Эксцентриситет (математика)

Семейство конических сечений с различным эксцентриситетом имеют общую фокусную точку и направляющую линию, включая эллипс (красный, $e = 1/2$ ), параболу (зеленый, $e = 1$ ) и гиперболу (синий, $e = 2$ ). Коника с эксцентриситетом $0$ на этом рисунке представляет собой бесконечно малую окружность с центром в фокусе, а коника с эксцентриситетом $\infty$ представляет собой бесконечно мало разделенную пару прямых.
Окружность конечного радиуса имеет бесконечно удаленную директрису, в то время как пара линий конечного расстояния имеют бесконечно удаленный фокус.

В математике эксцентриситет конического сечения — это неотрицательное действительное число, однозначно характеризующее его форму .

Можно рассматривать эксцентриситет как меру того, насколько коническое сечение отклоняется от круглого. В частности:

Эксцентриситет окружности равен 0.
Эксцентриситет эллипса , который не является окружностью, находится в диапазоне от 0 до 1.
Эксцентриситет параболы равен 1.
Эксцентриситет гиперболы больше 1.
Эксцентриситет пары линий равен $\infty$

Два конических сечения с одинаковым эксцентриситетом подобны .

Определения

Любое коническое сечение можно определить как геометрическое место точек , расстояния которых до точки (фокуса) и прямой (директрисы) находятся в постоянном отношении. Это отношение называется эксцентриситетом, обычно обозначаемым как $e$ .

Эксцентриситет также может быть определен в терминах пересечения плоскости и двухлопастного конуса , связанного с коническим сечением. Если конус ориентирован вертикальной осью, эксцентриситет равен ^[1]

e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\ ,

где β — угол между плоскостью и горизонталью, а α — угол между образующей наклона конуса и горизонталью. Для плоскости сечение — окружность, для парабола. (Плоскость не должна пересекать вершину конуса.) $\бета =0$ $\beta =\alpha$

Линейный эксцентриситет эллипса или гиперболы, обозначаемый $c$ (или иногда $f$ или $e$ ), — это расстояние между его центром и любым из двух фокусов . Эксцентриситет можно определить как отношение линейного эксцентриситета к большой полуоси $a$ : то есть (при отсутствии центра линейный эксцентриситет для парабол не определяется). Стоит отметить, что параболу можно рассматривать как эллипс или гиперболу, но с одним фокусом в бесконечности . $e={\frac {c}{a}}$

Альтернативные названия

Эксцентриситет иногда называют первым эксцентриситетом, чтобы отличить его от второго эксцентриситета и третьего эксцентриситета, определенных для эллипсов (см. ниже). Эксцентриситет также иногда называют числовым эксцентриситетом .

В случае эллипсов и гипербол линейный эксцентриситет иногда называют полуфокусным расстоянием .

Обозначение

Обычно используются три условных обозначения:

$e$ для эксцентриситета и $c$ для линейного эксцентриситета.
$ε$ — эксцентриситет, $e$ — линейный эксцентриситет.
$e$ или $ϵ<$ для эксцентриситета и $f$ для линейного эксцентриситета (мнемоника для полуфокусного разделения ).

В данной статье используется первая нотация.

Ценности

Стандартная форма

Здесь для эллипса и гиперболы $a$ — длина большой полуоси, а $b$ — длина малой полуоси.

Общая форма

Когда коническое сечение задано в общей квадратичной форме

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

следующая формула дает эксцентриситет $e,$ если коническое сечение не является параболой (эксцентриситет которой равен 1), не является вырожденной гиперболой или вырожденным эллипсом , и не является воображаемым эллипсом: ^[2]

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}}}

где, если определитель матрицы 3×3 $\эта =1$

{\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}

отрицателен или если этот определитель положителен. $\эта =-1$

Эллипсы

Эксцентриситет эллипса строго меньше 1. Если круги (имеющие эксцентриситет 0) считаются эллипсами, то эксцентриситет эллипса больше или равен 0; если круги отнесены к особой категории и исключены из категории эллипсов, то эксцентриситет эллипса строго больше 0.

Для любого эллипса пусть $a$ будет длиной его большой полуоси , а $b$ — длиной его малой полуоси . В системе координат с началом в центре эллипса и осью $x$ , совмещенной с большой осью, точки эллипса удовлетворяют уравнению

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

с фокусами в координатах для $(\pm c,0)$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$

Определим ряд сопутствующих дополнительных понятий (только для эллипсов):

Другие формулы для эксцентриситета эллипса

Эксцентриситет эллипса, проще говоря, представляет собой отношение линейного эксцентриситета $c$ (расстояние между центром эллипса и каждым фокусом) к длине большой полуоси $a$ .

e={\frac {c}{a}}.

Эксцентриситет также представляет собой отношение большой полуоси $a$ к расстоянию $d$ от центра до директрисы:

e={\frac {a}{d}}.

Эксцентриситет можно выразить через сплющивание $f$ (определяемое как для большой полуоси $a$ и малой полуоси $b$ ): $f=1-b/a$

e={\sqrt {1-(1-f)^{2}}}={\sqrt {f(2-f)}}.

( В некоторых предметных областях сглаживание может обозначаться как $g, если$ $f$ — линейный эксцентриситет.)

Определим максимальный и минимальный радиусы и как максимальное и минимальное расстояние от любого фокуса до эллипса (то есть расстояния от любого фокуса до двух концов большой оси). Тогда с большой полуосью $a$ эксцентриситет определяется как $r_{\text{макс}}$ $r_{\text{мин}}$

e={\frac {r_{\text{макс}}-r_{\text{мин}}}{r_{\text{макс}}+r_{\text{мин}}}}={\frac {r_{\text{макс}}-r_{\text{мин}}}{2a}},

что равно расстоянию между фокусами, деленному на длину большой оси.

Гиперболы

Эксцентриситет гиперболы может быть любым действительным числом больше 1, без верхней границы. Эксцентриситет прямоугольной гиперболы равен . ${\sqrt {2}}$

Квадрики

Эксцентриситет трехмерного квадрика — это эксцентриситет его обозначенного сечения . Например, на трехосном эллипсоиде меридиональный эксцентриситет — это эксцентриситет эллипса, образованного сечением, содержащим как самую длинную, так и самую короткую оси (одна из которых будет полярной осью), а экваториальный эксцентриситет — это эксцентриситет эллипса, образованного сечением, проходящим через центр, перпендикулярно полярной оси (т. е. в экваториальной плоскости). Но: конические сечения могут встречаться и на поверхностях более высокого порядка (см. изображение).

Небесная механика

В небесной механике для связанных орбит в сферическом потенциале определение выше неформально обобщается. Когда расстояние до апоцентра близко к расстоянию до перицентра , говорят, что орбита имеет малый эксцентриситет; когда они сильно отличаются, говорят, что орбита эксцентрична или имеет эксцентриситет, близкий к единице. Это определение совпадает с математическим определением эксцентриситета для эллипсов в кеплеровых, т.е. потенциалах. $1/r$

Аналогичные классификации

Ряд классификаций в математике используют производную терминологию из классификации конических сечений по эксцентриситету:

Классификация элементов SL 2 ₍ R) как эллиптических, параболических и гиперболических – и аналогично для классификации элементов PSL ₂ (R), реальных преобразований Мёбиуса .
Классификация дискретных распределений по отношению дисперсии к среднему значению ; подробности см. в кумулянтах некоторых дискретных распределений вероятностей .
Классификация уравнений в частных производных проводится по аналогии с классификацией конических сечений; см. эллиптические , параболические и гиперболические уравнения в частных производных. ^[3]

Смотрите также

Ссылки

^ Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1979), Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.), Addison-Wesley, стр. 434. ISBN 0-201-07540-7
^ Аюб, Аюб Б., «Эксцентриситет конического сечения», The College Mathematics Journal 34(2), март 2003 г., 116-121.
^ "Классификация линейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными" . Получено 2 июля 2013 г.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Эксцентричность .

MathWorld: Эксцентричность