В классических теориях поля лагранжева спецификация поля потока — это способ рассмотрения движения жидкости, где наблюдатель следует за отдельным жидким пакетом , движущимся в пространстве и времени. [1] [2] Построение графика положения отдельного пакета во времени дает линию пути пакета. Это можно визуализировать, сидя в лодке и дрейфуя по реке.
Спецификация Эйлера для поля потока — это способ рассмотрения движения жидкости, который фокусируется на определенных местах в пространстве, через которые жидкость течет с течением времени. [1] [2] Это можно наглядно представить, сидя на берегу реки и наблюдая, как вода проходит через фиксированное место.
Лагранжевы и эйлеровы спецификации поля потока иногда свободно обозначаются как лагранжева и эйлерова системы отсчета . Однако, в общем случае, как лагранжева, так и эйлерова спецификации поля потока могут быть применены в любой системе отсчета наблюдателя и в любой системе координат, используемой в выбранной системе отсчета. Лагранжевы и эйлеровы спецификации названы в честь Жозефа-Луи Лагранжа и Леонарда Эйлера соответственно.
Эти спецификации отражены в вычислительной гидродинамике , где «эйлеровы» симуляции используют фиксированную сетку , в то время как «лагранжевы» симуляции (например, симуляции без сетки ) характеризуются узлами симуляции, которые могут перемещаться в соответствии с полем скорости .
Леонард Эйлер ввел обе спецификации в двух публикациях, написанных в 1755 [3] и 1759 [4] . [5] Жозеф-Луи Лагранж изучал уравнения движения в связи с принципом наименьшего действия в 1760 году, позже в трактате по механике жидкости в 1781 году, [6] и, в-третьих, в своей книге Mécanique analytique . [5] В этой книге Лагранж начинает с лагранжевой спецификации, но позже преобразует их в эйлерову спецификацию. [5]
В эйлеровой спецификации поля поле представляется как функция положения x и времени t . Например, скорость потока представляется функцией
С другой стороны, в лагранжевой спецификации отдельные пакеты жидкости отслеживаются во времени. Пакеты жидкости помечаются некоторым (независимым от времени) векторным полем x 0 . (Часто x 0 выбирается в качестве положения центра масс пакетов в некоторый начальный момент времени t 0 . Он выбирается таким образом, чтобы учесть возможные изменения формы с течением времени. Поэтому центр масс является хорошей параметризацией скорости потока u пакета.) [1] В лагранжевом описании поток описывается функцией, задающей положение частицы, помеченной x 0 , в момент времени t .
Две спецификации связаны следующим образом: [2] поскольку обе стороны описывают скорость частицы, обозначенной x 0 в момент времени t .
В выбранной системе координат x 0 и x называются лагранжевыми координатами и эйлеровыми координатами потока соответственно.
Лагранжевы и эйлеровы спецификации кинематики и динамики поля потока связаны материальной производной (также называемой производной Лагранжа, конвективной производной, субстанциальной производной или производной частиц) [1] .
Предположим, что у нас есть поле потока u , и нам также дано общее поле с эйлеровой спецификацией F ( x , t ). Теперь можно спросить об общей скорости изменения F, испытываемой конкретным пакетом потока. Это можно вычислить как где ∇ обозначает оператор набла относительно x , а оператор u ⋅∇ должен применяться к каждому компоненту F . Это говорит нам о том, что общая скорость изменения функции F при движении пакетов жидкости через поле потока, описываемое его эйлеровой спецификацией u , равна сумме локальной скорости изменения и конвективной скорости изменения F . Это является следствием цепного правила , поскольку мы дифференцируем функцию F ( X ( x 0 , t ), t ) относительно t .
Законы сохранения для единичной массы имеют форму Лагранжа, которая вместе с законом сохранения массы порождает закон сохранения Эйлера; напротив, когда жидкие частицы могут обмениваться величиной (например, энергией или импульсом), существуют только законы сохранения Эйлера. [7]
[1] Объективность в классической механике сплошных сред: движения, функции Эйлера и Лагранжа; градиент деформации; производные Ли; формула сложения скоростей, Кориолис; Объективность.