Числовая апертура

Характеристика оптической системы

Числовая апертура относительно точки P зависит от половинного угла θ ₁ максимального конуса света, который может войти или выйти из линзы, и окружающего показателя преломления. Когда луч света проходит через плоскую стеклянную плоскость, его половинный угол изменяется на θ ₂ . Из-за закона Снеллиуса числовая апертура остается прежней: NA = n ₁  sin θ ₁ = n ₂  sin θ ₂ .

В оптике числовая апертура ( NA ) оптической системы — это безразмерное число , характеризующее диапазон углов, в которых система может принимать или излучать свет. Включая в свое определение показатель преломления , NA обладает тем свойством, что она постоянна для луча, когда он переходит из одного материала в другой, при условии отсутствия преломляющей способности на границе раздела. Точное определение термина немного различается в разных областях оптики. Числовая апертура обычно используется в микроскопии для описания приемного конуса объектива ( и, следовательно, его светосборной способности и разрешения ), а также в волоконной оптике , где она описывает диапазон углов, в пределах которых свет, падающий на волокно, будет передаваться по нему.

Общая оптика

Простая диаграмма лучей, показывающая типичные главные и краевые лучи.

В большинстве областей оптики, и особенно в микроскопии , числовая апертура оптической системы, такой как объектив, определяется как

$${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta ,}$$

где n — показатель преломления среды, в которой работает линза (1,00 для воздуха , 1,33 для чистой воды и обычно 1,52 для иммерсионного масла ; ^[1] см. также список показателей преломления ), а θ — половинный угол максимального конуса света, который может входить или выходить из линзы. В общем случае это угол реального краевого луча в системе. Поскольку показатель преломления включен, NA ​​пучка лучей является инвариантом, поскольку пучок лучей проходит из одного материала в другой через плоскую поверхность. Это легко показать, переставив закон Снеллиуса , чтобы найти, что n sin θ постоянен через границу раздела.

В воздухе угловая апертура линзы примерно вдвое больше этого значения (в пределах параксиального приближения ). NA обычно измеряется относительно конкретного объекта или точки изображения и будет меняться по мере перемещения этой точки. В микроскопии NA обычно относится к числовой апертуре пространства объекта, если не указано иное.

В микроскопии NA важна, поскольку она указывает на разрешающую способность линзы. Размер мельчайшей детали, которая может быть разрешена ( разрешение ), пропорционален ⁠λ/2NA⁠ , где λ — длина волны света. Объектив с большей числовой апертурой сможет визуализировать более мелкие детали, чем объектив с меньшей числовой апертурой. При условии качественной ( дифракционно-ограниченной ) оптики объективы с большей числовой апертурой собирают больше света и, как правило, обеспечивают более яркое изображение, но обеспечивают меньшую глубину резкости .

Числовая апертура используется для определения «размера пит-зоны» в форматах оптических дисков . ^[2]

Увеличение кратности и числовой апертуры объектива уменьшает рабочее расстояние, т. е. расстояние между передней линзой и образцом.

Числовая апертура и число f

Числовая апертура тонкой линзы

Числовая апертура обычно не используется в фотографии . Вместо этого угловая апертура объектива ( или зеркала изображения) выражается числом f , которое записываетсяф / Н, где N — диафрагменное число, определяемое отношением фокусного расстояния f к диаметру входного зрачка D :

$${\displaystyle N={\frac {f}{D}}.}$$

Это отношение связано с числовой апертурой пространства изображения, когда объектив сфокусирован на бесконечности. ^[3] На основе диаграммы справа числовая апертура пространства изображения объектива равна:

$${\displaystyle {\text{NA}}_{\text{i}}=n\sin \theta =n\sin \left[\arctan \left({\frac {D}{2f}}\right)\right]\approx n{\frac {D}{2f}},}$$

таким образом, N ≈ ⁠1/2NA _я⁠ , при условии нормального использования на воздухе ( n = 1 ).

Приближение справедливо, когда числовая апертура мала, но оказывается, что для хорошо скорректированных оптических систем, таких как объективы камер, более подробный анализ показывает, что N почти точно равно 1/(2NA _i ) даже при больших числовых апертурах. Как объясняет Рудольф Кингслейк, «Распространенной ошибкой является предположение, что отношение [ D /2 f ] на самом деле равно tan θ , а не sin θ ... Тангенс, конечно, был бы правильным, если бы главные плоскости были действительно плоскими. Однако полная теория синусоидального условия Аббе показывает, что если объектив скорректирован на кому и сферическую аберрацию , как и все хорошие фотографические объективы, вторая главная плоскость становится частью сферы радиуса f с центром в фокальной точке». ^[4] В этом смысле традиционное определение и иллюстрация числа f для тонкой линзы вводят в заблуждение, и определение его в терминах числовой апертуры может быть более осмысленным.

Рабочее (эффективное) число f

Число f описывает светособирающую способность объектива в случае, когда краевые лучи на стороне объекта параллельны оси объектива. Этот случай часто встречается в фотографии, где фотографируемые объекты часто находятся далеко от камеры. Однако, когда объект не удален от объектива, изображение больше не формируется в фокальной плоскости объектива , и число f больше не описывает точно светособирающую способность объектива или числовую апертуру на стороне изображения. В этом случае числовая апертура связана с тем, что иногда называют « рабочим числом f » или «эффективным числом f».

Рабочее число f определяется путем изменения приведенного выше соотношения с учетом увеличения от объекта к изображению:

$${\displaystyle {\frac {1}{2{\text{NA}}_{\text{i}}}}=N_{\text{w}}=\left(1-{\frac {m}{P}}\right)N,}$$

где N _w — рабочее число f, m — увеличение объектива для объекта, находящегося на определенном расстоянии, P — увеличение зрачка , а NA определяется в терминах угла краевого луча, как и прежде. ^{[3] [5]} Увеличение здесь обычно отрицательное, и увеличение зрачка чаще всего предполагается равным 1 — как объясняет Аллен Р. Гринлиф, «Освещенность изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между выходным зрачком объектива и положением пластины или пленки. Поскольку положение выходного зрачка обычно неизвестно пользователю объектива, вместо него используется заднее сопряженное фокусное расстояние; результирующая теоретическая ошибка, введенная таким образом, незначительна для большинства типов фотографических объективов». ^[6]

В фотографии этот фактор иногда записывается как 1 + m , где m представляет собой абсолютное значение увеличения; в любом случае поправочный коэффициент равен 1 или больше. Каждое из двух равенств в приведенном выше уравнении разными авторами принимается за определение рабочего числа f, как показывают цитируемые источники. Они не обязательно оба точны, но часто рассматриваются так, как будто они таковы.

Наоборот, числовая апертура со стороны объекта связана с числом f посредством увеличения (стремящегося к нулю для удаленного объекта):

$${\displaystyle {\frac {1}{2{\text{NA}}_{\text{o}}}}={\frac {m-P}{mP}}N.}$$

Лазерная физика

В лазерной физике числовая апертура определяется немного иначе. Лазерные лучи распространяются, но медленно. Вдали от самой узкой части луча, распространение примерно линейно с расстоянием — лазерный луч образует конус света в «дальнем поле». Соотношение, используемое для определения NA лазерного луча, такое же, как и для оптической системы,

$${\displaystyle {\text{NA}}=n\sin \theta ,}$$

но θ определяется по-другому. Лазерные лучи обычно не имеют острых краев, как конус света, проходящий через апертуру линзы . Вместо этого облученность постепенно падает от центра луча. Очень часто луч имеет гауссов профиль. Лазерные физики обычно выбирают θ как расхождение луча : угол дальней зоны между осью луча и расстоянием от оси, на котором облученность падает до e ⁻² от осевой облученности. Затем NA гауссова лазерного луча связана с его минимальным размером пятна («талией луча») следующим образом:

$${\displaystyle {\text{NA}}\simeq {\frac {\lambda _{0}}{\pi w_{0}}},}$$

где λ ₀ — длина волны света в вакууме , а 2 w ₀ — диаметр пучка в самом узком месте, измеренный между точками облученности e ⁻² («Полная ширина при максимуме интенсивности e ⁻² »). Это означает, что лазерный луч, сфокусированный в маленькое пятно, будет быстро расширяться по мере удаления от фокуса, в то время как лазерный луч большого диаметра может оставаться примерно того же размера на очень большом расстоянии. См. также: Ширина гауссова пучка .

Волоконная оптика

Многомодовое волокно с показателем преломления n ₁ и оболочкой с показателем преломления n ₂ ​​.

Многомодовое оптическое волокно будет распространять только тот свет, который входит в волокно в определенном диапазоне углов, известном как конус приема волокна. Половина угла этого конуса называется углом приема , θ _max . Для многомодового волокна со ступенчатым показателем преломления в данной среде угол приема определяется только показателями преломления сердцевины, оболочки и среды: где n — показатель преломления среды вокруг волокна, n _core — показатель преломления сердцевины волокна, а n _clad — показатель преломления оболочки . Хотя сердцевина будет принимать свет под большими углами, эти лучи не будут полностью отражаться от интерфейса сердцевина–оболочка и, таким образом, не будут передаваться на другой конец волокна. Вывод этой формулы приведен ниже. $${\displaystyle n\sin \theta _{\max }={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$$

Когда световой луч падает из среды с показателем преломления n на ядро ​​с показателем преломления _n под максимальным углом приема, закон Снеллиуса на границе среда-сердцевина дает $${\displaystyle n\sin \theta _{\max }=n_{\text{core}}\sin \theta _{r}.\ }$$

Из геометрии рисунка выше имеем: $${\displaystyle \sin \theta _{r}=\sin \left({90^{\circ }}-\theta _{c}\right)=\cos \theta _{c}}$$

где $${\displaystyle \theta _{c}=\arcsin {\frac {n_{\text{clad}}}{n_{\text{core}}}}}$$

критический угол для полного внутреннего отражения .

Подставляя cos θ _c вместо sin θ _r в закон Снеллиуса, получаем: $${\displaystyle {\frac {n}{n_{\text{core}}}}\sin \theta _{\max }=\cos \theta _{c}.}$$

Возводя обе стороны в квадрат $${\displaystyle {\frac {n^{2}}{n_{\text{core}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{\max }=\cos ^{2}\theta _{c}=1-\sin ^{2}\theta _{c}=1-{\frac {n_{\text{clad}}^{2}}{n_{\text{core}}^{2}}}.}$$

Решая, находим указанную выше формулу:

$${\displaystyle n\sin \theta _{\max }={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$$

Она имеет ту же форму, что и числовая апертура в других оптических системах, поэтому стало общепринятым определять числовую апертуру любого типа волокна как $${\displaystyle \mathrm {NA} ={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$$

где n _core — показатель преломления вдоль центральной оси волокна. Обратите внимание, что при использовании этого определения связь между числовой апертурой и углом приема волокна становится лишь приближением. В частности, « NA », определенное таким образом, не имеет значения для одномодового волокна . ^{[7] [8]} Нельзя определить угол приема для одномодового волокна, основываясь только на показателях преломления.

Число связанных мод , объем моды , связано с нормализованной частотой и, следовательно, с числовой апертурой.

В многомодовых волокнах иногда используется термин « равновесная числовая апертура» . Это относится к числовой апертуре относительно предельного угла выхода луча из волокна, в котором установлено равновесное распределение мод .

Смотрите также

• f-число
• Числовая апертура запуска
• Направленный луч , контекст оптического волокна
• Угол приема (солнечный концентратор) , дополнительный контекст

Ссылки

1. Каргилл, Джон Дж. (1985). «Иммерсионное масло и микроскоп» (PDF) (2-е изд.). Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 2019-10-16 .
2. "Обновление о дисках высокой четкости: как обстоят дела с HD DVD и Blu-ray" Архивировано 10 января 2008 г. на Wayback Machine Стивом Киндигом, консультантом Crutchfield . Доступ 18 января 2008 г.
3. Greivekamp, ​​John E. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике. SPIE Field Guides. Том FG01. SPIE. стр. 29. ISBN 0-8194-5294-7.
4. Рудольф Кингслейк (1951). Объективы в фотографии: практическое руководство по оптике для фотографов . Case-Hoyt, для Garden City Books. стр. 97–98.
5. Арекки, Анджело В.; Мессади, Тахар и Кошель, Р. Джон (2007). Полевое руководство по освещению. SPIE. стр. 48. ISBN 978-0-8194-6768-3.
6. Гринлиф, Аллен Р. (1950). Фотографическая оптика. Компания Macmillan. стр. 24.
7. Paschotta, R. "Числовая апертура". Энциклопедия RP Photonics . doi :10.61835/fov . Получено 25.08.2024 .
8. Kowalevicz, Jr., Andrew M.; Bucholtz, Frank (6 октября 2006 г.). Расхождение пучка из оптического волокна SMF-28 (отчет). Naval Research Lab. NRL/MR/5650--06-8996.

•  В этой статье использованы материалы из общедоступного федерального стандарта 1037C. Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 2022-01-22. (в поддержку MIL-STD-188 ).

Внешние ссылки

• «Объективы микроскопа: числовая апертура и разрешение» Мортимера Абрамовица и Майкла У. Дэвидсона, Молекулярные выражения: Учебник по оптической микроскопии (веб-сайт), Университет штата Флорида , 22 апреля 2004 г.
• «Основные понятия и формулы в микроскопии: числовая апертура» Майкла У. Дэвидсона, Nikon MicroscopyU (веб-сайт).
• «Числовая апертура», Энциклопедия лазерной физики и техники (сайт).
• «Числовая апертура и разрешение», основные объекты микроскопии Института исследований мозга Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (веб-сайт), 2007.