Длина волны

Расстояние, на котором повторяется форма волны

Длину волны синусоидальной волны λ можно измерить между любыми двумя точками с одинаковой фазой , например, между вершинами (вверху) или впадинами (внизу) или соответствующими нулевыми переходами , как показано на рисунке.

В физике и математике длина волны или пространственный период волны или периодической функции — это расстояние, на котором повторяется форма волны. ^{[1] [2]} Другими словами, это расстояние между последовательными соответствующими точками одной и той же фазы на волне, такими как два соседних гребня, впадины или нулевые переходы . Длина волны является характеристикой как бегущих волн, так и стоячих волн , а также других пространственных волновых моделей. ^{[3] [4]} Обратная величина длины волны называется пространственной частотой . Длина волны обычно обозначается греческой буквой лямбда ( λ ). Термин «длина волны» также иногда применяется к модулированным волнам и к синусоидальным огибающим модулированных волн или волн, образованных интерференцией нескольких синусоид. ^[5]

Если предположить, что синусоидальная волна движется с фиксированной скоростью, длина волны обратно пропорциональна частоте волны : волны с более высокими частотами имеют более короткие длины волн, а волны с более низкими частотами имеют более длинные длины волн. ^[6]

Длина волны зависит от среды (например, вакуума, воздуха или воды), через которую распространяется волна. Примерами волн являются звуковые волны , свет , волны на воде и периодические электрические сигналы в проводнике . Звуковая волна — это изменение давления воздуха , в то время как в свете и других электромагнитных излучениях изменяется сила электрического и магнитного поля . Водяные волны — это изменение высоты водоема. При вибрации кристаллической решетки изменяются положения атомов.

Диапазон длин волн или частот для волновых явлений называется спектром . Название возникло вместе со спектром видимого света , но теперь может применяться ко всему электромагнитному спектру , а также к звуковому спектру или спектру колебаний .

Синусоидальные волны

В линейных средах любая волновая картина может быть описана в терминах независимого распространения синусоидальных компонентов. Длина волны λ синусоидальной волны, распространяющейся с постоянной скоростью, определяется как ^[7] ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{f}}\,\,,}$

где называется фазовой скоростью (величиной фазовой скорости ) волны, а - частота волны . В дисперсионной среде сама фазовая скорость зависит от частоты волны, что делает связь между длиной волны и частотой нелинейной. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

В случае электромагнитного излучения , такого как свет, в свободном пространстве фазовая скорость равна скорости света , примерно3 × 10 ⁸  м/с . Таким образом, длина электромагнитной (радио) волны частотой 100 МГц составляет примерно:3 × 10 ⁸  м/с деленное на10 ⁸  Гц = 3 м. Длина волны видимого света варьируется от темно- красного , примерно 700  нм , до фиолетового , примерно 400 нм (другие примеры см. в разделе «Электромагнитный спектр »).

Для звуковых волн в воздухе скорость звука составляет 343 м/с (при комнатной температуре и атмосферном давлении ). Длины волн звуковых частот, слышимых человеческим ухом (20  Гц – 20 кГц), таким образом, находятся между приблизительно 17  м и 17  мм соответственно. Несколько более высокие частоты используются летучими мышами , чтобы они могли различать цели размером менее 17 мм. Длины волн в слышимом звуке намного больше, чем в видимом свете.

Синусоидальные стоячие волны в ящике, конечные точки которого являются узлами, будут иметь целое число полудлин волн, помещающихся в ящик.

Стоячая волна (черная), изображенная как сумма двух распространяющихся волн, движущихся в противоположных направлениях (красная и синяя)

Стоячие волны

Стоячая волна — это волнообразное движение, которое остается на одном месте. Синусоидальная стоячая волна включает в себя неподвижные точки без движения, называемые узлами , а длина волны в два раза больше расстояния между узлами.

Верхний рисунок показывает три стоячие волны в ящике. Стенки ящика считаются требующими, чтобы волна имела узлы на стенках ящика (пример граничных условий ), тем самым определяя допустимые длины волн. Например, для электромагнитной волны, если ящик имеет идеально проводящие стенки, условие для узлов на стенках возникает, поскольку проводящие стенки не могут поддерживать тангенциальное электрическое поле, заставляя волну иметь нулевую амплитуду на стенке.

Стоячую волну можно рассматривать как сумму двух бегущих синусоидальных волн противоположно направленных скоростей. ^[8] Следовательно, длина волны, период и скорость волны связаны так же, как для бегущей волны. Например, скорость света можно определить из наблюдения стоячих волн в металлическом ящике, содержащем идеальный вакуум.

Математическое представление

Бегущие синусоидальные волны часто математически описываются через их скорость v (в направлении x), частоту f и длину волны λ следующим образом:

${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)}$

где y — значение волны в любой точке x и времени t , а A — амплитуда волны. Они также обычно выражаются через волновое число k (2π, умноженное на обратную величину длины волны) и угловую частоту ω (2π, умноженное на частоту) как:

${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(kx-\omega t\right)=A\cos \left(k(x-vt)\right)}$

в котором длина волны и волновое число связаны со скоростью и частотой следующим образом:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},}$

или

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.}$

Во второй форме, приведенной выше, фаза ( kx − ωt ) часто обобщается до ( k ⋅ r − ωt ) , путем замены волнового числа k на волновой вектор , который определяет направление и волновое число плоской волны в 3-пространстве , параметризованный вектором положения r . В этом случае волновое число k , величина k , все еще находится в той же связи с длиной волны, как показано выше, причем v интерпретируется как скалярная скорость в направлении волнового вектора. Первая форма, использующая обратную длину волны в фазе, не так легко обобщается на волну в произвольном направлении.

Распространены также обобщения на синусоиды других фаз и на комплексные экспоненты; см. плоская волна . Типичное соглашение об использовании косинусоидальной фазы вместо синусоидальной фазы при описании волны основано на том факте, что косинус является действительной частью комплексной экспоненты в волне.

${\displaystyle Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}.}$

Общие СМИ

Длина волны уменьшается в среде с более медленным распространением.

Рефракция: при попадании в среду, где ее скорость ниже, волна меняет направление.

Разделение цветов призмой (кликните для просмотра анимации, если она еще не воспроизводится)

Скорость волны зависит от среды, в которой она распространяется. В частности, скорость света в среде меньше, чем в вакууме , что означает, что одна и та же частота будет соответствовать более короткой длине волны в среде, чем в вакууме, как показано на рисунке справа.

Это изменение скорости при входе в среду вызывает рефракцию , или изменение направления волн, которые сталкиваются с границей раздела сред под углом. ^[9] Для электромагнитных волн это изменение угла распространения регулируется законом Снеллиуса .

Скорость волны в одной среде может отличаться от скорости в другой, но скорость обычно меняется с длиной волны. В результате изменение направления при входе в другую среду меняется с длиной волны.

Для электромагнитных волн скорость в среде определяется ее показателем преломления согласно уравнению

${\displaystyle v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},}$

где c — скорость света в вакууме, а n ( λ ₀ ) — показатель преломления среды на длине волны λ ₀ , причем последний измеряется в вакууме, а не в среде. Соответствующая длина волны в среде равна

${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.}$

Когда указываются длины волн электромагнитного излучения, обычно подразумевается длина волны в вакууме, если только длина волны специально не определена как длина волны в какой-то другой среде. В акустике, где среда необходима для существования волн, значение длины волны приводится для указанной среды.

Изменение скорости света в зависимости от длины волны известно как дисперсия и также отвечает за знакомое явление, при котором свет разделяется на составляющие цвета призмой . Разделение происходит, когда показатель преломления внутри призмы изменяется в зависимости от длины волны, поэтому волны разной длины распространяются с разной скоростью внутри призмы, заставляя их преломляться под разными углами. Математическое соотношение, описывающее, как скорость света в среде изменяется в зависимости от длины волны, известно как дисперсионное соотношение .

Неоднородные среды

Различные локальные длины волн от гребня к гребню в океанской волне, приближающейся к берегу ^[10]

Длина волны может быть полезной концепцией, даже если волна не является периодической в ​​пространстве. Например, в океанской волне, приближающейся к берегу, показанной на рисунке, входящая волна колеблется с переменной локальной длиной волны, которая частично зависит от глубины морского дна по сравнению с высотой волны. Анализ волны может быть основан на сравнении локальной длины волны с локальной глубиной воды. ^[10]

Синусоидальная волна, распространяющаяся в неоднородной среде с потерями

Волны, которые являются синусоидальными во времени, но распространяются через среду, свойства которой меняются в зависимости от положения (неоднородная среда ), могут распространяться со скоростью, которая меняется в зависимости от положения, и в результате могут не быть синусоидальными в пространстве. На рисунке справа показан пример. По мере замедления волны длина волны становится короче, а амплитуда увеличивается; после места максимального отклика короткая длина волны связана с большими потерями, и волна затухает.

Анализ дифференциальных уравнений таких систем часто выполняется приближенно, с использованием метода ВКБ (также известного как метод Лиувилля–Грина ). Метод интегрирует фазу через пространство, используя локальное волновое число , которое можно интерпретировать как указание «локальной длины волны» решения как функции времени и пространства. ^{[11] [12]} Этот метод рассматривает систему локально, как если бы она была однородной с локальными свойствами; в частности, локальная скорость волны, связанная с частотой, является единственным, что необходимо для оценки соответствующего локального волнового числа или длины волны. Кроме того, метод вычисляет медленно меняющуюся амплитуду для удовлетворения других ограничений уравнений или физической системы, таких как сохранение энергии в волне.

Кристаллы

Волну на линии атомов можно интерпретировать в соответствии с различными длинами волн.

Волны в кристаллических твердых телах не являются непрерывными, поскольку они состоят из колебаний дискретных частиц, расположенных в регулярной решетке. Это приводит к наложению спектров, поскольку одна и та же вибрация может рассматриваться как имеющая множество различных длин волн, как показано на рисунке. ^[13] Описания, использующие более одной из этих длин волн, излишни; принято выбирать самую длинную длину волны, которая соответствует явлению. Диапазон длин волн, достаточный для описания всех возможных волн в кристаллической среде, соответствует волновым векторам, ограниченным зоной Бриллюэна . ^[14]

Эта неопределенность длины волны в твердых телах важна при анализе волновых явлений, таких как энергетические полосы и колебания решетки . Она математически эквивалентна наложению сигнала, который дискретизируется через дискретные интервалы.

Более общие формы волн

Почти периодические волны на мелководье

Понятие длины волны чаще всего применяется к синусоидальным или почти синусоидальным волнам, поскольку в линейной системе синусоида является уникальной формой, которая распространяется без изменения формы — только с изменением фазы и потенциально с изменением амплитуды. ^[15] Длина волны (или, альтернативно, волновое число или волновой вектор ) является характеристикой волны в пространстве, которая функционально связана с ее частотой, как ограничено физикой системы. Синусоиды являются простейшими решениями бегущей волны , а более сложные решения могут быть построены путем суперпозиции .

В частном случае бездисперсионных и однородных сред волны, отличные от синусоид, распространяются с неизменной формой и постоянной скоростью. При определенных обстоятельствах волны неизменной формы также могут возникать в нелинейных средах; например, на рисунке показаны океанские волны на мелководье, которые имеют более острые гребни и более плоские впадины, чем у синусоиды, типичные для кноидальной волны , ^[16] бегущей волны, названной так потому, что она описывается эллиптической функцией Якоби m - го порядка, обычно обозначаемой как cn ( x ; m ) . ^[17] Океанские волны большой амплитуды с определенными формами могут распространяться без изменений из-за свойств нелинейной среды поверхностных волн. ^[18]

Длина волны периодической, но несинусоидальной формы.

Если бегущая волна имеет фиксированную форму, которая повторяется в пространстве или во времени, то это периодическая волна . ^[19] Такие волны иногда рассматриваются как имеющие длину волны, даже если они не являются синусоидальными. ^[20] Как показано на рисунке, длина волны измеряется между последовательными соответствующими точками на форме волны.

Волновые пакеты

Распространяющийся волновой пакет

Локализованные волновые пакеты , «всплески» волнового действия, где каждый волновой пакет движется как единое целое, находят применение во многих областях физики. Волновой пакет имеет огибающую , которая описывает общую амплитуду волны; внутри огибающей расстояние между соседними пиками или впадинами иногда называют локальной длиной волны . ^{[21] [22]} Пример показан на рисунке. В общем случае огибающая волнового пакета движется со скоростью, отличной от скорости составляющих его волн. ^[23]

Используя анализ Фурье , волновые пакеты можно разложить на бесконечные суммы (или интегралы) синусоидальных волн с различными волновыми числами или длинами волн. ^[24]

Луи де Бройль постулировал, что все частицы с определенным значением импульса p имеют длину волны λ = h / p , где h — постоянная Планка . Эта гипотеза легла в основу квантовой механики . В настоящее время эта длина волны называется длиной волны де Бройля . Например, электроны в дисплее ЭЛТ имеют длину волны де Бройля около10 ⁻¹³  м . Чтобы предотвратить распространение волновой функции такой частицы по всему пространству, де Бройль предложил использовать волновые пакеты для представления частиц, локализованных в пространстве. ^[25] Пространственное распространение волнового пакета и распространение волновых чисел синусоид , составляющих пакет, соответствуют неопределенностям положения и импульса частицы, произведение которых ограничено принципом неопределенности Гейзенберга . ^[24]

Интерференция и дифракция

Двухщелевая интерференция

Картина интенсивности света на экране для света, проходящего через две щели. Метки справа относятся к разнице длин пути от двух щелей, которые здесь идеализированы как точечные источники.

Когда синусоидальные формы волн складываются, они могут усиливать друг друга (конструктивная интерференция) или нейтрализовать друг друга (деструктивная интерференция) в зависимости от их относительной фазы. Это явление используется в интерферометре . Простым примером является эксперимент Юнга , в котором свет проходит через две щели . ^[26] Как показано на рисунке, свет проходит через две щели и падает на экран. Путь света к положению на экране различен для двух щелей и зависит от угла θ, который путь образует с экраном. Если предположить, что экран находится достаточно далеко от щелей (то есть s велико по сравнению с расстоянием между щелями d ), то пути почти параллельны, и разность путей просто равна d sin θ . Соответственно, условие для конструктивной интерференции: ^[27]

${\displaystyle d\sin \theta =m\lambda \ ,}$

где m — целое число, а для деструктивной интерференции это:

${\displaystyle d\sin \theta =(m+1/2)\lambda \ .}$

Таким образом, если известна длина волны света, то расстояние между щелями можно определить по интерференционной картине или полосам , и наоборот .

Для нескольких щелей шаблон выглядит следующим образом ^[28]

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

где q — число щелей, а g — постоянная решетки. Первый фактор, I ₁ , — это результат одной щели, который модулирует более быстро меняющийся второй фактор, зависящий от числа щелей и их расстояния. На рисунке I ₁ установлен на единицу, что является очень грубым приближением.

Эффект интерференции заключается в перераспределении света, поэтому энергия, содержащаяся в свете, не изменяется, а только там, где она проявляется. ^[29]

Дифракция на одной щели

Дифракционная картина двойной щели имеет огибающую одной щели .

Понятие разности хода и конструктивной или деструктивной интерференции, использованное выше для эксперимента с двумя щелями, применимо также к отображению одной щели света, перехваченного на экране. Главным результатом этой интерференции является распространение света из узкой щели в более широкое изображение на экране. Такое распределение волновой энергии называется дифракцией .

В зависимости от расстояния между источником и экраном различают два типа дифракции: дифракция Фраунгофера или дифракция в дальней зоне при больших расстояниях и дифракция Френеля или дифракция в ближней зоне при малых расстояниях.

При анализе одиночной щели учитывается ненулевая ширина щели, и каждая точка в апертуре берется как источник одного вклада в пучок света ( волны Гюйгенса ). На экране свет, приходящий из каждой точки внутри щели, имеет разную длину пути, хотя, возможно, и очень небольшую разницу. Следовательно, возникает интерференция.

В дифракционной картине Фраунгофера, достаточно далекой от одной щели, в приближении малых углов , разброс интенсивности S связан с положением x через квадратную функцию sinc : ^[30]

${\displaystyle S(u)=\mathrm {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2}\ ;}$ с ${\displaystyle u={\frac {xL}{\lambda R}}\ ,}$

где L — ширина щели, R — расстояние рисунка (на экране) от щели, а λ — длина волны используемого света. Функция S имеет нули, где u — ненулевое целое число, где находятся на значениях x с разделением, пропорциональным длине волны.

Разрешение, ограниченное дифракцией

Дифракция является фундаментальным ограничением разрешающей способности оптических приборов, таких как телескопы (включая радиотелескопы ) и микроскопы . ^[31] Для круглой апертуры пятно изображения, ограниченное дифракцией, известно как диск Эйри ; расстояние x в формуле дифракции с одной щелью заменяется радиальным расстоянием r , а синус заменяется на 2 J ₁ , где J _{1 —} функция Бесселя первого порядка . ^[32]

Разрешаемый пространственный размер объектов, наблюдаемых через микроскоп, ограничен в соответствии с критерием Рэлея , радиусом до первого нуля диска Эйри, размером, пропорциональным длине волны используемого света, и зависящим от числовой апертуры : ^[33]

${\displaystyle r_{Airy}=1.22{\frac {\lambda }{2\,\mathrm {NA} }}\ ,}$

где числовая апертура определяется как для θ, представляющего собой половину угла конуса лучей, принимаемых объективом микроскопа . ${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \;}$

Угловой размер центральной яркой части (радиус до первого нуля диска Эйри ) изображения, дифрагированного круглой апертурой, мера, наиболее часто используемая для телескопов и камер, составляет: [ ^34]

${\displaystyle \delta =1.22{\frac {\lambda }{D}}\ ,}$

где λ — длина волны, фокусируемой для получения изображения, D — диаметр входного зрачка системы формирования изображения в тех же единицах, а угловое разрешение δ — в радианах.

Как и в случае с другими дифракционными картинами, картина масштабируется пропорционально длине волны, поэтому более короткие длины волн могут привести к более высокому разрешению.

Длина субволны

Термин «субволновая длина» используется для описания объекта, имеющего одно или несколько измерений, меньших длины волны, с которой взаимодействует объект. Например, термин «оптическое волокно с субволновой длиной» означает оптическое волокно , диаметр которого меньше длины волны распространяющегося через него света.

Субволновая частица — это частица, которая меньше длины волны света, с которой она взаимодействует (см. Рэлеевское рассеяние ). Субволновые апертуры — это отверстия, которые меньше длины волны света, распространяющегося через них. Такие структуры применяются в необычной оптической передаче и нуль-модовых волноводах , а также в других областях фотоники .

Субволновая длина может также относиться к явлению, включающему объекты субволновой длины; например, субволновая визуализация .

Угловая длина волны

Связь между длиной волны, угловой длиной волны и другими свойствами волны.

Величина, связанная с длиной волны, — это угловая длина волны (также известная как приведенная длина волны ), обычно обозначаемая как ƛ («лямбда-черта» или перечеркнутая лямбда ). Она равна обычной длине волны, уменьшенной на коэффициент 2π ( ƛ = λ /2π ), с единицами СИ метр на радиан. Это величина, обратная угловому волновому числу ( k = 2π/ λ ). Обычно она встречается в квантовой механике, где используется в сочетании с приведенной постоянной Планка (символ  ħ , h-черта) и угловой частотой (символ  ω = 2π f ).

Смотрите также

• Спектр излучения
• Конверт (волны)
• Линии Фраунгофера – темные линии в солнечном спектре, традиционно используемые в качестве стандартных оптических эталонов длин волн.
• Индекс статей волны
• Измерение длины
• Спектральная линия
• Спектроскопия
• Спектр

Ссылки

1. Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 15–16. ISBN 0-201-11609-X.
2. Брайан Хилтон Флауэрс (2000). "§21.2 Периодические функции". Введение в численные методы в C++ (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 473. ISBN 0-19-850693-7.
3. Raymond A. Serway; John W. Jewett (2006). Principles of physics (4th ed.). Cengage Learning. стр. 404, 440. ISBN 0-534-49143-X.
4. А. А. Сонин (1995). Физика поверхности жидких кристаллов . Тейлор и Фрэнсис. стр. 17. ISBN 2-88124-995-7.
5. Кэцянь Чжан и Дэцзе Ли (2007). Электромагнитная теория для микроволн и оптоэлектроники. Springer. стр. 533. ISBN 978-3-540-74295-1.
6. Тео Купелис и Карл Ф. Кун (2007). В поисках Вселенной . Jones & Bartlett Publishers. стр. 102. ISBN 978-0-7637-4387-1. длина волны лямбда свет звуковая частота скорость волны.
7. Дэвид С. Кэссиди; Джеральд Джеймс Холтон; Флойд Джеймс Резерфорд (2002). Понимание физики. Биркхойзер. стр. 339 и далее . ISBN 0-387-98756-8.
8. Джон Ависон (1999). Мир физики. Нельсон Торнс. стр. 460. ISBN 978-0-17-438733-6.
9. Чтобы помочь воображению, этот изгиб волны часто сравнивают с аналогией колонны марширующих солдат, переходящих с твердой земли в грязь. См., например, Raymond T. Pierrehumbert (2010). Principles of Planetary Climate. Cambridge University Press. стр. 327. ISBN 978-0-521-86556-2.
10. Пол Р. Пинет (2009). оп. цит. Джонс и Бартлетт Обучение. п. 242. ИСБН 978-0-7637-5993-3.
11. Бишванат Чакраборти (2007). Принципы плазменной механики. New Age International. стр. 454. ISBN 978-81-224-1446-2.
12. Джеффри А. Хоган и Джозеф Д. Лейки (2005). Методы частоты времени и шкалы времени: адаптивные разложения, принципы неопределенности и выборка. Биркхойзер. стр. 348. ISBN 978-0-8176-4276-1.
13. См. рисунок 4.20 в A. Putnis (1992). Введение в минералогию . Cambridge University Press. стр. 97. ISBN 0-521-42947-1.и Рисунок 2.3 в Martin T. Dove (1993). Введение в динамику решетки (4-е изд.). Cambridge University Press. стр. 22. ISBN 0-521-39293-4.
14. Манидже Разеги (2006). Основы твердотельной инженерии (2-е изд.). Биркхойзер. стр. 165 и далее . ISBN 0-387-28152-5.
15. См. Лорд Рэлей (1890). «Теория волн». Encyclopaedia Britannica (9-е изд.). The Henry G Allen Company. стр. 422.
16. Валерий Н. Пилипчук (2010). "Рисунок 4.4: Переход от квазигармонической к кноидальной волне". Нелинейная динамика: между линейными и ударными пределами . Springer. стр. 127. ISBN 978-3642127984.
17. Андрей Луду (2012). "§18.3 Специальные функции". Нелинейные волны и солитоны на контурах и замкнутых поверхностях (2-е изд.). Springer. стр. 469 и далее . ISBN 978-3642228940.
18. Альфред Осборн (2010). "Глава 1: Краткая история и обзор нелинейных водных волн". Нелинейные океанские волны и обратное преобразование рассеяния . Academic Press. стр. 3 и далее . ISBN 978-0-12-528629-9.
19. Александр Макферсон (2009). «Волны и их свойства». Введение в макромолекулярную кристаллографию (2-е изд.). Wiley. стр. 77. ISBN 978-0-470-18590-2.
20. Эрик Стаде (2011). Анализ Фурье. John Wiley & Sons. стр. 1. ISBN 978-1-118-16551-5.
21. Питер Р. Холланд (1995). Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации квантовой механики де Бройля-Бома. Cambridge University Press. стр. 160. ISBN 978-0-521-48543-2.
22. Джеффри Купер (1998). Введение в уравнения с частными производными с помощью MATLAB. Springer. стр. 272. ISBN 0-8176-3967-5. Локальная длина волны λ рассеивающейся волны в два раза больше расстояния между двумя последовательными нулями. ... локальная длина волны и локальное волновое число k связаны соотношением k = 2π / λ .
23. AT Fromhold (1991). "Решения волнового пакета". Квантовая механика для прикладной физики и инженерии (переиздание Academic Press 1981 ed.). Courier Dover Publications. стр. 59 и далее . ISBN 0-486-66741-3. (стр. 61) ... отдельные волны движутся медленнее, чем пакет, и поэтому проходят обратно через пакет по мере его продвижения
24. См., например, рис. 2.8–2.10 в Joy Manners (2000). «Принцип неопределенности Гейзенберга». Квантовая физика: Введение . CRC Press. стр. 53–56. ISBN 978-0-7503-0720-8.
25. Мин Чианг Ли (1980). "Интерференция электронов". В L. Marton; Клэр Мартон (ред.). Достижения в электронике и электронной физике . Т. 53. Academic Press. стр. 271. ISBN 0-12-014653-3.
26. Гринфилд Слудер и Дэвид Э. Вольф (2007). "IV. Эксперимент Юнга: двухщелевая интерференция". Цифровая микроскопия (3-е изд.). Academic Press. стр. 15. ISBN 978-0-12-374025-0.
27. Halliday; Resnick; Walker (2008). "§35-4 Эксперимент по интерференции Юнга". Основы физики (Расширенное 8-е изд.). Wiley-India. стр. 965. ISBN 978-81-265-1442-7.
28. Кордт Грипенкерль (2002). «§9.8.2 Дифракция на решетке». У Джона В. Харриса; Уолтер Бененсон; Хорст Штекер; Хольгер Лутц (ред.). Справочник по физике . Спрингер. стр. 307 и далее . ISBN 0-387-95269-1.
29. Дуглас Б. Мерфи (2002). Основы световой микроскопии и электронной визуализации. Wiley/IEEE. стр. 64. ISBN 0-471-23429-X.
30. Джон С. Стовер (1995). Оптическое рассеяние: измерение и анализ (2-е изд.). SPIE Press. стр. 64. ISBN 978-0-8194-1934-7.
31. Грэм Саксби (2002). «Дифракционное ограничение». Наука формирования изображений . CRC Press. стр. 57. ISBN 0-7503-0734-X.
32. Грант Р. Фаулз (1989). Введение в современную оптику. Courier Dover Publications. С. 117–120. ISBN 978-0-486-65957-2.
33. Джеймс Б. Поули (1995). Справочник по биологической конфокальной микроскопии (2-е изд.). Springer. стр. 112. ISBN 978-0-306-44826-3.
34. Рэй Н. Уилсон (2004). Оптика отражающего телескопа I: Базовая теория конструкции и ее историческое развитие. Springer. стр. 302. ISBN 978-3-540-40106-3.

Внешние ссылки

• Преобразование: длина волны в частоту и наоборот – звуковые волны и радиоволны
• Учебный материал для детей 14–16 лет по звуку, включая длину волны. Архивировано 13 марта 2012 г. на Wayback Machine.
• Видимый электромагнитный спектр отображается в веб-цветах с соответствующими длинами волн