Число Аббе

Свойство дисперсии материала

В оптике и конструкции линз число Аббе , также известное как число V или сужение прозрачного материала , является приблизительной мерой дисперсии материала (изменение показателя преломления в зависимости от длины волны), причем высокие значения V указывают на низкую дисперсию. Он назван в честь Эрнста Аббе (1840–1905), немецкого физика, который его определил. Термин V-число не следует путать с нормированной частотой в волокнах .

Изменение показателя преломления для флинт-стекла SF11, боросиликатного кронного стекла BK7 и плавленого кварца, а также расчет двух чисел Аббе для SF11.

Число Аббе ^[1] материала определяется как ${\displaystyle V_{\mathsf {d}}\ ,}$

${\displaystyle V_{\mathsf {d}}\equiv {\frac {n_{\mathsf {d}}-1}{\ n_{\mathsf {F}}-n_{\mathsf {C}}\ }}\ ,}$

где и – показатели преломления материала на длинах волн фраунгоферовских спектральных линий C, d и F (656,3  нм , 587,56 нм и 486,1 нм соответственно). Эта формулировка применима только к человеческому видению . За пределами этого диапазона требуется использование различных спектральных линий. Для невидимых спектральных линий чаще используется термин «V-число». Более общая формулировка определяется как: ${\displaystyle \ n_{\mathsf {C}}\ ,}$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {d}}\ ,}$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {F}}\ }$

${\displaystyle V\equiv {\frac {n_{\mathsf {center}}-1}{n_{\mathsf {short}}-n_{\mathsf {long}}}},}$

где и – показатели преломления материала на трех разных длинах волн. Индекс самой короткой длины волны равен индексу самой длинной волны ${\displaystyle \ n_{\mathsf {short}}\ ,}$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {center}}\ ,}$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {long}}\ ,}$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {short}}\ ,}$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {long}}~.}$

Числа Аббе используются для классификации стекла и других оптических материалов по их цветности . Например, кремневые стекла с более высокой дисперсией имеют относительно небольшие числа Аббе , тогда как кронные стекла с более низкой дисперсией имеют большие числа Аббе. Значения варьируются от менее 25 для очень плотных кремневых стекол, около 34 для поликарбонатных пластиков, до 65 для обычных кронных стекол и от 75 до 85 для некоторых флюоритовых и фосфатных кронных стекол. ${\displaystyle \ V<55\ }$ ${\displaystyle \ V_{\mathsf {d}}\ }$

Большая часть кривой чувствительности человеческого глаза к длине волны, показанной здесь, заключена в скобки с эталонными длинами волн числа Аббе: 486,1 нм (синий) и 656,3 нм (красный).

Числа Аббе используются при проектировании ахроматических линз , поскольку их обратная величина пропорциональна дисперсии (наклон показателя преломления в зависимости от длины волны) в диапазоне длин волн, где человеческий глаз наиболее чувствителен (см. график). Для различных диапазонов длин волн или для более высокой точности характеристики цветности системы (например, при проектировании апохроматов ) используется полное дисперсионное соотношение (показатель преломления как функция длины волны).

Диаграмма Аббе

Диаграмма Аббе, также известная как «стеклянная вуаль», отображает зависимость числа Аббе от показателя преломления для ряда различных стекол (красные точки). Стекла классифицируются с использованием буквенно-цифрового кода Schott Glass, чтобы отразить их состав и положение на диаграмме.

Влияние добавок отдельных компонентов стекла на число Аббе конкретного основного стекла. ^[2]

Диаграмма Аббе , также называемая «стеклянной вуалью», создается путем построения графика зависимости числа Аббе материала от его показателя преломления. Затем стекла можно классифицировать и выбирать в соответствии с их положением на диаграмме. Это может быть буквенно-цифровой код, используемый в каталоге Schott Glass , или шестизначный код стекла . ${\displaystyle \ V_{\mathsf {d}}\ }$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {d}}~.}$

Числа Аббе очков вместе с их средними показателями преломления используются при расчете необходимой преломляющей силы элементов ахроматических линз с целью компенсации хроматической аберрации первого порядка. Эти два параметра, которые входят в уравнения для расчета ахроматических дублетов, в точности соответствуют диаграмме Аббе.

Из-за сложности и неудобства изготовления линий натрия и водорода часто заменяют альтернативные определения числа Аббе ( ISO 7944). ^[3] Например, вместо стандартного определения, приведенного выше, в котором используется изменение показателя преломления между линиями водорода F и C , в качестве альтернативной меры используется индекс «e» для линии e ртути по сравнению с F 'и кадмия и Линии C'

${\displaystyle V_{\mathsf {e}}={\frac {n_{\mathsf {e}}-1}{\ n_{\mathsf {F'}}-n_{\mathsf {C'}}\ }}~.}$

Этот альтернативный вариант учитывает разницу между показателями преломления синего (C') и красного (F') кадмия на длинах волн 480,0 и 643,8 нм по сравнению с e-линией ртути на длине волны 546,073 нм, все из которых близки, и их несколько легче производить. чем линии C, F и e. Аналогичным образом можно использовать и другие определения; В следующей таблице перечислены стандартные длины волн, на которых обычно определяется, включая используемые стандартные индексы . ^[4] ${\displaystyle \ n_{\mathsf {e}}\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$

Вывод

Начиная с уравнения Lensmaker, мы получаем уравнение тонкой линзы , опуская небольшой член, который ^{учитывает толщину линзы} : ${\displaystyle \ d\ }$

${\displaystyle P={\frac {1}{\ f~}}=(n-1){\Biggl [}{\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ (n-1)\ d~}{\ n\ R_{1}R_{2}\ }}{\Biggr ]}\approx (n-1)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ ,}$

когда ${\displaystyle d\ll {\sqrt {\ R_{1}R_{2}\ }}~.}$

Изменение преломляющей способности между двумя длинами волн определяется выражением ${\displaystyle \ P\ }$ ${\displaystyle \ \lambda _{\mathsf {short}}\ }$ ${\displaystyle \ \lambda _{\mathsf {long}}\ }$

${\displaystyle \Delta P=P_{\mathsf {short}}-P_{\mathsf {\ \!long}}=(n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }})\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ ,}$

где и — показатели преломления коротковолнового и длинноволнового диапазона соответственно, а ниже — для центра. ${\displaystyle \ n_{\mathsf {s}}\ }$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {\ell }}\ }$ ${\displaystyle \ n_{\mathsf {c}}\ ,}$

Разность мощностей может быть выражена относительно мощности на центральной длине волны ( ) ${\displaystyle \ \lambda _{\mathsf {center}}\ }$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {c}}\ =(n_{\mathsf {c}}-1)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\,;}$

умножив, разделив и перегруппировав, получим ${\displaystyle \ n_{\mathsf {c}}-1\ }$

${\displaystyle \Delta P=\left(n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }}\right)\left({\frac {\ n_{\mathsf {c}}-1\ }{n_{\mathsf {c}}-1}}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)=\left({\frac {\ \ n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }}\ }{n_{\mathsf {c}}-1}}\right)P_{\mathsf {c}}={\frac {\ P_{\mathsf {c}}\ }{V_{\mathsf {c}}}}~.}$

Относительное изменение обратно пропорционально ${\displaystyle \ V_{\mathsf {c}}\ :}$

${\displaystyle {\frac {\ \Delta P\ }{P_{\mathsf {c}}}}={\frac {1}{\ V_{\mathsf {c}}\ }}~.}$

Смотрите также

• Призма Аббе
• Рефрактометр Аббе
• Расчет свойств стекла , включая число Аббе
• Код стекла
• Уравнение Селлмейера , более полное и физически обоснованное моделирование дисперсии.

Рекомендации

1. Свойства оптического стекла. Серия Шотта о стекле и стеклокерамике. Шотт Гласс . 1998. doi : 10.1007/978-3-642-57769-7. ISBN 978-3-642-63349-2.
2. Флюгель, Александр (07 декабря 2007 г.). «Расчёт очков по числу Аббе». Статистический расчет и определение свойств стекла (glassproperties.com) . Проверено 16 января 2022 г.
3. Мейстер, Дэррил (12 апреля 2010 г.). Понимание эталонных длин волн (PDF) . opticampus.opti.vision (памятка). Карл Цейсс Видение. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 13 марта 2013 г.
4. Пай, Л.Д.; Фрешетт, В.Д.; Крейдл, Нью-Джерси (1977). Боратные очки . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Пленум Пресс.

Внешние ссылки

• График Аббе и данные для 356 стаканов из Охары, Хойи и Шотта.