В геометрии однородный 5-многогранник — это пятимерный однородный многогранник . По определению однородный 5-многогранник является вершинно-транзитивным и построен из однородных 4-многогранников .
Полный набор выпуклых однородных 5-многогранников не определен, но многие из них могут быть получены с помощью конструкций Витхоффа из небольшого набора групп симметрии . Эти операции построения представлены перестановками колец диаграмм Коксетера .
Правильные 5-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p,q,r,s} с s {p,q,r} 4-многогранниками вокруг каждой грани . Существует ровно три таких правильных многогранника, все выпуклые:
Не существует невыпуклых правильных многогранников в размерности 5 и выше.
Существует 104 известных выпуклых однородных 5-многогранника, а также ряд бесконечных семейств дуопризм и дуопризм многоугольник-многогранник. Все, кроме большой антипризмы, основаны на конструкциях Витхоффа , симметрия отражения генерируется с помощью групп Коксетера . [ требуется ссылка ]
5 -симплекс является правильной формой в семействе A 5 . 5-куб и 5-ортоплекс являются правильными формами в семействе B 5 . Бифуркационный граф семейства D 5 содержит 5-ортоплекс , а также 5-демикуб , который является альтернативным 5-кубом .
Каждый отражающий однородный 5-многогранник может быть построен в одной или нескольких отражающих точечных группах в 5 измерениях с помощью конструкции Витхоффа , представленной кольцами вокруг перестановок узлов на диаграмме Коксетера . Зеркальные гиперплоскости могут быть сгруппированы, как видно по цветным узлам, разделенным четными ветвями. Группы симметрии вида [a,b,b,a] имеют расширенную симметрию, [[a,b,b,a]], например [3,3,3,3], удваивая порядок симметрии. Однородные многогранники в этих группах с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.
Если все зеркала заданного цвета не окольцованы (неактивны) в заданном однородном многограннике, он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией, удаляя все неактивные зеркала. Если все узлы заданного цвета окольцованы (активны), операция чередования может сгенерировать новый 5-многогранник с хиральной симметрией, показанный как «пустые» обведенные узлы», но геометрия, как правило, не настраивается для создания однородных решений.
Существует 5 конечных категоричных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках . Существует одно бесконечное семейство 5-многогранников, основанное на призмах однородных дуопризм {p}×{q}×{ }.
Существует 3 категориальных однородных дуопризматических семейства многогранников, основанных на декартовых произведениях однородных многогранников и правильных многоугольников : { q , r }×{ p }.
Итог: 19+31+8+45+1=104
Кроме того, имеются:
Существует 19 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера с одним или несколькими кольцами. (16+4-1 случаев)
Они названы Норманом Джонсоном в честь операций по построению Уитхоффа над правильным 5-симплексом (гексатероном).
Семейство A 5 имеет симметрию порядка 720 (6- факториал ). 7 из 19 фигур с симметрично окольцованными диаграммами Коксетера имеют двойную симметрию порядка 1440 .
Координаты однородных 5-многогранников с 5-симплексной симметрией могут быть получены как перестановки простых целых чисел в 6-мерном пространстве, все в гиперплоскостях с нормальным вектором (1,1,1,1,1,1).
Семейство B 5 имеет симметрию порядка 3840 (5!×2 5 ) .
Это семейство имеет 2 5 −1=31 однородных многогранников Витхоффа, сгенерированных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Коксетера . Также добавлены 8 однородных многогранников, сгенерированных как чередования с половинной симметрией, которые образуют полную копию семейства D 5 как
... =
..... (Есть и другие варианты чередования, которые не перечислены, поскольку они производят только повторения, как
... =
.... и... =
.... Это дало бы полное дублирование однородных 5-мерных многогранников с номерами от 20 до 34 с симметрией, нарушенной пополам.)
Для простоты она разделена на две подгруппы, каждая из которых содержит 12 форм, и 7 «средних» форм, которые в равной степени принадлежат обеим.
Семейство 5-кубов 5-многогранников задается выпуклыми оболочками базовых точек, перечисленных в следующей таблице, со всеми перестановками координат и взятыми знаками. Каждая базовая точка генерирует отдельный однородный 5-многогранник. Все координаты соответствуют однородным 5-многогранникам с длиной ребра 2.
Семейство D 5 имеет симметрию порядка 1920 (5! x 2 4 ) .
Это семейство содержит 23 однородных многогранника Витхоффа, представляющих собой 3×8-1 перестановок диаграммы Коксетера D 5 с одним или несколькими кольцами. 15 (2×8-1) повторяются из семейства B 5 , а 8 уникальны для этого семейства, хотя даже эти 8 дублируют чередования из семейства B 5 .
В 15 повторах оба узла, завершающие ветви длины 1, кольцевые, поэтому два видаэлементы идентичны, а симметрия удваивается: отношения... =.... и... =..., создавая полное дублирование однородных 5-многогранников с 20 по 34 выше. 8 новых форм имеют один такой узел с кольцом и один без кольца, с соотношением... =... дублирование однородных 5-многогранников 51–58, представленных выше.
Существует 5 конечных категориальных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках . Для простоты большинство чередований не показаны.
Это призматическое семейство имеет 9 форм :
Семейство A1 x A4 имеет симметрию порядка 240 (2*5! ) .
Это призматическое семейство имеет 16 форм . (Три из них являются общими с семейством [3,4,3]×[ ])
Семейство A 1 × B 4 имеет симметрию порядка 768 (2 5 4 !).
Последние три плосконосых многогранника можно реализовать с ребрами одинаковой длины, но они в любом случае окажутся неоднородными, поскольку некоторые из их 4-граней не являются однородными 4-многогранниками.
Это призматическое семейство имеет 10 форм .
Семейство A 1 x F 4 имеет симметрию порядка 2304 (2*1152). Три многогранника 85, 86 и 89 (зеленый фон) имеют двойную симметрию [[3,4,3],2], порядок 4608. Последний, плосконосая 24-ячеистая призма (синий фон) имеет симметрию [3 + , 4,3,2], порядок 1152.
Это призматическое семейство имеет 15 форм :
Семейство A 1 x H 4 имеет симметрию порядка 28800 (2*14400) .
Однородные дуопризменные призмы { p }×{ q }×{ } образуют бесконечный класс для всех целых чисел p , q >2. {4}×{4}×{ } образует форму с более низкой симметрией 5-куба .
Расширенный f-вектор { p }×{ q }×{ } вычисляется как ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 ).
Большая антипризма — единственный известный выпуклый невитхоффов однородный 5-мерный многогранник. Он имеет 200 вершин, 1100 ребер, 1940 граней (40 пятиугольников, 500 квадратов, 1400 треугольников), 1360 ячеек (600 тетраэдров , 40 пятиугольных антипризм , 700 треугольных призм , 20 пятиугольных призм ) и 322 гиперячейки (2 большие антипризмы 
, 20 пятиугольных антипризменных призм
, и 300 тетраэдрических призм 
).
Построение отражающих 5-мерных однородных многогранников выполняется с помощью процесса построения Витхоффа и представляется с помощью диаграммы Коксетера , где каждый узел представляет зеркало. Узлы окольцованы, чтобы указать, какие зеркала активны. Полный набор сгенерированных однородных многогранников основан на уникальных перестановках окольцованных узлов. Однородные 5-мерные многогранники названы в соответствии с правильными многогранниками в каждом семействе. Некоторые семейства имеют два правильных конструктора и, таким образом, могут иметь два способа их именования.
Ниже приведены основные операторы, доступные для построения и наименования однородных 5-многогранников.
Последняя операция, отвод, и в более общем смысле чередование, являются операциями, которые могут создавать нерефлективные формы. Они рисуются с «полыми кольцами» в узлах.
Призматические формы и бифуркационные графы могут использовать одну и ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.
Существует пять фундаментальных аффинных групп Коксетера и 13 призматических групп, которые генерируют регулярные и равномерные мозаики в евклидовом 4-мерном пространстве. [11] [12]
Существует три правильных сот евклидова 4-мерного пространства:
=
. В этой семье 19 однородных сот.. В этом семействе имеется 31 отражающая однородная форма сот и одна альтернативная форма.
ипостроенный четырьмя плосконосыми 24-ячеечными , одним 16-ячеечными и пятью 5-ячеечными в каждой вершине.Другие семейства, которые производят однородные соты:
=
семья, все новое, в том числе:семья, два новых, включая четверть тессерактовых сот ,=, и битусеченные тессерактовые соты ,=.Невитхоффовские однородные мозаики в 4-мерном пространстве также существуют путем удлинения (вставки слоев) и вращения (вращения слоев) этих отражательных форм.
Существует 5 компактных гиперболических групп Коксетера ранга 5, каждая из которых порождает однородные соты в гиперболическом 4-мерном пространстве как перестановки колец диаграмм Коксетера.
В пространстве H4 имеется 5 правильных компактных выпуклых гиперболических сот : [13]
В пространстве H4 также имеются 4 правильные компактные гиперболические звезды-соты :
Существует 9 паракомпактных гиперболических групп Коксетера ранга 5 , каждая из которых генерирует однородные соты в 4-мерном пространстве как перестановки колец диаграмм Коксетера. Паракомпактные группы генерируют соты с бесконечными гранями или вершинными фигурами .
