В шестимерной геометрии однородный 6-многогранник — это шестимерный однородный многогранник . Однородный многогранник вершинно-транзитивен , и все грани являются однородными 5-многогранниками .
Полный набор выпуклых однородных 6-многогранников не определен, но большинство из них можно построить как конструкции Витхоффа из небольшого набора групп симметрии . Эти операции построения представлены перестановками колец диаграмм Коксетера -Дынкина . Каждая комбинация по крайней мере одного кольца на каждой связанной группе узлов диаграммы дает однородный 6-многогранник.
Простейшими однородными многогранниками являются правильные многогранники : 6-симплекс {3,3,3,3,3}, 6-куб (гексакрест) {4,3,3,3,3} и 6-ортоплекс (гексакрест) {3,3,3,3,4}.
Однородные 6-мерные многогранники с отражательной симметрией могут быть получены с помощью этих четырех групп Коксетера, представленных перестановками колец диаграмм Коксетера-Дынкина .
Существует четыре фундаментальные группы отражательной симметрии, которые генерируют 153 уникальных однородных 6-мерных многогранника.
Равномерная призма
Существует 6 категориальных однородных призм, основанных на однородных 5-многогранниках .
Равномерная дуопризма
Существует 11 категориальных однородных дуопризматических семейств многогранников, основанных на декартовых произведениях однородных многогранников меньшей размерности. Пять из них образованы как произведение однородного 4-мерного многогранника с правильным многоугольником , а шесть образованы произведением двух однородных многогранников :
Равномерный триапризма
Существует одно бесконечное семейство однородных триапризматических семейств многогранников, построенных как декартово произведение трех правильных многоугольников. Каждая комбинация по крайней мере одного кольца на каждой связной группе производит однородный призматический 6-многогранник.
; также как h{4,3 3 },
, полусимметричная форма.
Эти фундаментальные семейства порождают 153 непризматических выпуклых однородных полипэта.
Кроме того, существует 57 однородных 6-политопических конструкций, основанных на призмах однородных 5-политопов : [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [3 2,1,1 ,2], за исключением пентерактной призмы как дубликата гексеракта.
Кроме того, существует бесконечно много однородных 6-мерных многогранников, основанных на:
Существует 32+4−1=35 форм, полученных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Коксетера-Дынкина . Все 35 перечислены ниже. Они названы Норманом Джонсоном по операциям построения Витхоффа на регулярном 6-симплексе (гептапетоне). Названия сокращений в стиле Боуэрса даны в скобках для перекрестных ссылок.
Семейство A 6 имеет симметрию порядка 5040 (7- факториал ).
Координаты однородных 6-многогранников с 6-симплексной симметрией могут быть получены как перестановки простых целых чисел в 7-мерном пространстве, все в гиперплоскостях с нормальным вектором (1,1,1,1,1,1,1).
Существует 63 формы, основанные на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.
Семейство B 6 имеет симметрию порядка 46080 (6 факториал x 2 6 ).
Они названы Норманом Джонсоном из строительных операций Wythoff на регулярном 6-кубе и 6-ортоплексе. Имена Боуэрса и сокращенные названия даны для перекрестных ссылок.
Семейство D 6 имеет симметрию порядка 23040 (6 факториал x 2 5 ).
Это семейство имеет 3×16−1=47 однородных многогранников Витхоффа, сгенерированных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Коксетера-Дынкина D 6 . Из них 31 (2×16−1) повторяются из семейства B 6 и 16 являются уникальными для этого семейства. 16 уникальных форм перечислены ниже. Названия акронимов в стиле Боуэрса даны для перекрестных ссылок.
Существует 39 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Коксетера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. Для перекрестных ссылок даны аббревиатуры в стиле Боуэрса. Семейство E 6 имеет симметрию порядка 51 840.
Однородные трипризмы , { p }×{ q }×{ r }, образуют бесконечный класс для всех целых чисел p , q , r >2. {4}×{4}×{4} образует форму с более низкой симметрией 6-куба .
Расширенный f-вектор равен ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*( r , r , 1 )=( pqr ,3 pqr ,3 pqr + pq + pr + qr ,3 p ( p +1),3 p , 1 ).
В 6 измерениях и выше существует бесконечное количество невитхоффовых выпуклых однородных многогранников : декартово произведение большой антипризмы в 4 измерениях и любого правильного многоугольника в 2 измерениях. Пока не доказано, есть ли еще такие многогранники.
Существует четыре фундаментальные аффинные группы Коксетера и 27 призматических групп, которые генерируют регулярные и равномерные замощения в 5-мерном пространстве:
К регулярным и однородным сотам относятся:
=
==
=. Другие два новых - это=,=.Не существует компактных гиперболических групп Коксетера ранга 6, групп, которые могут генерировать соты со всеми конечными гранями и конечной вершинной фигурой . Однако существует 12 паракомпактных гиперболических групп Коксетера ранга 6, каждая из которых генерирует однородные соты в 5-мерном пространстве как перестановки колец диаграмм Коксетера.
Построение отражающих 6-мерных однородных многогранников выполняется с помощью процесса построения Витхоффа и представляется с помощью диаграммы Коксетера-Дынкина , где каждый узел представляет зеркало. Узлы окольцованы, чтобы указать, какие зеркала активны. Полный набор сгенерированных однородных многогранников основан на уникальных перестановках окольцованных узлов. Однородные 6-мерные многогранники названы в соответствии с правильными многогранниками в каждом семействе. Некоторые семейства имеют два правильных конструктора и, таким образом, могут иметь два способа их именования.
Ниже приведены основные операторы, доступные для построения и наименования однородных 6-мерных многогранников.
Призматические формы и бифуркационные графы могут использовать одну и ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.
