16-ячеечные соты

В четырехмерной евклидовой геометрии 16-ячеечные соты являются одной из трех правильных заполняющих пространство мозаик (или сот ), представленных символом Шлефли {3,3,4,3} и построенных путем 4-мерной упаковки 16-ячеечных граней , по три вокруг каждой грани.

Его дуал — 24-клеточные соты . Его вершинная фигура — 24-клеточные . Расположение вершин называется решеткой B ₄ , D ₄ или F 4 . ^{[1] [2]}

Альтернативные названия

• Гексадекахорический тетракомб/соты
• Демитессерактовый тетракомб/сотовый

Координаты

Вершины можно разместить во всех целочисленных координатах (i,j,k,l) ​​так, чтобы сумма координат была четной.

Д4решетка

Расположение вершин 16-ячеистых сот называется решеткой D 4 или решеткой F _{4 .} ^[2] Вершины этой решетки являются центрами 3-сфер в самой плотной известной упаковке равных сфер в 4-пространстве; ^[3] ее число контакта равно 24, что также совпадает с числом контакта в R ⁴ , как доказал Олег Мусин в 2003 году. ^{[4] [5]}

Связанный D⁺
₄решетка (также называемая D²
₄) может быть построена путем объединения двух решеток D ₄ и идентична решетке C ₄ : ^[6]

∪==

Номер поцелуя для D⁺
₄равно 2 ³ = 8, (2 ^{n – 1} для n < 8, 240 для n = 8 и 2 n ( n – 1) для n > 8). ^[7]

Связанный D^*
₄решетка (также называемая D⁴
₄и С²
₄) может быть построена путем объединения всех четырех решеток D4 _, но она идентична _{решетке} D4 : это также 4-мерная объемно-центрированная кубическая решетка , объединение двух 4-кубических сот в дуальных положениях. ^[8]

∪∪∪==∪.

Поцелуйное число D^*
₄решетка (и решетка D4 ₎ равна 24 ^[9] и ее мозаика Вороного представляет собой 24-ячеистые соты ,, содержащий все выпрямленные 16-ячеечные ( 24-ячеечные ) ячейки Вороного ,или. ^[10]

Симметричные конструкции

Существуют три различных конструкции симметрии этой мозаики. Каждая симметрия может быть представлена ​​различными расположениями цветных 16-клеточных граней.

Связанные соты

Он связан с правильными гиперболическими 5-пространственными 5-ортоплексными сотами {3,3,3,4,3} с 5-ортоплексными гранями, правильным 4-политопом с 24 ячейками {3,4,3} с октаэдрической (3-ортоплексной) ячейкой и кубом {4,3} с (2-ортоплексными) квадратными гранями.

У него есть двумерный аналог, {3,6} , и как альтернативная форма ( демитсерактовые соты , h{4,3,3,4}) он связан с альтернативными кубическими сотами .

Эти соты являются одними из 20 однородных сот , построенных группой Коксетера , все, кроме 3, повторяются в других семействах с помощью расширенной симметрии, что видно в графовой симметрии колец в диаграммах Коксетера–Дынкина . 20 перестановок перечислены с их наивысшим отношением расширенной симметрии: ${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$

Смотрите также

Регулярные и однородные соты в 4-мерном пространстве:

• Тессерактовые соты
• 24-ячеечные соты
• Усеченные соты из 24 ячеек
• Снуб 24-ячеистый сотовый
• 5-ячеечные соты
• Усеченные 5-ячеистые соты
• Усеченные 5-ячеистые соты

Примечания

1. «Решетка F4».
2. "Решетка D4".
3. Конвей и Слоан, Упаковки сфер, решетки и группы , 1.4 n-мерные упаковки, стр.9
4. Конвей и Слоан, Упаковки сфер, решетки и группы , 1.5 Сводка результатов задачи упаковки сфер, стр. 12
5. О. Р. Мусин (2003). «Задача о двадцати пяти шарах». Russ. Math. Surv . 58 (4): 794–795. Bibcode :2003RuMaS..58..794M. doi :10.1070/RM2003v058n04ABEH000651.
6. Конвей и Слоан, Упаковки сфер, решетки и группы , 7.3 Упаковка D ₃ ⁺ , стр.119
7. Конвей и Слоан, Упаковки сфер, решетки и группы , стр. 119
8. Конвей и Слоан, Упаковки сфер, решетки и группы , 7.4 Двойственная решетка D ₃ ^* , стр.120
9. Конвей и Слоан, Упаковки сфер, решетки и группы , стр. 120
10. Конвей и Слоан, Упаковки сфер, решетки и группы , стр. 466

Ссылки

• Коксетер, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), издание Дувра, ISBN 0-486-61480-8 
  • стр. 154–156: Частичное усечение или чередование, представленное префиксом h : h{4,4} = {4,4}; h{4,3,4} = {3 ^1,1 ,4}, h{4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Джордж Ольшевский, Однородные паноплоидные тетракомбы , рукопись (2006) (полный список 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов)
• Клитцинг, Ричард. «4D евклидовы мозаики».x3o3o4o3o - hext - O104
• Conway JH, Sloane NJH (1998). Упаковки сфер, решетки и группы (3-е изд.). ISBN 0-387-98585-9.