Тессерактовые соты

В четырехмерной евклидовой геометрии тессерактические соты — одна из трех правильных заполняющих пространство мозаик (или сот ), представленная символом Шлефли {4,3,3,4} и состоящая из упаковки тессерактов (4- гиперкубов ).

Его вершинная фигура — 16-ячейка . В каждой кубической ячейке сходятся два тессеракта , в каждой квадратной грани — четыре, в каждом ребре — восемь , в каждой вершине — шестнадцать .

Это аналог квадратной мозаики {4,4} плоскости и кубических сот {4,3,4} трехмерного пространства. Все они являются частью семейства гиперкубических сот замощений вида {4,3,...,3,4}. Замощения в этом семействе являются самодвойственными .

Координаты

Вершины этих сот могут быть расположены в 4-мерном пространстве во всех целочисленных координатах (i,j,k,l).

Упаковка сфер

Как и все обычные гиперкубические соты , тессерактовые соты соответствуют сферической упаковке сфер с длиной ребра и диаметром, центрированных на каждой вершине, или (дуально) вписанных в каждую ячейку. В гиперкубических сотах 4 измерений 3-сферы с центром в вершине и 3-сферы с ячейкой будут помещаться одновременно, образуя уникальную регулярную кубическую решетку с объемным центром из равновеликих сфер (в любом количестве измерений). Поскольку тессеракт является радиально равносторонним , в отверстии между 16 3-сферами с центром в вершине достаточно места для еще одной 3-сферы с длиной ребра и диаметром. (Эта 4-мерная кубическая решетка с объемным центром на самом деле является объединением двух тессерактовых сот в дуальных положениях.)

Это та же самая плотная известная правильная упаковка 3-сфер с числом соприкосновения 24, которая также наблюдается в двух других правильных мозаиках 4-пространства, 16-ячеечных сотах и ​​24-ячеечных сотах . Каждая вписанная в тессеракт 3-сфера целует окружающую оболочку из 24 3-сфер, 16 из которых находятся в вершинах тессеракта, а 8 вписаны в соседние тессеракты. Эти 24 точки соприкосновения являются вершинами 24-ячейки радиуса (и длины ребра) 1/2.

Конструкции

Существует много различных конструкций Витхоффа этих сот. Наиболее симметричная форма — правильная с символом Шлефли {4,3,3,4}. Другая форма имеет две чередующиеся грани тессеракта (как шахматная доска) с символом Шлефли {4,3,3 ^1,1 }. Конструкция Витхоффа с самой низкой симметрией имеет 16 типов граней вокруг каждой вершины и призматическое произведение символ Шлефли {∞} ⁴ . Одна может быть получена путем стеризации другой.

Связанные многогранники и мозаики

[4,3,3,4],, Группа Коксетера генерирует 31 перестановку однородных мозаик, 21 с отчетливой симметрией и 20 с отчетливой геометрией. Расширенные тессерактические соты (также известные как стерифицированные тессерактические соты) геометрически идентичны тессерактическим сотам. Три из симметричных сот являются общими для семейства [3,4,3,3]. Два чередования (13) и (17), а также четверть тессеракта (2) повторяются в других семействах.

[4,3,3 ^1,1 ],, Группа Коксетера генерирует 31 перестановку однородных мозаик, 23 с различной симметрией и 4 с различной геометрией. Существуют две чередующиеся формы: чередования (19) и (24) имеют ту же геометрию, что и 16-ячеистые соты и курносые 24-ячеистые соты соответственно.

24 -клеточные соты похожи, но в дополнение к вершинам в целых числах (i,j,k,l) ​​у них есть вершины в полуцелых числах (i+1/2,j+1/2,k+1/2,l+1/2) только нечетных целых чисел. Это наполовину заполненная объемно-центрированная кубическая (шахматная доска, в которой красные 4-кубы имеют центральную вершину, а черные 4-кубы — нет).

Тессеракт может составить правильную мозаику 4-сферы с тремя тессерактами на грань с символом Шлефли {4,3,3,3}, называемую тессерактическими сотами порядка 3. Он топологически эквивалентен правильному пентеракту многогранника в 5-мерном пространстве.

Тессеракт может создать правильную мозаику 4-мерного гиперболического пространства с 5 тессерактами вокруг каждой грани с символом Шлефли {4,3,3,5}, называемую тессерактическими сотами 5-го порядка .

Мозаика Аммана –Беенкера — это апериодическая мозаика в 2 измерениях, полученная путем разрезания и проецирования на тессерактовых сотах вдоль оси симметрии восьмеричного вращения. ^{[1] [2]}

Биректифицированные тессерактовые соты

Биректифицированные тессерактовые соты ,, содержит все выпрямленные 16-ячеечные ( 24-ячеечные ) грани и является мозаикой Вороного решетки D ₄ ^* . Грани могут быть одинаково окрашены из удвоенной ×2, симметрии [[4,3,3,4]], попеременно окрашены из , симметрии [4,3,3,4], трехцветными из , симметрии [4,3,3 ^1,1 ] и 4-цветными из , симметрии [3 ^1,1,1,1 ]. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$

Смотрите также

Регулярные и однородные соты в 4-мерном пространстве:

• 16-ячеечные соты
• 24-ячеечные соты
• 5-ячеечные соты
• Усеченные 5-ячеистые соты
• Усеченные 5-ячеистые соты

Ссылки

1. Baake, M; Joseph, D (1990). «Идеальные и дефектные конфигурации вершин в плоской восьмиугольной квазирешетке». Physical Review B. 42 ( 13): 8091–8102. Bibcode : 1990PhRvB..42.8091B. doi : 10.1103/physrevb.42.8091. PMID  9994979.
2. Beenker FPM, Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми строительными блоками: квадратом и ромбом, TH Report 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Эйндховен

• Коксетер, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), издание Dover, ISBN 0-486-61480-8 стр. 296, Таблица II: Регулярные соты 
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Джордж Ольшевский, Однородные паноплоидные тетракомбы , Рукопись (2006) (Полный список 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов) - Модель 1
• Клитцинг, Ричард. «4D евклидовы мозаики».x∞ox∞ox∞ox∞o, x∞xx∞ox∞ox∞o, x∞xx∞xx∞ox∞o, x∞xx∞xx∞xx∞o,x∞xx∞xx∞xx∞x, x∞ox∞o x4o4o, x∞ox∞o o4x4o, x∞xx∞o x4o4o, x∞xx∞o o4x4o, x∞ox∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4o, x∞xx∞x o4x4o, x∞xx∞o x4o4x, x∞xx∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4o, x∞xx∞x o4x4o, x∞xx∞o x4o4x, x∞xx∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o *d4x, x∞o o3o3o *d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - тест - O1