Число Серпинского

В теории чисел число Серпинского — это нечетное натуральное число k такое, что оно является составным для всех натуральных чисел n . В 1960 году Вацлав Серпинский доказал, что существует бесконечно много нечетных целых чисел k , обладающих этим свойством. ${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$

Другими словами, когда k — число Серпинского, все члены следующего набора являются составными:

${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

Если форма вместо этого , то k является числом Ризеля . ${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$

Известные числа Серпинского

Последовательность известных в настоящее время чисел Серпинского начинается с:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, ... (последовательность A076336 в OEIS ).

Число 78557 является числом Серпинского Джоном Селфриджем в 1962 году, который показал, что все числа вида 78557⋅2 ⁿ + 1 имеют множитель в покрывающем множестве {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }. Для другого известного числа Серпинского, 271129, покрывающее множество равно {3, 5, 7, 13, 17, 241 }. Большинство известных в настоящее время чисел Серпинского обладают схожими наборами покрытий. ^[1]

Однако в 1995 году А.С. Изотов показал, что некоторые четвертые степени могут быть числами Серпинского без установления покрывающего множества для всех значений n . Его доказательство основано на факторизации Аурифейля t ⁴ ⋅2 ^{4 m +2} + 1 = ( t ² ⋅2 ^{2 m +1} + t ⋅2 ^{m +1} + 1)⋅( t ² ⋅2 ^{2 m +1} - t ⋅ 2 ^{м +1} + 1) . Это устанавливает, что все n ≡ 2 (mod 4) порождают композицию, и поэтому остается исключить только n ≡ 0, 1, 3 (mod 4) с помощью покрывающего множества. ^[2]

Проблема Серпинского

Нерешенная задача по математике :

Является ли 78 557 самым маленьким числом Серпинского?

(еще нерешенные задачи по математике)

Задача Серпинского требует значения наименьшего числа Серпинского. В частной переписке с Полом Эрдешем Селфридж предположил , что 78 557 было наименьшим числом Серпинского. ^[3] Никаких меньших чисел Серпинского обнаружено не было, и сейчас считается, что 78 557 — это наименьшее число. ^[4]

Чтобы показать, что 78 557 действительно является наименьшим числом Серпинского, нужно показать, что все нечетные числа, меньшие 78 557, не являются числами Серпинского. То есть для каждого нечетного k ниже 78 557 должно существовать целое положительное число n такое, что k 2 ⁿ + 1 является простым. ^[1] По состоянию на декабрь 2021 года ^{[обновлять]}существует только пять кандидатов, которые не были исключены из числа возможных чисел Серпинского: ^[5]

к = 21181, 22699, 24737, 55459 и 67607.

Проект распределенных добровольных вычислений PrimeGrid пытается исключить все оставшиеся значения k . По состоянию на март 2024 года для этих значений k^{[обновлять]} не было найдено ни одного простого числа , и все они были исключены. ^[6] ${\displaystyle n\leq 41\,000\,000}$

Последним исключенным кандидатом был k = 10223, когда PrimeGrid обнаружил простое число в октябре 2016 года. Это число имеет длину 9 383 761 цифр. ^[5] ${\displaystyle 10223\times 2^{31172165}+1}$

Основная задача Серпинского

Нерешенная задача по математике :

Является ли 271 129 наименьшим простым числом Серпинского?

(еще нерешенные задачи по математике)

В 1976 году Натан Мендельсон определил, что второе доказуемое число Серпинского - это простое число k = 271129. Задача Серпинского о простых числах требует значения наименьшего простого числа Серпинского, и продолжается «поиск простых чисел Серпинского», который пытается доказать, что 271129 — первое число Серпинского, которое также является простым. По состоянию на ноябрь 2018 года ^{[обновлять]}девять простых значений k меньше 271129, для которых простое число формы k 2 ⁿ + 1 неизвестно: ^[7]

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931 и 237019.

По состоянию на март 2024 года для этих значений k с ^{[обновлять]}простым числом найдено не было . ^[8] ${\displaystyle n\leq 31\,000\,000}$

Первые два, меньше 78557, также являются нерешенными случаями (непростой) проблемы Серпинского, описанной выше. Последним исключенным кандидатом был k = 168451, когда PrimeGrid обнаружил простое число в сентябре 2017 года. Длина этого числа составляет 5 832 522 цифры. ^[9] ${\displaystyle 168451\times 2^{19375200}+1}$

Расширенная задача Серпинского

Нерешенная задача по математике :

Является ли 271 129 вторым числом Серпинского?

(еще нерешенные задачи по математике)

Предположим, что обе предыдущие задачи Серпинского наконец были решены, показав, что 78557 — это наименьшее число Серпинского, а 271129 — наименьшее простое число Серпинского. Это оставляет еще нерешенным вопрос о втором номере Серпинского; может существовать составное число Серпинского k такое, что . Продолжающийся поиск пытается доказать, что 271129 является вторым числом Серпинского, путем проверки всех значений k между 78557 и 271129, простых или нет. ${\displaystyle 78557<k<271129}$

Решение расширенной проблемы Серпинского, самой сложной из трех поставленных задач, требует исключения 21 оставшегося кандидата , из которых девять являются простыми (см. Выше) и двенадцать составными. К последним относятся k = 21181, 24737, 55459 из исходной задачи Серпинского. По состоянию на август 2022 года остаются следующие восемь значений k , уникальных для расширенной проблемы Серпинского: ^[10] ${\displaystyle k<271129}$^{[обновлять]}

k = 91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673 и 238411.

По состоянию на март 2024 года для этих значений k с ^{[обновлять]}простым числом найдено не было . ^[11] ${\displaystyle n\leq 26\,000\,000}$

В декабре 2019 года PrimeGrid обнаружил, что число является простым, исключив k = 99739. Длина числа составляет 4 220 176 цифр. ^[12] ${\displaystyle 99739\times 2^{14019102}+1}$

Последнее исключение произошло в декабре 2021 года, когда PrimeGrid обнаружил, что оно является простым, исключив k = 202705. Длина числа составляет 6 418 121 цифр. ${\displaystyle 202705\times 2^{21320516}+1}$

Одновременно Серпинский и Ризель

Рядом могут быть одновременно Серпинский и Ризель . Это так называемые числа Брайера. Пять самых маленьких известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596. 110949, ... (А076335). ^[13]

Двойная задача Серпинского

Если принять n за отрицательное целое число, то число k 2 ⁿ + 1 станет . Когда k нечетно, это дробь в сокращенной форме с числителем 2 ^{| п |} + к . Двойственное число Серпинского определяется как нечетное натуральное число k такое, что 2 ⁿ + k является составным для всех натуральных чисел n . Существует гипотеза, что набор этих чисел такой же, как набор чисел Серпинского; например, 2 ⁿ + 78557 является составным для всех натуральных чисел n . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle {\frac {2^{|n|}+k}{2^{|n|}}}}$

Для нечетных значений k наименьшее n такое, что 2 ⁿ + k является простым, это

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 2, ... (последовательность A067760 в OEIS )

Нечетные значения k , для которых 2 ⁿ + k является составным для всех n < k , равны

773, 2131, 2491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 17659, 19081, 19249, 20273, 21661, 22193, 26213, 28433, ... (последовательность A033919 в ОЭИС )

Смотрите также

• Математический портал

• Номер Каллена
• Число Прота
• Число Ризеля
• Семнадцать или бюст
• Число Вудала

Рекомендации

1. номер Аба Серпинского в The Prime Glossary
2. Анатолий С. Изотов (1995). «Заметка о числах Серпинского» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 33 (3): 206.
3. Эрдеш, Пол ; Одлызко, Эндрю Майкл (1 мая 1979 г.). «О плотности нечетных целых чисел вида (p − 1)2−n и смежных вопросах». Журнал теории чисел . 11 (2). Elsevier : 258. doi : 10.1016/0022-314X(79)90043-X . ISSN  0022-314X.
4. Гай, Ричард Кеннет (2005). Нерешенные проблемы теории чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. B21: 119–121, F13: 383–385. ISBN 978-0-387-20860-2. ОСЛК  634701581.
5. Seventeen или бюст в PrimeGrid .
6. «Семнадцать или статистика перебора» . ПраймГрид . Проверено 21 ноября 2019 г.
7. Гетц, Майкл (10 июля 2008 г.). «О основной проблеме Серпинского». ПраймГрид . Проверено 12 сентября 2019 г.
8. "Статистика основной задачи Серпинского" . ПраймГрид . Проверено 21 ноября 2019 г.
9. Циммерман, Ван (29 сентября 2017 г.). «Новая PSP Mega Prime!». ПраймГрид . Проверено 12 сентября 2019 г.
10. Гетц, Майкл (6 апреля 2018 г.). «Добро пожаловать в расширенную проблему Серпинского». ПраймГрид . Проверено 21 августа 2019 г.
11. «Расширенная статистика задачи Серпинского» . www.primegrid.com . Проверено 6 апреля 2018 г.
12. Браун, Скотт (13 января 2020 г.). «ЭСП Мега Прайм!». ПраймГрид . Проверено 18 января 2020 г.
13. Задача 29.- Числа Брайера.

дальнейшее чтение

• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 120, ISBN 0-387-20860-7

Внешние ссылки

• Проблема Серпинского: определение и статус
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Серпинского о составных числах». Математический мир .
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Грайм, доктор Джеймс. «78557 и простые числа Прота» (видео) . YouTube . Брэйди Харан . Проверено 13 ноября 2017 г.