Тетраэдрально -октаэдрические соты , чередующиеся кубические соты — это квазирегулярная заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве . Она состоит из чередующихся правильных октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2.
Другие названия включают полукубические соты , полукубическую ячеистость или тетрагональную дисфеноидальную ячеистость . Джон Хортон Конвей называет эти соты тетрооктаэдриллом , а их двойник — додекаэдриллом .
Р. Бакминстер Фуллер объединяет два слова «октаэдр » и «тетраэдр » в термин «октаэдр» , ромбоэдр, состоящий из одного октаэдра (или двух квадратных пирамид) и двух противолежащих тетраэдров.
Он вершинно-транзитивен с 8 тетраэдрами и 6 октаэдрами вокруг каждой вершины . Он рёберно-транзитивен с 2 тетраэдрами и 2 октаэдрами, чередующимися на каждом ребре.
Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Он является частью бесконечного семейства однородных сот , называемых чередующимися гиперкубическими сотами , образованными как чередование гиперкубических сот и состоящими из граней полугиперкуба и кросс-политопа . Он также является частью другого бесконечного семейства однородных сот, называемых симплектическими сотами .
В этом случае 3-пространства кубические соты чередуются, сводя кубические ячейки к тетраэдрам, а удаленные вершины создают октаэдрические пустоты. Таким образом, это может быть представлено расширенным символом Шлефли h{4,3,4} как содержащим половину вершин кубических сот {4,3,4}.
Существуют похожие соты, называемые спиральными тетраэдрально-октаэдрическими сотами , слои которых повернуты на 60 градусов, так что половина ребер имеет соседние, а не чередующиеся тетраэдры и октаэдры.
Тетраэдрально-октаэдрические соты могут иметь свою симметрию, удвоенную путем размещения тетраэдров на октаэдрических ячейках, создавая неоднородные соты, состоящие из тетраэдров и октаэдров (как треугольные антипризмы). Их вершинная фигура - усеченный триакистетраэдр порядка 3. Эти соты являются двойственными к триакисте-усеченным тетраэдрическим сотам , с триакисте-усеченными тетраэдрическими ячейками.
Для чередующихся кубических сот с ребрами, параллельными осям, и с длиной ребра 1 декартовы координаты вершин равны: (Для всех целых значений: i , j , k, где i + j + k четные )
Существуют две отражающие конструкции и множество чередующихся кубических сотовых конструкций; примеры:
Перемежающиеся кубические соты можно разрезать на секции, где из внутренней части октаэдра создаются новые квадратные грани. Каждая секция будет содержать обращенные вверх и вниз квадратные пирамиды и тетраэдры , расположенные на их ребрах. Второе направление среза не требует новых граней и включает чередующиеся тетраэдрические и октаэдрические. Эти соты из пластин являются чешуйчатыми сотами, а не однородными, поскольку имеют неоднородные ячейки.
Альтернативные кубические соты могут быть ортогонально спроецированы в плоскую квадратную мозаику с помощью геометрической операции складывания , которая отображает одну пару зеркал друг в друга. Проекция альтернативных кубических сот создает две смещенные копии квадратной мозаики вершин плоскости:
Расположение ее вершин представляет собой решетку A 3 или решетку D 3 . [2] [3] Эта решетка известна как гранецентрированная кубическая решетка в кристаллографии и также называется кубической плотноупакованной решеткой , поскольку ее вершины являются центрами плотной упаковки с равными сферами, которая достигает максимально возможной средней плотности. Тетраэдрально-октаэдрические соты являются трехмерным случаем симплектических сот . Их ячейка Вороного является ромбическим додекаэдром , двойственной вершинной фигуре кубооктаэдра для тет-октаэдрических сот.
Д+
3Упаковка может быть построена путем объединения двух решеток D 3 (или A 3 ). D+
нУпаковка является решеткой только для четных измерений. Число поцелуя равно 2 2 =4, (2 n-1 для n<8, 240 для n=8 и 2n(n-1) для n>8). [4]
∪А*
3или Д*
3решетка (также называемая A4
3или Д4
3) может быть построена путем объединения всех четырех решеток A3 и идентична расположению вершин двуклиновидных тетраэдрических сот , дуальных сот однородных битусеченных кубических сот : [5] Это также объемно-центрированная кубическая сот , объединение двух кубических сот в дуальных положениях.
∪
∪
∪= двойственное из
=
∪.Поцелуйное число D*
3решетка равна 8 [6] и ее мозаика Вороного представляет собой битусеченные кубические соты ,
, содержащий все усеченные октаэдрические ячейки Вороного ,. [7]
[4,3,4],, Группа Коксетера генерирует 15 перестановок однородных сот, 9 с различной геометрией, включая чередующиеся кубические соты. Расширенные кубические соты (также известные как тессерактовые соты с ручьями) геометрически идентичны кубическим сотам.
[4,3 1,1 ],Группа Коксетера генерирует 9 перестановок однородных сот, 4 из которых имеют различную геометрию, включая чередующиеся кубические соты.
Эти соты являются одними из пяти различных однородных сот [8], построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Коксетера–Дынкина :
Кантические кубические соты , кантические кубические ячейки или усеченные полукубические соты — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из усеченных октаэдров , кубооктаэдров и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1:2. Ее вершинная фигура — прямоугольная пирамида .
Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным тетраоктаэдрилом , а их двойную половину — сплющенным октаэдрилом .
Имеет две различные однородные конструкции. Конструкция может быть представлена попеременно окрашенными усеченными тетраэдрами .
Он связан с кубическими сотами, имеющими форму усеченных ромбов . Ромбокубооктаэдры сводятся к усеченным октаэдрам, а кубы — к усеченным тетраэдрам.
Кубические соты рунчика или кубическая ячеистость рунчика — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из ромбокубооктаэдров , кубов и тетраэдров в соотношении 1:1:2. Ее вершинная фигура — треугольный усеченный треугольник с тетраэдром на одном конце, кубом на противоположном конце и тремя ромбокубооктаэдрами вокруг трапециевидных сторон.
Джон Хортон Конвей называет эти соты 3-RCO-триллем , а их двойные четверти — кубиллой .
Двойник рунических кубических сот называется четвертным кубилом , с диаграммой Коксетера 
, с гранями в 2 из 4 гиперплоскостей фундаментальной области симметрии , [4,3 1,1 ].
Ячейки можно рассматривать как 1/4 рассеченного куба, используя 4 вершины и центр. Четыре ячейки существуют вокруг 6 ребер, и 3 ячейки вокруг 3 ребер.
Она похожа на струйчатые кубические соты , в которых четверть кубов чередуется с тетраэдрами, а половина расширена до ромбокубооктаэдров.
Эти соты можно разделить на усеченные квадратные мозаичные плоскости, используя восьмиугольные центры ромбокубооктаэдров, создавая квадратные купола . Эти чешуйчатые соты представлены диаграммой Коксетера
, и символ s 3 {2,4,4}, с симметрией обозначения Кокстера [2 + ,4,4].
.Runcicantic cube honeycomb или runcicantic cube cellulation — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из усеченных кубооктаэдров , усеченных кубов и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1:2 с зеркальной клиновидной вершиной . Она связана с runcicantellated cube honeycomb .
Джон Хортон Конвей называет эти соты f-tCO-trille , а их двойную половину — pyramidille .
Двойственная к усеченным кубическим сотам структура называется полупирамидиллой , с диаграммой Коксетера Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей группы Коксетера [4,3 1,1 ] .
Ячейки представляют собой неправильные пирамиды и могут рассматриваться как 1/12 куба или 1/24 ромбического додекаэдра , каждая из которых определяется тремя вершинами и центром куба.
Существует родственный однородный косой апейроэдр с тем же расположением вершин , но без треугольников и квадрата. Его можно рассматривать как усеченные тетраэдры и усеченные кубы, дополненные вместе.
Скрученные тетраэдрально-октаэдрические соты или скрученные чередующиеся кубические соты представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве, состоящую из октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2.
Он имеет вершинно-однородную структуру с 8 тетраэдрами и 6 октаэдрами вокруг каждой вершины.
Он не является однородным по краям . Все ребра имеют 2 тетраэдра и 2 октаэдра, но некоторые из них чередуются, а некоторые являются парными.
Это можно увидеть в виде отражающих слоев сотового слоя:
Это менее симметричная версия других сот, тетраэдрально-октаэдрических сот, в которых каждое ребро окружено чередующимися тетраэдрами и октаэдрами. Оба можно рассматривать как состоящие из слоев толщиной в одну ячейку, внутри которых два вида ячеек строго чередуются. Поскольку грани на плоскостях, разделяющих эти слои, образуют правильный узор из треугольников , соседние слои можно размещать так, чтобы каждый октаэдр в одном слое встречался с тетраэдром в следующем слое, или так, чтобы каждая ячейка встречалась с ячейкой своего вида (граница слоя, таким образом, становится плоскостью отражения ). Последняя форма называется гиратированной .
Вершинная фигура называется треугольным ортобикуполом , в отличие от тетраэдрально-октаэдрических сот, вершинная фигура которых кубооктаэдр в более низкой симметрии называется треугольным гиробикуполом , поэтому префикс гиро- используется наоборот.
Геометрия также может быть построена с помощью операции чередования , примененной к шестиугольным призматическим сотам . Ячейки шестиугольной призмы становятся октаэдрами , а пустоты создают треугольные бипирамиды , которые можно разделить на пары тетраэдров этих сот. Эти соты с бипирамидами называются дитетраэдрально-октаэдрическими сотами . Существует 3 диаграммы Коксетера-Дынкина , которые можно рассматривать как 1, 2 или 3 цвета октаэдров:
Гироудлиненные чередующиеся кубические соты или удлинённые треугольные антипризматические ячейки — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом трёхмерном пространстве . Она состоит из октаэдров , треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2.
Он вершинно-транзитивен с 3 октаэдрами, 4 тетраэдрами и 6 треугольными призмами вокруг каждой вершины.
Это одна из 28 выпуклых однородных сот .
Удлиненные чередующиеся кубические соты имеют то же самое расположение ячеек в каждой вершине, но общее расположение отличается. В удлиненной форме каждая призма встречается с тетраэдром на одной из своих треугольных граней и с октаэдром на другой; в гироудлиненной форме призма встречается с тем же видом дельтаэдра на каждом конце.
Удлиненные чередующиеся кубические соты или удлинённые треугольные гиропризматические ячейки — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве . Она состоит из октаэдров , треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2.
Он вершинно-транзитивен с 3 октаэдрами, 4 тетраэдрами, 6 треугольными призмами вокруг каждой вершины. Каждая призма встречает октаэдр на одном конце и тетраэдр на другом.
Это одна из 28 выпуклых однородных сот .
Он имеет изогнутую форму, называемую гироудлиненными перемежающимися кубическими сотами с одинаковым расположением ячеек в каждой вершине.
