stringtranslate.com

5-ячеечные соты

В четырехмерной евклидовой геометрии 4 -симплексные соты , 5-клеточные соты или пентахорно-диспентахорные соты — это заполняющие пространство мозаичные соты . Они состоят из 5-клеточных и выпрямленных 5-клеточных граней в соотношении 1:1.

Структура

Ячейки вершинной фигуры — десять тетраэдров и 20 треугольных призм , соответствующих десяти 5-ячейкам и 20 выпрямленным 5-ячейкам , которые встречаются в каждой вершине. Все вершины лежат в параллельных областях, в которых они образуют чередующиеся кубические соты , причем тетраэдры являются либо вершинами выпрямленной 5-ячейки, либо основаниями 5-ячейки, а октаэдры являются основаниями выпрямленной 5-ячейки. [1]

Альтернативные названия

Проекция путем складывания

Пятиячеистую сотовую структуру можно спроецировать на двумерную квадратную мозаику с помощью геометрической операции складывания , которая отображает две пары зеркал друг в друга, используя одинаковое расположение вершин :

Две различные апериодические мозаики с пятикратной симметрией могут быть получены путем проецирования двумерных срезов сот: мозаика Пенроуза, состоящая из ромбов, и тюбингенская треугольная мозаика, состоящая из равнобедренных треугольников. [2]

А4 решетка

Вершинное расположение 5-клеточных сот называется решеткой A4 или 4-симплексной решеткой . 20 вершин ее вершинной фигуры , 5-клеточная ранцинатная структура , представляют 20 корней группы Коксетера. [3] [4] Это 4-мерный случай симплексных сот .

А*
4Решетка [5] представляет собой объединение пяти решеток A4 и является двойственной к всеусеченным 5-симплексным сотам , и, следовательно, ячейка Вороного этой решетки является всеусеченной 5-ячейкой.

∪∪∪∪= двойственное из

Связанные многогранники и соты

Верхушки 5-ячеек в этих сотах примыкают к основаниям 5-ячеек, и наоборот, в соседних пластинках (или слоях); но чередующиеся пластинки могут быть инвертированы так, что вершины выпрямленных 5-ячеек примыкают к вершинам выпрямленных 5-ячеек, а основания 5-ячеек примыкают к основаниям других 5-ячеек. Эта инверсия приводит к другим не-Витхоффовым однородным выпуклым сотам. Октаэдрические призмы и тетраэдрические призмы также могут быть вставлены между чередующимися пластинками, что приводит к еще двум не-Витхоффовым удлиненным однородным сотам. [6]

Эти соты являются одними из семи уникальных однородных сот [7], построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Коксетера–Дынкина :

Ректифицированные 5-ячеистые соты

Ректифицированные 4-симплексные соты или ректифицированные 5-ячеечные соты представляют собой заполняющие пространство мозаичные соты .

Альтернативные названия

Циклоусеченные 5-клеточные соты

Циклоусеченные 4-симплексные соты или циклоусеченные 5-клеточные соты — это заполняющие пространство мозаичные соты . Их также можно рассматривать как двойные спрямленные 5-клеточные соты .

Он состоит из 5-ячеечных , усеченных 5-ячеечных и усеченных 5-ячеечных граней в соотношении 2:2:1. Его вершинная фигура представляет собой тетраэдрическую антипризму с 2 правильными тетраэдрами , 8 треугольными пирамидами и 6 тетрагональными двуклиновидными ячейками, определяющими 2 5-ячеечные , 8 усеченных 5-ячеечных и 6 усеченных 5-ячеечных граней вокруг вершины.

Его можно построить как пять наборов параллельных гиперплоскостей , которые делят пространство на два полупространства. Гиперплоскости 3-пространства содержат четверть кубических сот в качестве набора граней. [8]

Альтернативные названия

Усеченные 5-ячеистые соты

Усеченные 4-симплексные соты или усеченные 5-клеточные соты — это заполняющие пространство мозаичные соты . Их также можно назвать циклокантиусеченными 5-клеточными сотами .

Альтернативные имена

Кантеллированные 5-ячеистые соты

Кантеллированные 4-симплексные соты или кантеллированные 5-клеточные соты — это заполняющие пространство мозаичные соты . Их также можно назвать циклорунцитированными 5-клеточными сотами .


Альтернативные названия

Усеченные 5-ячеистые соты

Усеченные 4-симплексные соты или усеченные 5-клеточные соты — это заполняющие пространство мозаичные соты . Их также можно назвать циклорунцикантиусеченными 5-клеточными сотами .

Альтернативные названия

Усеченные 5-ячеистые соты

Омнитруцированные 4-симплексные соты или омнитруцированные 5-клеточные соты — это заполняющие пространство мозаичные соты . Их также можно рассматривать как циклостерирунцикантитруцированные 5-клеточные соты .

Он полностью состоит из всеусеченных 5-клеточных (всеусеченных 4-симплексных) граней.

Коксетер называет это сотами Хинтона в честь CH Hinton , который описал их в своей книге «Четвертое измерение» в 1906 году. [9]

Грани всех всеусеченных симплектических сот называются пермутоэдрами и могут быть расположены в пространстве n+1 с целочисленными координатами, перестановками целых чисел (0,1,..,n).

Альтернативные названия

А4*решетка

А*
4Решетка представляет собой объединение пяти решеток A4 и является двойственной к всеусеченным 5-клеточным сотам, и, следовательно, ячейка Вороного этой решетки является всеусеченной 5-клеточной . [10]

∪∪∪∪= двойственное из

Альтернативная форма

Эти соты можно чередовать , создавая omnisnub 5-ячеек с нерегулярными 5-ячейками, созданными в удаленных вершинах. Хотя это не однородно, 5-ячейки имеют симметрию порядка 10.

Смотрите также

Регулярные и однородные соты в 4-мерном пространстве:

Примечания

  1. ^ Ольшевский (2006), Модель 134
  2. ^ Baake, M.; Kramer, P.; Schlottmann, M.; Zeidler, D. (декабрь 1990 г.). «ПЛОСКИЕ ОБРАЗЦЫ С ПЯТИКРАТНОЙ СИММЕТРИЕЙ КАК СЕЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР В 4-ПРОСТРАНСТВЕ». International Journal of Modern Physics B . 04 (15n16): 2217–2268. doi :10.1142/S0217979290001054.
  3. ^ «Решетка А4».
  4. ^ "Решетка корней A4 - Wolfram|Alpha".
  5. ^ «Решетка А4».
  6. ^ Ольшевский (2006), Клитцинг, elong(x3o3o3o3o3*a) - ecypit - O141, schmo(x3o3o3o3o3*a) - зуципит - O142, elongschmo(x3o3o3o3o3*a) - эзуципит - O143
  7. ^ mathworld: Ожерелье, последовательность OEIS A000029 8-1 случаев, пропуская один с нулевыми оценками
  8. ^ Ольшевский, (2006) Модель 135
  9. ↑ Красота геометрии: Двенадцать эссе . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN  99035678.(Классификация Зонохедр, стр. 73)
  10. ^ Решетка A4*

Ссылки