Фок государство

Число-состояние в квантовой механике

В квантовой механике фоковское состояние или числовое состояние — это квантовое состояние , являющееся элементом фоковского пространства с четко определенным числом частиц (или квантов ). Эти состояния названы в честь советского физика Владимира Фока . Фоковские состояния играют важную роль в формулировке вторичного квантования квантовой механики.

Представление частиц было впервые подробно рассмотрено Полем Дираком для бозонов и Паскуалем Джорданом и Юджином Вигнером для фермионов . ^{[1] : 35} Фоковские состояния бозонов и фермионов подчиняются полезным соотношениям относительно операторов рождения и уничтожения пространства Фока .

Определение

Одно определяет многочастичное состояние N невзаимодействующих идентичных частиц, записывая состояние как сумму тензорных произведений N одночастичных состояний. Кроме того, в зависимости от целочисленности спина частиц , тензорные произведения должны быть чередующимися (антисимметричными) или симметричными произведениями базового одночастичного гильбертова пространства . А именно:

• Фермионы , имеющие полуцелый спин и подчиняющиеся принципу исключения Паули , соответствуют антисимметричным тензорным произведениям.
• Бозоны , обладающие целым спином (и не подчиняющиеся принципу исключения), соответствуют симметричным тензорным произведениям.

Если число частиц является переменным, то пространство Фока строится как прямая сумма тензорного произведения гильбертовых пространств для каждого числа частиц . В пространстве Фока можно указать то же самое состояние в новой нотации, нотации числа занятости, указав число частиц в каждом возможном одночастичном состоянии.

Пусть будет ортонормированным базисом состояний в базовом одночастичном гильбертовом пространстве. Это индуцирует соответствующий базис пространства Фока, называемый «базисом чисел занятости». Квантовое состояние в пространстве Фока называется состоянием Фока, если оно является элементом базиса чисел занятости. ${\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$

Состояние Фока удовлетворяет важному критерию: для каждого i состояние является собственным состоянием оператора числа частиц, соответствующего i -му элементарному состоянию k _i . Соответствующее собственное значение дает число частиц в состоянии. Этот критерий почти определяет состояния Фока (необходимо дополнительно выбрать фазовый множитель). ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

Заданное состояние Фока обозначается как . В этом выражении обозначает число частиц в i-м состоянии k _i , а оператор числа частиц для i-го состояния , действует на состояние Фока следующим образом: ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$ ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$

Следовательно, состояние Фока является собственным состоянием числового оператора с собственным значением . ^{[2] : 478} ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$

Состояния Фока часто образуют наиболее удобный базис пространства Фока. Элементы пространства Фока, которые являются суперпозициями состояний с различным числом частиц (и, таким образом, не являются собственными состояниями оператора числа), не являются состояниями Фока. По этой причине не все элементы пространства Фока называются «состояниями Фока».

Если мы определим оператор совокупного числа частиц как ${\textstyle {\widehat {N}}}$

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},}$

Определение состояния Фока гарантирует, что дисперсия измерения , т. е. измерение числа частиц в состоянии Фока, всегда возвращает определенное значение без флуктуации. ${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$

Пример с использованием двух частиц

Для любого конечного состояния , любого фоковского состояния двух идентичных частиц, заданных как , и любого оператора , мы имеем следующее условие неразличимости : ^{[3] : 191} ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$.

Итак, мы должны иметь ${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

где для бозонов и для фермионов . Поскольку и произвольны, можно сказать, ${\displaystyle e^{i\delta }=+1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$для бозонов и

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$для фермионов. ^{[3] : 191}

Обратите внимание, что оператор числа не различает бозоны и фермионы; на самом деле, он просто подсчитывает частицы без учета их типа симметрии. Чтобы почувствовать разницу между ними, нам нужны другие операторы, а именно операторы создания и уничтожения .

Бозонное состояние Фока

Бозоны , которые являются частицами с целым спином, следуют простому правилу: их составное собственное состояние симметрично ^[4] при действии оператора обмена . Например, в двухчастичной системе в представлении тензорного произведения мы имеем . ${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

Операторы рождения и уничтожения бозонов

Мы должны быть в состоянии выразить то же самое симметричное свойство в этом новом представлении пространства Фока. Для этого мы вводим неэрмитовы бозонные операторы рождения и уничтожения , ^[4] обозначаемые и соответственно. Действие этих операторов на состояние Фока задается следующими двумя уравнениями: ${\displaystyle b^{\dagger }}$ ${\displaystyle b}$

• Оператор создания : ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• Оператор уничтожения : ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^[4]

Операция операторов создания и уничтожения над бозонными состояниями Фока.

Неэрмитовость операторов создания и уничтожения

Операторы создания и уничтожения бозонного состояния Фока не являются эрмитовыми операторами . ^[4]

Доказательство того, что операторы рождения и уничтожения не являются эрмитовыми.

Для состояния Фока, , ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}}$$

Поэтому ясно, что сопряженный оператор рождения (уничтожения) не переходит в себя. Следовательно, они не являются эрмитовыми операторами.

Но сопряженным оператором создания (уничтожения) является оператор уничтожения (создания). ^{[5] : 45}

Идентификаторы операторов

Соотношения коммутации операторов рождения и уничтожения в бозонной системе имеют вид

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^[4]

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^[4]

где — коммутатор , а — дельта Кронекера . ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

N бозонных базисных состояний

Действия по некоторым конкретным заявлениям Фока

• Для состояния вакуума (ни одна частица не находится ни в каком состоянии), выраженного как , имеем: ${\displaystyle |0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle =|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...1_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  и, . ^[4] То есть l -й оператор рождения создает частицу в l -м состоянии k _l , а вакуумное состояние является неподвижной точкой операторов уничтожения, поскольку нет частиц, которые можно было бы уничтожить. ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{l}}|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},0_{\mathbf {k} _{3}}...0_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle =0}$
• Мы можем сгенерировать любое состояние Фока, воздействуя на состояние вакуума с соответствующим числом операторов создания :

  ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}}...\rangle ={\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{1}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{1}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{1}}!}}}{\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{2}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{2}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{2}}!}}}...|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},...\rangle }$

• Для одномодового состояния Фока, выраженного как, , ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} }\rangle }$
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }^{\dagger }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }+1}}|n_{\mathbf {k} }+1\rangle }$и,
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }}}|n_{\mathbf {k} }-1\rangle }$

Действие числовых операторов

Числовые операторы для бозонной системы определяются как , где ^[4] ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$

Числовые операторы являются эрмитовыми операторами.

Симметричное поведение бозонных состояний Фока

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения гарантируют, что бозонные фоковские состояния имеют соответствующее симметричное поведение при обмене частицами. Здесь обмен частицами между двумя состояниями (скажем, l и m ) осуществляется путем уничтожения частицы в состоянии l и создания частицы в состоянии m . Если мы начинаем с фоковского состояния и хотим переместить частицу из состояния в состояние , то мы оперируем фоковским состоянием следующим образом: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$ ${\displaystyle k_{l}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}$

Используя коммутационное соотношение, которое мы имеем, ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}}$

Таким образом, бозонное состояние Фока ведет себя симметрично при работе оператора обмена.

• 
  Функция Вигнера ${\displaystyle |0\rangle }$
• 
  Функция Вигнера ${\displaystyle |1\rangle }$
• 
  Функция Вигнера ${\displaystyle |2\rangle }$
• 
  Функция Вигнера ${\displaystyle |3\rangle }$
• 
  Функция Вигнера ${\displaystyle |4\rangle }$

Фермионное состояние Фока

Операторы рождения и уничтожения фермионов

Чтобы сохранить антисимметричное поведение фермионов , для фермионных состояний Фока мы вводим неэрмитовы операторы рождения и уничтожения фермионов ^[4] , определяемые для фермионного состояния Фока как: ^[4] ${\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

• Оператор создания действует как: ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• Оператор уничтожения действует как: ${\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$

Эти два действия выполняются антисимметрично, что мы обсудим позже.

Идентификаторы операторов

Антикоммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в фермионной системе имеют вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}}$ ^[4]

где — антикоммутатор , а — дельта Кронекера . Эти антикоммутационные соотношения можно использовать для демонстрации антисимметричного поведения фермионных фоковских состояний . ${\displaystyle {\{\ ,\ \}}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Действие числовых операторов

Числовые операторы для фермионов задаются как . ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$^[4]

Максимальное количество оккупаций

Действие числового оператора, а также операторов создания и уничтожения может показаться таким же, как и у бозонных, но реальный поворот происходит из максимального числа заполнения каждого состояния в фермионном состоянии Фока. Расширяя 2-частичный фермионный пример выше, мы сначала должны убедиться, что фермионное состояние Фока получается путем применения определенной суммы операторов перестановки к тензорному произведению собственных элементов следующим образом: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}}$^{[7] : 16}

Этот определитель называется определителем Слейтера . ^{[ требуется ссылка ]} Если бы какие-либо из состояний отдельных частиц были одинаковыми, две строки определителя Слейтера были бы одинаковыми, и, следовательно, определитель был бы равен нулю. Следовательно, два идентичных фермиона не должны занимать одно и то же состояние (утверждение принципа исключения Паули ). Следовательно, число заполнения любого отдельного состояния равно 0 или 1. Собственное значение, связанное с фермионным состоянием Фока, должно быть равно 0 или 1. ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$

N фермионных базисных состояний | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle }

Действия по некоторым конкретным заявлениям Фока

Операция операторов рождения и уничтожения над фермионными состояниями Фока.

• Для одномодового фермионного состояния Фока, выраженного как , ${\displaystyle \left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  и , поскольку максимальное число заполнения любого состояния равно 1. Не более 1 фермиона может занимать одно и то же состояние, как указано в принципе исключения Паули . ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$
• Для одномодового фермионного состояния Фока, выраженного как , ${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  и , так как число частиц не может быть меньше нуля. ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$
• Для многомодового фермионного состояния Фока, выражаемого как, ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{\alpha }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...,n_{\mathbf {k} _{\beta }},1-n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$,

  где называется струной Джордана-Вигнера , которая зависит от упорядочения участвующих одночастичных состояний и сложения фермионных чисел заполнения всех предыдущих состояний. ^{[5] : 88} ${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Антисимметричное поведение фермионного состояния Фока

Антисимметричное поведение фермионных состояний под действием оператора обмена учитывается антикоммутационными отношениями. Здесь обмен частицами между двумя состояниями осуществляется путем уничтожения одной частицы в одном состоянии и создания другой в другом. Если мы начинаем с состояния Фока и хотим переместить частицу из состояния в состояние , то мы оперируем состоянием Фока следующим образом: ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$ ${\displaystyle k_{l}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}$

Используя антикоммутационное соотношение, имеем

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle }$

но, $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}$$

Таким образом, фермионные состояния Фока являются антисимметричными относительно действия операторов обмена частицами.

Состояния Фока в общем случае не являются собственными энергетическими состояниями.

В теории вторичного квантования функция плотности Гамильтона определяется выражением

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^{[3] : 189}

Полный гамильтониан определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

В свободной теории Шредингера, ^{[3] : 189}

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

и

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

и

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$,

где — оператор уничтожения. ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

Только для невзаимодействующих частиц и коммутируют; в общем случае они не коммутируют. Для невзаимодействующих частиц, ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Поэтому, в общем случае, состояния Фока не являются энергетическими собственными состояниями системы.

Вакуумные флуктуации

Состояние вакуума или является состоянием с наименьшей энергией, и в этом состоянии ожидаемые значения и обращаются в нуль: ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }}$

Электрические и магнитные поля, а также векторный потенциал имеют модовое разложение одного и того же общего вида:

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}x-\omega t}+h.c.}$

Таким образом, легко видеть, что ожидаемые значения этих полевых операторов обращаются в нуль в вакуумном состоянии:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

Однако можно показать, что ожидаемые значения квадрата этих операторов поля не равны нулю. Таким образом, в поле существуют флуктуации около нулевого ансамблевого среднего. Эти вакуумные флуктуации ответственны за множество интересных явлений, включая сдвиг Лэмба в квантовой оптике.

Многомодовые состояния Фока

В многомодовом поле каждый оператор создания и уничтожения действует на свою собственную моду. Поэтому и будет действовать только на . Поскольку операторы, соответствующие разным модам, действуют в разных подпространствах гильбертова пространства, все поле является прямым произведением по всем модам: ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$ ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$ ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Операторы создания и уничтожения действуют на многомодовое состояние, только повышая или понижая числовое состояние своего собственного режима:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

Мы также определяем общий числовой оператор для поля, который представляет собой сумму числовых операторов каждой моды:

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

Многомодовое состояние Фока является собственным вектором оператора полного числа, собственное значение которого является полным числом заполнения всех мод.

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

В случае невзаимодействующих частиц числовой оператор и гамильтониан коммутируют друг с другом, и, следовательно, многомодовые состояния Фока становятся собственными состояниями многомодового гамильтониана.

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Источник состояния одиночного фотона

Одиночные фотоны обычно генерируются с использованием одиночных излучателей (атомов, ионов, молекул, азотно-вакансионных центров ^[8] , квантовых точек ^[9] ). Однако эти источники не всегда очень эффективны, часто представляют низкую вероятность фактического получения одиночного фотона по требованию; и часто сложны и непригодны для использования вне лабораторных условий.

Обычно используются другие источники, которые преодолевают эти проблемы за счет недетерминированного поведения. Объявленные источники одиночных фотонов являются вероятностными источниками двух фотонов, из которых пара разделяется, и обнаружение одного фотона объявляет о наличии оставшегося. Эти источники обычно полагаются на оптическую нелинейность некоторых материалов, таких как периодически поляризованный ниобат лития ( спонтанное параметрическое понижение частоты ) или кремний (спонтанное четырехволновое смешение ), например.

Неклассическое поведение

P-представление Глаубера –Сударшана состояний Фока показывает, что эти состояния являются чисто квантово-механическими и не имеют классического аналога. ^{[ Необходимое разъяснение ]} этих состояний в представлении является '-й производной дельта-функции Дирака и, следовательно, не классическим распределением вероятностей. ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$ ${\displaystyle 2n}$

Смотрите также

• Когерентные состояния
• предел Гейзенберга
• Неклассический свет

Ссылки

1. Фридрихс, К. О. (1953). Математические аспекты квантовой теории полей . Interscience Publishers. ASIN  B0006ATGK4.
2. Мандель, Вольф (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Cambridge University Press. ISBN 0521417112.
3. Гросс, Франц (1999). Релятивистская квантовая механика и теория поля . Wiley-VCH. ISBN 0471353868.
4. «Конспект лекций по квантовой механике 1 об идентичных частицах, TIFR, Мумбаи» (PDF) .
5. Altland, Alexander; Simons, Ben (2006). Теория поля конденсированного состояния. Cambridge University Press. ISBN 0521769752.
6. Bruus, Flensberg (2003). Многочастичная квантовая теория в физике конденсированных сред: Введение . OUP Oxford. ISBN 0198566336.
7. Schwabl, Hilton, Lahee (2008). Advanced Quantum Mechanics . Springer. ISBN 978-3540850618.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. C. Kurtsiefer, S. Mayer, P. Zarda, Patrick и H. Weinfurter, (2000), "Стабильный твердотельный источник одиночных фотонов", Phys. Rev. Lett. 85 (2) 290--293, doi 10.1103/PhysRevLett.85.290
9. C. Santori, M. Pelton, G. Solomon, Y. Dale и Y. Yamamoto (2001), "Инициированные одиночные фотоны из квантовой точки", Phys. Rev. Lett. 86 (8):1502--1505 DOI 10.1103/PhysRevLett.86.1502

Внешние ссылки

• Владан Вулетич из Массачусетского технологического института использовал ансамбль атомов для создания источника состояния Фока (он же одиночный фотон) (PDF)
• Создайте и измерьте состояние одного фотона (состояние Фока) с помощью интерактивного эксперимента QuantumLab