В геометрии полугиперкубы (также называемые n-демикубами , n-полукубами и многогранниками половинной меры ) — это класс n - многогранников , построенных из чередования n - гиперкуба , обозначенного как hγ n , поскольку он является половиной семейства гиперкубов, γ n . Половина вершин удаляется и образуются новые грани. 2 n граней становятся 2 n ( n −1)-полукубами , а на месте удаленных вершин образуются 2 n ( n −1)-симплексные фасеты. [1]
Они были названы с использованием префикса деми- префикса к каждому имени гиперкуба : демикуб, демитессеракт и т. д. Демикуб идентичен правильному тетраэдру , а демитессеракт идентичен обычному 16-ячеечному . Демипентеракт считается полуправильным, поскольку имеет только правильные грани. Высшие формы не имеют всех правильных граней, но все являются однородными многогранниками .
Вершины и ребра полугиперкуба образуют две копии графа половинчатого куба .
n - демикуб обладает инверсионной симметрией , если n четно .
Торольд Госсет описал демипентеракт в своей публикации 1900 года, перечислив все правильные и полуправильные фигуры в n -мерностях выше трех. Он назвал это 5-ic полурегулярным . Он также существует в семействе полуправильных многогранников k 21 .
Полугиперкубы можно представить расширенными символами Шлефли вида h{4,3,...,3} как половину вершин {4,3,...,3}. Вершинные фигуры полугиперкубов представляют собой выпрямленные n - симплексы .
Они представлены диаграммами Кокстера-Дынкина трех конструктивных форм:
... (Как альтернативный ортотоп ) s{2 1,1,...,1 }
...(Как чередующийся гиперкуб ) h{4,3 n −1 }
.... (Как полугиперкуб) {3 1, n −3,1 }HSM Coxeter также обозначил третьи разветвленные диаграммы как 1 k 1 , представляющие длины трех ветвей и возглавляемые кольцевой ветвью.
n -полукуб , n больше 2, имеет n ( n -1)/2 ребер, сходящихся в каждой вершине. На графиках ниже показано меньшее количество ребер в каждой вершине из-за перекрытия ребер в проекции симметрии.
В общем, элементы демикуба можно определить из исходного n -куба: (при C n , m = m количество граней в n -кубе = 2 n - m n !/( m !( n - m )!) )
Стабилизатор демигиперкуба в гипероктаэдрической группе ( группа Кокстера [4,3 n −1 ]) имеет индекс 2. Это группа Кокстера [3 n −3,1,1 ] порядка и порождается перестановками координатные оси и отражения вдоль пар координатных осей. [2]
Конструкции как чередующиеся ортотопы имеют одинаковую топологию, но могут растягиваться на разную длину по n -осям симметрии.
Ромбический дисфеноид является трехмерным примером чередующегося кубоида. Он имеет три набора длин ребер и грани разностороннего треугольника .
