots \,.}$

Ошибка изображена ниже. ${\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$

Ошибка аппроксимации больших чисел Маркова.

Более того, он отметил, что , аппроксимация исходного диофантова уравнения, эквивалентна f ( t ) = arcosh (3 t /2). ^[10] Гипотеза была доказана ^{[ оспаривается – обсуждается ]} Грегом МакШейном и Игорем Ривином в 1995 году с использованием методов гиперболической геометрии . ^[11] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$ ${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$

n - е число Лагранжа можно вычислить по n -му числу Маркова по формуле

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

Числа Маркова представляют собой суммы (неединственных) пар квадратов.

Теорема Маркова

Марков (1879, 1880) показал, что если

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

- неопределенная двоичная квадратичная форма с действительными коэффициентами и дискриминантом , то существуют целые числа x ,  y , для которых f принимает ненулевое значение по абсолютной величине не более ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

если только f не является марковской формой : ^[12] константа, умноженная на форму

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

такой, что

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}$

где ( p ,  q ,  r ) — марковская тройка.

Матрицы

Обозначим через tr функцию следа над матрицами . Если X и Y находятся в SL ₂ ( ), то ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

так что если тогда ${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

В частности, если X и Y также имеют целочисленные элементы, то tr( X )/3, tr( Y )/3 и tr( XY )/3 являются марковской тройкой. Если X ⋅ Y ⋅ Z  =  I , то tr( XtY ) = tr( Z ), поэтому более симметрично, если X , Y и Z находятся в SL ₂ ( ) с X ⋅ Y ⋅ Z  = I и коммутатором двух из них имеет след −2, то их следы/3 являются марковской тройкой. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смотрите также

• Марковский спектр

Примечания

1. Кассельс (1957) стр.28
2. OEIS : A030452 перечисляет числа Маркова, которые появляются в решениях, где один из двух других членов равен 5.
3. Кассельс (1957) стр.27
4. Фробениус, Г. (1913). «Über die Markoffschen Zahlen». С.Б. Прейсс Акад. Висс. : 458–487.
5. Гай (2004) стр.263
6. Айгнер, Мартин (29 июля 2013 г.). Теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности: математическое путешествие от иррациональных чисел к идеальным соответствиям . Чам Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-319-00887-5.
7. Рабидо, Мишель; Шиффлер, Ральф (2020). «Цепные дроби и порядки чисел Маркова». Достижения в математике . 370 : 107231. arXiv : 1801.07155 . дои : 10.1016/j.aim.2020.107231.
8. Ли, Кёнён; Ли, Ли; Рабидо, Мишель; Шиффлер, Ральф (2023). «О порядке чисел Маркова». Достижения прикладной математики . 143 : 102453. doi : 10.1016/j.aam.2022.102453 .
9. Чжан, Ин (2007). «Сравнение и единственность некоторых чисел Маркова». Акта Арифметика . 128 (3): 295–301. arXiv : math/0612620 . Бибкод : 2007AcAri.128..295Z. дои : 10.4064/aa128-3-7. МР  2313995. S2CID  9615526.
10. Загер, Дон Б. (1982). «О количестве чисел Маркова ниже заданной границы». Математика вычислений . 160 (160): 709–723. дои : 10.2307/2007348 . JSTOR  2007348. МР  0669663.
11. Грег МакШейн; Игорь Ривин (1995). «Простые кривые на гиперболических торах». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 320 (12).
12. Кассельс (1957) стр.39
13. Айгнер, Мартин (2013), «Дерево Кона», Теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности , Springer, стр. 63–77, doi : 10.1007/978-3-319-00888-2_4, ISBN 978-3-319-00887-5, МР  3098784.

Рекомендации

• Айгнер, Мартин (29 июля 2013 г.). Теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности . Чам Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-319-00887-5.
• Кассельс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 45. Издательство Кембриджского университета . Збл  0077.04801.
• Кьюсик, Томас; Флахайв, Мэри (1989). Спектры Маркова и Лагранжа . Математика. Обзоры и монографии. Том. 30. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1531-8. Збл  0685.10023.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . стр. 263–265. ISBN 0-387-20860-7. Збл  1058.11001.
• Малышев, А.В. (2001) [1994], «Проблема марковского спектра», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Марков, А. «Сюр les formes binaires indéfinies». Математические Аннален . Шпрингер Берлин/Гейдельберг. ISSN  0025-5831.

Марков, А. (1879). «Первые воспоминания». Математические Аннален . 15 (3–4): 381–406. дои : 10.1007/BF02086269. S2CID  179177894.

Марков, А. (1880). «Вторые мемуары». Математические Аннален . 17 (3): 379–399. дои : 10.1007/BF01446234. S2CID  121616054.