Число Хегнера

Концепция алгебраической теории чисел

В теории чисел число Хигнера ( как его назвали Конвей и Гай ) — это положительное целое число без квадратов d такое , что мнимое квадратичное поле имеет номер класса 1. Эквивалентно, кольцо целых алгебраических чисел имеет уникальную факторизацию . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$

Определение таких чисел является частным случаем проблемы чисел классов , и они лежат в основе нескольких ярких результатов в теории чисел.

Согласно теореме (Бейкера–) Штарка–Хигнера существует ровно девять чисел Хигнера:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 и 163. (последовательность A003173 в OEIS )

Этот результат был выдвинут Гауссом и доказан с небольшими ошибками Куртом Хигнером в 1952 году. Алан Бейкер и Гарольд Старк независимо доказали этот результат в 1966 году, а Старк далее указал, что пробел в доказательстве Хигнера был незначительным. ^[2]

Полином Эйлера, порождающий простые числа

Полином Эйлера , порождающий простые числа , который дает (различные) простые числа для n  = 0, ..., 39, связан с числом Хегнера 163 = 4 · 41 - 1. $${\displaystyle n^{2}+n+41,}$$

Рабинович ^[3] доказал, что это дает простые числа тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратичного уравнения является отрицательным числом Хегнера. $${\displaystyle n^{2}+n+p}$$ ${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$ ${\displaystyle 1-4p}$

(Обратите внимание, что дает , поэтому максимально.) ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p-2}$

1, 2 и 3 не имеют требуемой формы, поэтому работающими числами Хигнера являются 7, 11, 19, 43, 67, 163, что дает простые производящие функции формы Эйлера для 2, 3, 5, 11, 17, 41; эти последние числа Ф. Ле Лионне назвал счастливыми числами Эйлера . ^[4]

Почти целые числа и константа Рамануджана

Константа Рамануджана — это трансцендентное число ^[5] , которое является почти целым числом , поскольку оно очень близко к целому числу : ^[6] ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ $${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.}$$

Это число было открыто в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом . ^[7] В первоапрельской статье 1975 года в журнале Scientific American ^[8] обозреватель «Математических игр» Мартин Гарднер сделал ложное утверждение, что число на самом деле было целым числом и что индийский математический гений Шриниваса Рамануджан предсказал его - следовательно, его имя.

Это совпадение объясняется комплексным умножением и q -разложением j -инварианта .

Деталь

Далее j(z) обозначает j-инвариант комплексного числа z. Короче говоря, является целым числом, поскольку  d является числом Хигнера и через q -разложение. ${\displaystyle \textstyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)}$ $${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744}$$

Если это квадратичное иррациональное число, то его j -инвариант является целым алгебраическим числом степени , номер класса и минимальный (монический целочисленный) многочлен, которому он удовлетворяет, называется «многочленом класса Гильберта». Таким образом, если мнимое квадратичное расширение имеет номер класса 1 (поэтому d — число Хигнера), j -инвариант является целым числом. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle \left|\mathrm {Cl} {\bigl (}\mathbf {Q} (\tau ){\bigr )}\right|}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$

q -разложение j , с его разложением в ряд Фурье, записанным как ряд Лорана через , начинается как: ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ $${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}$$

Коэффициенты асимптотически растут, а коэффициенты младшего порядка растут медленнее, чем , поэтому для j очень хорошо аппроксимируется своими первыми двумя членами. Установка дает Теперь так, Или, где линейный член ошибки, объясняющий, почему находится примерно в пределах указанного выше целого числа. ${\displaystyle c_{n}}$ $${\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O{\bigl (}\ln(n){\bigr )},}$$ ${\displaystyle 200\,000^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}}$ ${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}$ $${\displaystyle q=-e^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad \therefore \quad {\frac {1}{q}}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}.}$$ $${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=\left(-640\,320\right)^{3},}$$ $${\displaystyle \left(-640\,320\right)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}$$ $${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}$$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$

Формулы Пи

Братья Чудновские в 1987 году обнаружили, что для доказательства используется тот факт, что аналогичные формулы см. в ряду Рамануджана – Сато . $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},}$$ $${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.}$$

Другие числа Хегнера

Для четырех наибольших чисел Хигнера получаются следующие аппроксимации ^{[9] .} $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$$

Альтернативно, ^[10] где причина квадратов связана с определенными рядами Эйзенштейна . Для чисел Хигнера невозможно получить почти целое число; даже не примечателен. ^[11] Целочисленные j -инварианты хорошо факторизуемы, что следует из вида $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color {white}0}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d<19}$ ${\displaystyle d=19}$

$${\displaystyle 12^{3}\left(n^{2}-1\right)^{3}=\left(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1)\right)^{3},}$$

и фактор как, $${\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}-96^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,}-960^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}-5\,280^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640\,320^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}}$$

Эти трансцендентные числа , помимо того, что они точно аппроксимируются целыми числами (которые являются просто алгебраическими числами степени 1), могут быть точно аппроксимированы алгебраическими числами степени 3, ^[12] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}}$$

Корни кубик могут быть точно заданы частными эта-функции Дедекинда η ( τ ), модулярной функции , включающей корень 24-й степени и которая объясняет число 24 в приближении. Их также можно близко аппроксимировать алгебраическими числами степени 4, ^[13] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}$$

Если обозначает выражение в скобках (например , ), оно удовлетворяет соответственно уравнениям четвертой степени ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}}$$

Обратите внимание на повторное появление целых чисел , а также на тот факт, что они с соответствующей дробной степенью являются именно j -инвариантами. ${\displaystyle n=3,9,21,231}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {96}{24}}\right)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19\right)&=96^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {960}{24}}\right)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43\right)&=960^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}\right)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67\right)&=5\,280^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}\right)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163\right)&=640\,320^{2}\end{aligned}}}$$

Аналогично для алгебраических чисел степени 6: $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$$

где x s задаются соответственно соответствующим корнем секстических уравнений , $${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}$$

при этом снова появляются j -инварианты. Эти секстики не только алгебраичны, они также разрешимы в радикалах , поскольку они разлагаются на две кубики по расширению (с первым разложением далее на два квадратика ). Эти алгебраические приближения могут быть точно выражены через эта-факторы Дедекинда. В качестве примера пусть тогда ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$$

где коэффициенты эта — это алгебраические числа, приведенные выше.

Номера класса 2

Три числа 88, 148, 232, для которых мнимое квадратичное поле имеет номер класса 2, не являются числами Хегнера, но обладают некоторыми схожими свойствами в терминах почти целых чисел . Например, и ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0.000\,97\dots \\e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}$$

Последовательные простые числа

Учитывая нечетное простое число  p , если вычислять для (этого достаточно, потому что ), можно получить последовательные составные числа, за которыми следуют последовательные простые числа, тогда и только тогда, когда p является числом Хигнера. ^[14] ${\displaystyle k^{2}\mod p}$ ${\displaystyle \textstyle k=0,1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle \left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}\mod p}$

Подробности см. в разделе «Квадратичные полиномы, производящие последовательные различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» Ричарда Моллина. ^[15]

Примечания и ссылки

1. Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Спрингер. п. 224. ИСБН 0-387-97993-Х.
2. Старк, Х.М. (1969), «О пробеле в теореме Хигнера» (PDF) , Журнал теории чисел , 1 (1): 16–27, Бибкод : 1969JNT.....1...16S, doi : 10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl : 2027.42/33039
3. Рабинович, Георг «Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren inquadatischen Zahlkörpern». Учеб. Пятый интернат. Конгресс математики. (Кембридж) 1, 418–421, 1913.
4. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Париж: Герман, стр. 88 и 144, 1983.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число». Математический мир .дает , по материалам Нестеренко Ю. В. «Об алгебраической независимости компонент решений системы линейных дифференциальных уравнений». Изв. Акад. Наук СССР, сер. Мат. 38, 495–512, 1974. Английский перевод по математике. СССР 8, 501–518, 1974. ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}$
6. Константа Рамануджана - из Wolfram MathWorld
7. Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы . Лондон: Джонатан Кейп. п. 72. ИСБН 0-224-06135-6.
8. Гарднер, Мартин (апрель 1975 г.). «Математические игры». Научный американец . 232 (4). Scientific American, Inc: 127. Бибкод : 1975SciAm.232d.126G. doi : 10.1038/scientificamerican0475-126.
9. Их можно проверить, вычислив на калькуляторе и определив линейную погрешность. $${\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}$$ $${\displaystyle {\frac {196\,884}{e^{\pi {\sqrt {d}}}}}}$$
10. «Подробнее о e^(pi*SQRT(163))». Архивировано из оригинала 11 августа 2009 г. Проверено 19 апреля 2008 г.
11. Абсолютное отклонение случайного действительного числа (выбранного, скажем, равномерно из [0,1] ) является равномерно распределенной переменной на [0, 0,5] , поэтому оно имеет абсолютное среднее отклонение и медианное абсолютное отклонение 0,25, а также отклонение 0,22 не является исключением.
12. «Формулы Пи».
13. «Расширение этаных коэффициентов Дедекинда Рамануджана».
14. «Простые комплексные квадратичные поля».
15. Моллин, РА (1996). «Квадратичные многочлены, производящие последовательные, различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» (PDF) . Акта Арифметика . 74 : 17–30. дои : 10.4064/aa-74-1-17-30.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Хегнера». Математический мир .
• Последовательность OEIS A003173 (числа Хегнера: мнимые квадратичные поля с уникальной факторизацией)
• Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей, Дориан Голдфельд: Подробная история проблемы.
• Кларк, Алекс. «163 и Рамануджан Констан». Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 16 мая 2013 г. Проверено 2 апреля 2013 г.