Локус (математика)

Набор точек, удовлетворяющих некоторым заданным условиям

Каждая кривая в этом примере представляет собой локус , определенный как раковистая точка P и линия l . В этом примере P находится на расстоянии 8 см от l .

В геометрии локус (множественное число: loci ) (латинское слово, обозначающее «место», «положение») — это набор всех точек ( обычно линия , отрезок прямой , кривая или поверхность ), расположение которых удовлетворяет или является определяется одним или несколькими указанными условиями. ^{[1] [2]}

Множество точек, удовлетворяющих некоторому свойству, часто называют геометрическим местом точки , удовлетворяющей этому свойству. Использование единственного числа в этой формулировке является свидетельством того, что до конца XIX века математики не рассматривали бесконечные множества . Вместо того, чтобы рассматривать линии и кривые как наборы точек, они рассматривали их как места, где точка может находиться или перемещаться.

История и философия

До начала 20 века геометрическая фигура (например, кривая) не рассматривалась как бесконечное множество точек; скорее, его рассматривали как объект, на котором может располагаться точка или по которому она движется. Таким образом, круг на евклидовой плоскости определялся как место точки, находящейся на заданном расстоянии от фиксированной точки, центра круга. В современной математике подобные концепции чаще переформулируются, описывая формы как множества; например, говорят, что круг — это набор точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. ^[3]

В отличие от теоретико-множественной точки зрения, старая формулировка избегает рассмотрения бесконечных коллекций, поскольку избегание фактической бесконечности было важной философской позицией ранних математиков. ^{[4] [5]}

Как только теория множеств стала универсальной основой, на которой строится вся математика, ^[6] термин локус стал довольно старомодным. ^[7] Тем не менее, слово до сих пор широко используется, в основном для краткой формулировки, например:

• Критический локус — множество критических точек дифференцируемой функции .
• Нулевой локус или исчезающий локус — набор точек, в которых функция обращается в нуль, поскольку она принимает нулевое значение .
• Особое место — множество особых точек алгебраического многообразия .
• Локус связности — подмножество набора параметров семейства рациональных функций , для которого связно множество Жюлиа функции.

Совсем недавно такие методы, как теория схем и использование теории категорий вместо теории множеств для обоснования математики, вернулись к понятиям, больше похожим на первоначальное определение локуса как объекта самого по себе, а не как множества. очков. ^[5]

Примеры из плоской геометрии

Примеры из плоской геометрии включают:

• Множество точек, равноудаленных от двух точек, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку , соединяющему две точки. ^[8]
• Множество точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, представляет собой объединение двух их биссектрис .
• Все конические сечения являются локусами: ^[9]
  • Круг : набор точек на постоянном расстоянии ( радиусе ) от фиксированной точки ( центра ).
  • Парабола : набор точек, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса ) и прямой ( директрисы ).
  • Гипербола : совокупность точек, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных фокусов является постоянной величиной.
  • Эллипс : множество точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных фокусов является постоянной.

Другие примеры локусов появляются в различных областях математики. Например, в сложной динамике множество Мандельброта представляет собой подмножество комплексной плоскости , которое можно охарактеризовать как локус связности семейства полиномиальных отображений.

Доказательство локуса

Чтобы доказать, что геометрическая фигура является правильным местом для данного набора условий, обычно доказательство делят на два этапа: доказательство того, что все точки, удовлетворяющие условиям, находятся на данной форме, и доказательство того, что все точки на геометрической форме данная форма удовлетворяет условиям. ^[10]

Примеры

(расстояние PA ) = 3.(расстояние PB )

Первый пример

Найдите геометрическое положение точки P , имеющей заданное отношение расстояний k = d ₁ / d ₂ до двух заданных точек.

В этом примере k = 3, A (−1, 0) и B (0, 2) выбраны в качестве неподвижных точек.

P ( x ,  y ) — точка геометрического положения

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

Это уравнение представляет собой круг с центром (1/8, 9/4) и радиусом . Это круг Аполлония , определяемый этими значениями k , A и B. ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$

Второй пример

Геометрическое положение точки C

Треугольник ABC имеет фиксированную сторону [ AB ] длины c . Определите геометрическое положение третьей вершины C так, чтобы медианы из A и C были ортогональны .

Выберем ортонормированную систему координат такую, что A (− c /2, 0), B ( c /2, 0). C ( x ,  y ) — переменная третья вершина. Центр [ BC ] — это M ((2 x  +  c )/4,  y /2). Медиана от C имеет наклон y / x . Медианный AM имеет наклон 2 y /(2 x  + 3 c ).

Локус – это круг

C ( x ,  y ) — точка геометрического положения

${\displaystyle \Leftrightarrow }$медианы от A и C ортогональны

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

Геометрическим узлом вершины C является окружность с центром (−3 c /4, 0) и радиусом 3 c /4.

Третий пример

Точка пересечения связанных линий k и l описывает окружность

Локус также может быть определен двумя связанными кривыми, зависящими от одного общего параметра . Если параметр изменяется, точки пересечения связанных кривых описывают локус.

На рисунке точки K и L являются неподвижными точками на данной прямой m . Линия k является переменной линией, проходящей через K. Прямая l, проходящая через L , перпендикулярна k . Угол между k и m является параметром. k и l — связанные линии, зависящие от общего параметра. Переменная точка пересечения S k и l описывает окружность. Этот круг является местом пересечения двух связанных линий. ${\displaystyle \alpha }$

Четвертый пример

Геометрическое положение точек не обязательно должно быть одномерным (как круг, линия и т. д.). Например, ^[1] местом неравенства 2 x + 3 y – 6 < 0 является часть плоскости, находящаяся ниже линии уравнения 2 x + 3 y – 6 = 0 .

Смотрите также

• Алгебраическое разнообразие
• Изгиб
• Линия (геометрия)
• Обозначение построителя множеств
• Форма (геометрия)

Рекомендации

1. Джеймс, Роберт Кларк; Джеймс, Гленн (1992), Математический словарь, Springer, стр. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
2. Уайтхед, Альфред Норт (1911), Введение в математику, Х. Холт, с. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
3. Кук, Роджер Л. (2012), «Топология 38.3», История математики: краткий курс (3-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290Слово локус мы до сих пор используем для обозначения пути, по которому движется точка с учетом установленных ограничений, хотя с момента появления теории множеств локус чаще воспринимается статически как набор точек, удовлетворяющих заданному значению. коллекция.
4. Бурбаки, Н. (2013), Элементы истории математики, перевод Дж. Мелдрама, Springer, стр. 26, ISBN 9783642616938классические математики тщательно избегали введения в свои рассуждения «действительной бесконечности» ..
5. Боровик, Александр (2010), «6.2.4 Можно ли жить без реальной бесконечности?», Математика под микроскопом: заметки о когнитивных аспектах математической практики, Американское математическое общество, стр. 124, ISBN 9780821847619.
6. Мэйберри, Джон П. (2000), Основы математики в теории множеств, Энциклопедия математики и ее приложений, том. 82, Издательство Кембриджского университета, стр. 82. 7, ISBN 9780521770347теория множеств обеспечивает основу всей математики ..
7. Ледерманн, Вальтер; Вайда, С. (1985), Комбинаторика и геометрия, Часть 1 , Справочник по прикладной математике, том. 5, Уайли, с. 32, ISBN 9780471900238, Начнем с объяснения немного старомодного термина.
8. Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидова плоскость , Springer-Verlag, 1975.
9. Гамильтон, Генри Парр (1834), Аналитическая система конических сечений: предназначена для студентов , Спрингер.
10. Г. П. Уэст, Новая геометрия: форма 1 .