19 (число)

Натуральное число

19 ( девятнадцать ) — натуральное число, расположенное между 18 и 20. Это простое число .

Математика

19 — центрированное треугольное число .

Девятнадцать — восьмое простое число .

Теория чисел

19 образует простое число-близнец с 17 , ^[1] двоюродное простое число с 23 , ^[2] и сексуальное простое число с 13. ^[3] 19 — это пятый центральный трехчленный коэффициент , ^[4] и максимальное количество четвертых степеней, необходимое для суммы любого натурального числа (см. задачу Уоринга ). ^[5] Это количество композиций числа 8 на отдельные части. [ ^6]

19 — восьмое строго непалиндромное число в любой системе счисления , следующее за 11 и предшествующее 47. ^[7] 19 также является вторым октаэдрическим числом после 6 [ ^8] и шестым числом Хегнера .

В разложении числа Пи по Энгелю ^[9] 19 — седьмой член, следующий за { 1 , 1, 1, 8 , 8, 17} и предшествующий { 300 , 1991 , ...} . Сумма первых членов, предшествующих 17, эквивалентна 19, где ее простой индекс (8) — два предыдущих члена последовательности.

Премиальные свойства

19 — седьмой показатель простого числа Мерсенна . ^[10] Это второе число Кейта , а точнее первое простое число Кейта. ^[11] В десятичной системе счисления 19 — третье полное повторное простое число , ^[12] и первое простое число, которое не является перестановочным простым числом , так как его обратное число ( 91 ) является составным (где 91 также является четвертым центрированным девятиугольным числом ). ^[13]

• 19 × 91 = 1729 , первое число Харди-Рамануджана или число такси, также число Харшада в десятичной системе счисления, так как оно делится на сумму своих цифр , 19. ^{[14] [15]}

1729 также является девятнадцатым двенадцатиугольным числом . ^[16]

19, наряду с 109 , 1009 и 10009, являются простыми числами (причем 109 также является полным представителем ) и образуют часть последовательности чисел, где вставка цифры внутрь предыдущего члена дает следующее наименьшее возможное простое число, вплоть до шкалы, с составным числом 9 в качестве корня. ^[17] 100019 является следующим таким наименьшим простым числом, полученным путем вставки 1.

• Числа вида 1 0 _n 9 эквивалентны 10 ^x + 9 с x = n + 1, где n — количество нулей в члене, являются простыми для n = {0, 1, 2, 3, 8, 17, 21, 44, 48, 55, 68, 145, 201, 271, 2731, 4563} и, вероятно, простыми для n = {31811, 43187, 48109, 92691} . ^[18]

В противном случае, это второе десятичное репьюнит-простое число , сокращение от числа . ^[19] ${\displaystyle R_{19}}$ ${\displaystyle 1111111111111111111}$

Сумма квадратов первых девятнадцати простых чисел делится на 19. ^[20]

Фигурные числа и магические фигуры

19 — это третье центрированное треугольное число , а также третье центрированное шестиугольное число . ^{[21] [22]}

• 19-е треугольное число равно 190 , что эквивалентно сумме первых 19 ненулевых целых чисел , что также является шестым центрированным девятиугольным числом . ^{[23] [13]}

19 — первое число в бесконечной последовательности чисел в десятичной системе счисления , цифры которой начинаются с 1 и заканчиваются девятками , образуя треугольные числа, содержащие завершающие нули пропорционально девяткам, присутствующим в исходном числе; то есть 19900 — 199-е треугольное число, а 1999000 — 1999-е. ^[24]

• Как и 19, 199 и 1999 также являются простыми, как и 199999 и 19999999. Фактически, число вида 1 9 _n , где n — количество девяток, которыми заканчивается число, является простым для:

n = { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 26, 27, 53, 147, 236, 248, 386, 401} . ^[25]

Число узлов в правильном шестиугольнике со всеми проведенными диагоналями равно девятнадцати. ^[26]

• Примечательно, что единственный нетривиальный нормальный магический шестиугольник состоит из девятнадцати ячеек, где каждая диагональ последовательных шестиугольников имеет сумму, равную 38 , или дважды 19. ^[27]
• Гексафлексагон — это полоса из девятнадцати чередующихся треугольных граней, которая может быть согнута в правильный шестиугольник таким образом, что любые две из шести раскрасок треугольников могут быть ориентированы так, чтобы выровняться на противоположных сторонах сложенной фигуры. ^[28]
• Девятнадцать — это также число односторонних шестигранников , то есть существует девятнадцать способов расположения шести равноугольных треугольных полиформ ребром к ребру на плоскости без переворотов (и где допускаются отверстия). ^[29]

${\displaystyle {\tfrac {1}{19}}}$может быть использован для создания первого полного, ненормального простого обратного магического квадрата в десятичной системе счисления, строки, столбцы и диагонали которого — в массиве 18 x 18 — все генерируют магическую константу 81 = 9 ² . ^[30]

• Следующее простое число, которое может сгенерировать магический квадрат в десятичной системе счисления, — это 383 , ^[31] семьдесят шестое простое число (где 19 × 4 = 76 ). ^[32] Обычный магический квадрат 19 × 19 , с другой стороны, имеет магическую константу 3439 = 19 × 181. ^[33] ${\displaystyle M_{19}}$

проблема Коллатца

Последовательность Коллатца для девяти требует девятнадцати шагов, чтобы вернуться к единице , больше, чем для любого другого числа ниже. ^[34] С другой стороны, девятнадцать требует двадцати шагов, как и восемнадцать . Менее десяти тысяч , только тридцать одно другое число требует девятнадцати шагов, чтобы вернуться к единице:

{ 56 , 58 , 60 , 61 , 352 , 360 , 362, 368 , 369 , 372, 373, 401, 402, 403, 2176, ... и 2421} . ^[35]

В абстрактной алгебре

Проективная специальная линейная группа представляет собой абстрактную структуру 57 -ячейки : универсальный 4-мерный многогранник с общим числом ребер и вершин 171 ( 171 = 9 × 19) и 57 ( 57 = 3 × 19) полуикосаэдрическими ячейками, которые являются самодвойственными . ^[36] ${\displaystyle \mathrm {L(19)} }$

Всего существует девятнадцать групп Кокстера непризматических однородных сот в четвертом измерении: пять групп сот Кокстера существуют в евклидовом пространстве , в то время как остальные четырнадцать групп Кокстера являются компактными и паракомпактными гиперболическими сотовыми группами.

• Также имеется девятнадцать однородных сот внутри группы евклидовых тессерактических сот в 4-мерном пространстве . В 5-мерном пространстве имеется девятнадцать однородных многогранников с симплексной симметрией. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {A} _{5}}$

Существует бесконечно много многогранников Винберга конечного объема вплоть до размерности девятнадцать, которые порождают гиперболические мозаики с вырожденными симплексными четырехугольными пирамидальными областями, а также призматическими областями и т. д. ^[37]

• Многогранники Винберга самого низкого ранга n + 2 зеркал существуют вплоть до семнадцатого измерения, где существует уникальная фигура с девятнадцатью гранями . ^[38] Это выражается простой диаграммой Дынкина , .

С другой стороны, кубическая поверхность — это нулевое множество однородного кубического многочлена от четырех переменных, многочлена с двадцатью коэффициентами, который определяет пространство для кубических поверхностей, которое является 19 -мерным. ^[39] ${\displaystyle \mathbb {P^{3}} }$ ${\displaystyle f=c_{3}000x_{1}^{3}+c_{2}100x_{1}^{2}x_{2}+c_{1}200x^{1}x_{2}^{2}+c_{0}300x_{2}^{3}+\cdots +c_{0}003x_{4}^{3},}$

Конечные простые группы

19 — восьмое последовательное суперсингулярное простое число . Это средний индексированный член в последовательности из пятнадцати таких простых чисел, которые делят порядок Дружелюбного Гиганта , крупнейшей спорадической группы : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 , 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}. ^[40] ${\displaystyle \mathrm {F_{1}} }$

• Группы Янко и являются двумя наименьшими из шести групп-изгоев , которые не являются подчастными , которые содержат 19 как наибольшее простое число, делящее их порядки . ^[41] ${\displaystyle \mathrm {J_{1}} }$ ${\displaystyle \mathrm {J_{3}} }$ ${\displaystyle \mathrm {F_{1}} }$

${\displaystyle \mathrm {J_{1}} }$содержит (2,3,7) в качестве стандартных генераторов ( a , b , ab ) , которые дают полупредставление , где o ( abab ² ) = 19 , в то время как содержит в качестве стандартных генераторов (2A, 3A, 19) , где o ([ a , b ]) = 9. [ ^{42] [43]} ${\displaystyle \mathrm {J_{3}} }$

• ${\displaystyle 10944}$является размерностью минимального точного комплексного представления группы О'Нана — второго по величине после подобного представления в и наибольшего среди шести парий ^[44] — значение которого лежит посередине между простыми числами (10939, 10949), причем последний имеет простой индекс , [ ^45] который является девятнадцатым тетраэдрическим числом . ^[46] ${\displaystyle O'N}$ ${\displaystyle \mathrm {F_{1}} }$ ${\displaystyle {\text{dim}}{\text{ }}196,883}$ ${\displaystyle 1330}$
• С другой стороны, группа Титса , как единственная нестрогая группа типа Ли , которую можно условно отнести к спорадическим, имеет порядок группы 2 ¹¹  · 3 ³  · 5 ²  · 13 , чьи простые множители (включая степени ) порождают сумму, равную 54 , что является наименьшим нетривиальным 19- угольным числом. ^[47] ${\displaystyle \mathrm {T} }$

В Счастливом Семействе спорадических групп девятнадцать из двадцати шести таких групп являются подфакторами Дружелюбного Великана, который также является своим собственным подфактором. ^[48] Если группа Титса действительно включена как группа типа Ли , ^[49] то существует девятнадцать классов конечных простых групп , которые не являются спорадическими группами .

Стоит отметить, что 26 — единственное число, которое лежит между полным квадратом (5 ² ) и кубом (3 ³ ); если сложить все простые числа в разложениях на простые множители чисел 25 и 27 , то получится сумма 19 .

Число Хегнера

19 — шестое число Хегнера . ^[50] 67 и 163 , соответственно 19-е и 38-е простые числа, являются двумя наибольшими числами Хегнера из девяти .

Сумма первых шести чисел Хегнера 1, 2, 3, 7, 11 и 19 в сумме дает седьмой член и четырнадцатое простое число, 43. Все эти числа являются простыми, за исключением единицы . В частности, 163 имеет отношение к теории самогона .

Наука

Космический телескоп Джеймса Уэбба имеет конструкцию из 19 шестиугольников.

• 19 — атомный номер калия .
• 19 лет очень близко к 235 лунным месяцам . См. Метонический цикл .
• COVID-19 — сокращенное название коронавирусной инфекции 2019 года , причины глобальной пандемии , начавшейся в 2019 году.
• Оптические элементы космического телескопа Джеймса Уэбба расположены в массиве из 19 шестиугольников, в котором 18 сегментированных первичных зеркал фокусируют свет в центральное вторичное зеркало, расположенное над собирающими зеркалами, которое в свою очередь отражается обратно на центральные формирователи изображений телескопа . Это форма, похожая на магический шестиугольник третьего порядка.

Религия

ислам

• Число ангелов, охраняющих Ад («Адский огонь») («Сакар»), согласно Корану : «Над ним девятнадцать» ( 74:30 ), после чего Коран описывает это число как «искушение для неверующих» (74:31), знамение для людей Писания «убедиться» (74:31) и что благодаря этому верующие «усилятся в вере» (74:31).
• Номер аята и суры в Коране, в которых возвещается о рождении Иисуса, сына Марьям (Марии) (Коран 19:19).
• Группа под названием United Submitter International утверждает, что Коран имеет математическую структуру, основанную на числе 19. Гематрическое значение WAHD = 6+1+8+4=19, Вахд означает «Один» (Бог) в первом аяте (1:1), известном как Бас-мала, состоящем из 19 арабских букв, или Коран состоит из 114 (19x6) сур и т. д.

Вера Бахаи

В верованиях Баби и Бахаи группа из 19 человек называется Вахид , Единство ( араб . واحد , латинизировано :  вахид , букв.  «один»). Числовое значение этого слова в системе исчисления Абджад — 19.

• Календарь Бахаи структурирован таким образом, что год содержит 19 месяцев по 19 дней каждый (вместе с вставным периодом Аййам-и-Ха ), а также 19-летний цикл и 361-летний (19x19) суперцикл.
• Баб и его ученики образовали группу из 19 человек.
• Было 19 Апостолов Бахауллы .

кельтское язычество

19 — священное число богини Бригитты, поскольку, как говорят, оно представляет 19-летний цикл Великого кельтского года и количество времени, которое требуется Луне, чтобы совпасть с зимним солнцестоянием. ^[51]

Музыка

• « 19 » — песня 1985 года Пола Хардкасла, включающая в себя сэмплированные звуковые фрагменты, взятые из документального фильма о войне во Вьетнаме , в котором утверждается, что 19 лет — это средний возраст солдат США, погибших в конфликте. ^[52] Песня была спародирована британским сатириком Рори Бремнером под псевдонимом «Комментаторы» как Nn-nineteen, Not Out , название отсылает к среднему показателю отбивания Дэвида Гауэра, капитана сборной Англии по крикету , во время смехотворного выступления его команды против Вест-Индии в 1984 году, когда они проиграли со счетом 5–0.

• Песня « I Was Only Nineteen » австралийской группы Redgum достигла первого места в австралийских чартах в 1983 году. В 2005 году хип-хоп-версию песни выпустила группа The Herd .
• «19» — название дебютного альбома Адель 2008 года, названного так потому, что на тот момент ей было 19 лет.
• « Hey Nineteen » — песня американской джаз-рок-группы Steely Dan из альбома Gaucho 1980 года .
• Девятнадцать использовалось как альтернатива двенадцати для деления октавы на равные части. Эта идея восходит к Салинасу в шестнадцатом веке и интересна отчасти тем, что дает систему настройки meantone , близкую к 1/3 comma meantone. См . 19 равномерная темперация .
• Некоторые органы используют 19-ю гармонику для приближения к малой терции.

Литература

• Восьмитомный эпос Стивена Кинга «Темная башня» использует число 19 в книгах «Темная башня: Стрелок» , «Темная башня V: Волки Кальи» , «Темная башня VI: Песнь Сюзанны» , «Темная башня VII: Темная башня » и «Ветер сквозь замочную скважину» как таинственное и важное число. Они ссылаются на «ка-тет 19», «Директиву Девятнадцать», многие имена в сумме дают 19, 19, кажется, пронизывает каждый аспект жизни Роланда и его путешественника. Кроме того, это число оказывается мощным ключом.
• В бестселлере Джоди Пиколт «Девятнадцать минут » число 19 упоминается несколько раз. Чаще всего оно упоминается, когда речь идет о главной теме книги — школьной стрельбе , которая длилась 19 минут.
• В романе «S.» Дуга Дорста на протяжении всего текста используется число 19 и его кратные. S — 19-я буква алфавита.

Игры

Доска для игры в Го 19x19

• В игру Го играют на сетке размером 19×19 линий (хотя в некоторые варианты можно играть на сетках других размеров).
• Хотя максимальный счет для руки криббиджа составляет 29, не существует комбинации карт, которая в сумме дает 19 очков. Поэтому многие игроки в криббидж в шутку называют руку с нулевым счетом «рукой 19».

Возраст 19

• В четырех странах возраст совершеннолетия составляет 19 лет .
• В двух странах минимальный возраст, с которого разрешено употребление алкоголя, составляет 19 лет .
• В трех странах минимальный возраст, с которого разрешено курить, составляет 19 лет .
• Минимальный возраст для драфта НБА — 19 лет.

В спорте

• В гольфе «19-я лунка» — это бар в клубном доме, а в матчевой игре, если после 18 лунок счет равный, играется дополнительная лунка(и). В мини-гольфе это дополнительная лунка, на которой победитель получает мгновенный приз.

В других областях

• Девятнадцатая поправка к Конституции США предоставила американским женщинам право голоса.
• Война во Вьетнаме длилась более 19 лет, с ноября 1955 года по апрель 1975 года.

Ссылки

1. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A006512 (Большее из простых чисел-близнецов.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 05.08.2022 .
2. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A088762 (Числа n, такие что (2n-1, 2n+3) являются парой двоюродных простых чисел.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 05.08.2022 .
3. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A046117 (Простые числа p, такие, что p-6 также является простым числом. (Верхнее из пары сексуальных простых чисел.))". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 05.08.2022 .
4. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A002426 (Центральные трехчленные коэффициенты: наибольший коэффициент (1 + x + x^2)^n.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 05.08.2022 .
5. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A002804 ((Предполагаемое) решение проблемы Уоринга.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 05.08.2022 .
6. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A032020 (Число композиций n, таких, что никакие две смежные части не равны (композиции Carlitz).)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 14 июля 2024 г.
7. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A016038 (строго непалиндромные числа: n не является палиндромом ни в одной системе счисления b с 2, меньшим или равным b, меньшим или равным n-2.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 19 июня 2024 г.
8. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A005900 (Октаэдрические числа)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 17 августа 2016 г.
9. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A006784 (разложение числа Пи по Энгелю)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 14 июня 2024 г.
10. "Sloane's A000043: показатели Мерсенна". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 31 мая 2016 г.
11. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A007629 (Repfigit (REPetitive FIbonacci-like) diGIT) numbers (или Keith numbers).)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 05.08.2022 .
12. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A001913 (Полные повторные простые числа: простые числа с примитивным корнем 10.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 05.08.2022 .
13. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A060544 (Центрированные 9-угольные (также известные как девятиугольные или девятиугольные) числа. Каждое третье треугольное число, начинающееся с 1)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 30.11.2022 .
14. "19". Prime Curios! . Получено 2022-08-05 .
15. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A005349 (числа Нивена (или Харшада, или Харшада): числа, которые делятся на сумму своих цифр.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 11 октября 2022 г.
16. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A051624 (12-угольные (или додекагональные) числа: a(n) равно n*(5*n-4).)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 21.12.2023 .
17. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A068174 (Определите возрастающую последовательность следующим образом. Начните с начального члена, семени (которое не обязательно должно обладать свойством последовательности); последующие члены получаются путем вставки/размещения по крайней мере одной цифры в предыдущем члене для получения наименьшего числа с заданным свойством. Здесь свойство — быть простым числом.)". Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2022-07-26 .
18. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A088275 (Числа n, такие, что 10^n + 9 является простым числом)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 28 июля 2022 г.
19. Гай, Ричард; Нерешенные проблемы теории чисел , стр. 7 ISBN 1475717385 
20. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A111441 (Числа k, такие, что сумма квадратов первых k простых чисел делится на k)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2022-06-02 .
21. "Sloane's A125602: Центрированные треугольные числа, являющиеся простыми". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 31 мая 2016 г.
22. "Sloane's A003215: Hex (или centered hexagonal) numbers". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2016-05-31 .
23. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A000217 (Треугольные числа)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 13 июля 2022 г.
24. Sloane, NJA "Sequence A186076". The On-line Encyclopedia of Integer Sequences . Получено 2022-07-13 . Обратите внимание, что термины A186074(4) и A186074(10) имеют конечные нули, т. е. 19900 = Sum_{k=0..199} k и 1999000 = Sum_{k=0..1999} k...". "Эта закономерность продолжается бесконечно: 199990000, 19999900000 и т. д.
25. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A055558 (Простые числа вида 1999...999)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 26.07.2022 .
26. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A007569 (Число узлов в правильном n-угольнике со всеми нарисованными диагоналями.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 04.04.2023 .
27. Trigg, CW (февраль 1964). «Уникальный магический шестиугольник». Журнал Recreational Mathematics . Получено 14 июля 2022 г.
28. Гарднер, Мартин (январь 2012 г.). «Гексафлексагоны». The College Mathematics Journal . 43 (1). Тейлор и Фрэнсис : 2–5. doi :10.4169/college.math.j.43.1.002. JSTOR  10.4169/college.math.j.43.1.002. S2CID  218544330.
29. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A006534 (Число односторонних треугольных полимино (n-ромбов) с n ячейками; переворачивание не допускается, отверстия разрешены.)". Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2023-12-08 .
30. Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубы (PDF) . Чикаго, Иллинойс: Open Court Publishing Company . стр. 176, 177. ISBN 9780486206585. МР  0114763. OCLC  1136401. Збл  1003.05500.
31. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A072359 (Простые числа p, такие, что p-1 цифр десятичного разложения k/p (для k, равного 1,2,3,...,p-1) помещаются в k-ю строку сетки магического квадрата порядка p-1.)". Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 04.09.2023 .
32. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A000040 (Простые числа)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 06.09.2023 .
33. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A006003 (a(n) равна n*(n^2 + 1)/2.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 04.09.2023 .
34. Sloane, NJA "3x+1 problem". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . OEIS Foundation . Получено 24.01.2023 .
35. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A006577 (Число шагов деления пополам и утроения для достижения 1 в задаче '3x+1' или -1, если 1 никогда не достигается)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 24.01.2023 .

    «Таблица n, a(n) для n = 1..10000».

36. Коксетер, Х. С. М. (1982). «Десять тороидов и пятьдесят семь гемидодекаэдров». Geometriae Dedicata . 13 (1): 87–99. doi :10.1007/BF00149428. MR  0679218. S2CID  120672023.
37. Allcock, Daniel (11 июля 2006 г.). «Бесконечное множество гиперболических групп Коксетера через размерность 19». Geometry & Topology . 10 (2): 737–758. arXiv : 0903.0138 . doi :10.2140/gt.2006.10.737. S2CID  14378861.
38. Тумаркин, П. (2004). «Гиперболические n-многогранники Коксетера с n + 2 гранями». Математические заметки . 75 (5/6). Springer : 848–854. arXiv : math/0301133v2 . doi :10.1023/B:MATN.0000030993.74338.dd. MR  2086616. S2CID  15156852. Zbl  1062.52012.
39. Seigal, Anna (2020). «Ранги и симметричные ранги кубических поверхностей». Journal of Symbolic Computation . 101. Amsterdam: Elsevier : 304–306. arXiv : 1801.05377 . Bibcode : 2018arXiv180105377S. doi : 10.1016/j.jsc.2019.10.001. S2CID  55542435. Zbl  1444.14091.
40. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A002267 (15 суперсингулярных простых чисел.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 11 декабря 2022 г.
41. Ронан, Марк (2006). Симметрия и монстр: один из величайших поисков математики . Нью-Йорк: Oxford University Press . С. 244–246. doi : 10.1007/s00283-008-9007-9 . ISBN 978-0-19-280722-9. МР  2215662. OCLC  180766312. Збл  1113.00002.
42. Wilson, RA (1998). "Глава: Атлас спорадических представлений групп" (PDF) . Атлас конечных групп - десять лет спустя (LMS Lecture Note Series 249) . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 267. doi :10.1017/CBO9780511565830.024. ISBN 9780511565830. OCLC  726827806. S2CID  59394831. Збл  0914.20016.

    Список стандартных генераторов всех спорадических групп.

43. Никерсон, SJ; Уилсон, RA (2011). «Полупредставления для спорадических простых групп». Экспериментальная математика . 14 (3). Оксфордшир: Тейлор и Фрэнсис : 365. CiteSeerX 10.1.1.218.8035 . doi :10.1080/10586458.2005.10128927. MR  2172713. S2CID  13100616. Zbl  1087.20025. 
44. Янсен, Кристоф (2005). «Минимальные степени точных представлений спорадических простых групп и их охватывающих групп». LMS Journal of Computation and Mathematics . 8. London Mathematical Society : 122−144. doi : 10.1112 /S1461157000000930 . MR  2153793. S2CID  121362819. Zbl  1089.20006.
45. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A000040 (Простые числа.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 28.02.2024 .
46. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A000292". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 28.02.2024 .
47. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A051871 (19-угольные (или эннеадекагональные) числа: n(17n-15)/2.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 09.12.2023 .
48. Джон Ф. Р. Дункан; Майкл Х. Мертенс; Кен Оно (2017). «Pariah moonshine». Nature Communications . 8 (1): 2 (статья 670). arXiv : 1709.08867 . Bibcode : 2017NatCo...8..670D. ​​doi : 10.1038 /s41467-017-00660-y. PMC 5608900. PMID  28935903. ...так [sic] moonshine проливает свет на физическое происхождение монстра и 19 других спорадических групп, которые вовлечены в монстра. 
49. RB Howlett; LJ Rylands; DE Taylor (2001). "Генератор матриц для исключительных групп типа Ли". Journal of Symbolic Computation . 31 (4): 429. doi : 10.1006/jsco.2000.0431 . ...для всех групп типа Ли, включая скрученные группы Стейнберга, Судзуки и Ри (и группу Титса).
50. "Sloane's A003173: числа Хегнера". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 31 мая 2016 г.
51. Бригитта: Тройственная Богиня Пламени (Здоровья, Очага и Кузницы)
52. Roush, Gary (2008-06-02). "Статистика о войне во Вьетнаме". Vietnam Helicopter Flight Crew Network. Архивировано из оригинала 2010-01-06 . Получено 2009-12-06 . Если предположить, что убитые в бою точно представляли возрастные группы, служащие во Вьетнаме, то средний возраст пехотинца (MOS 11B), служащего во Вьетнаме, в 19 лет — это миф, на самом деле это 22 года. Ни в одном из рядовых званий средний возраст не составляет менее 20 лет.

Внешние ссылки

• Номер 19 в базе данных числовых корреляций. Архивировано 15.11.2018 на Wayback Machine.
• Prime Curios для числа 19