Алгебраическое разнообразие

Математический объект, изучаемый в области алгебраической геометрии

Скрученная кубика — проективное алгебраическое многообразие.

Алгебраические многообразия — центральные объекты изучения алгебраической геометрии , раздела математики . Классически алгебраическое многообразие определяется как множество решений системы полиномиальных уравнений над действительными или комплексными числами . Современные определения обобщают эту концепцию несколькими различными способами, пытаясь сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе исходного определения. ^{[1] : 58}

Соглашения относительно определения алгебраического многообразия немного различаются. Например, некоторые определения требуют, чтобы алгебраическое многообразие было неприводимым , а это означает, что оно не является объединением двух меньших множеств , замкнутых в топологии Зарисского . Согласно этому определению, неприводимые алгебраические многообразия называются алгебраическими множествами . Другие соглашения не требуют несводимости.

Основная теорема алгебры устанавливает связь между алгеброй и геометрией , показывая, что унитарный многочлен (алгебраический объект) от одной переменной с коэффициентами комплексного числа определяется множеством его корней (геометрический объект) в комплексной плоскости . Обобщая этот результат, Nullstellensatz Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами колец полиномов и алгебраическими множествами. Используя Nullstellensatz и связанные с ним результаты, математики установили сильное соответствие между вопросами об алгебраических множествах и вопросами теории колец . Это соответствие является определяющей чертой алгебраической геометрии.

Многие алгебраические многообразия являются многообразиями , но алгебраическое многообразие может иметь особые точки , а многообразие — нет. Алгебраические многообразия можно охарактеризовать по их размерности . Алгебраические многообразия размерности один называются алгебраическими кривыми , а алгебраические многообразия размерности два — алгебраическими поверхностями .

В контексте современной теории схем алгебраическое многообразие над полем — это целая (неприводимая и приведенная) схема над этим полем, морфизм структуры которого отделим и имеет конечный тип.

Обзор и определения

Аффинное многообразие над алгебраически замкнутым полем концептуально является самым простым для определения типом многообразия, что и будет сделано в этом разделе. Далее аналогичным образом можно определить проективные и квазипроективные многообразия. Наиболее общее определение многообразия получается путем объединения меньших квазипроективных многообразий. Неочевидно, что таким способом можно создать действительно новые образцы сортов, но Нагата привел пример такого нового сорта в 1950-х годах.

Аффинные сорта

Для алгебраически замкнутого поля K и натурального числа n пусть An ^— аффинное n -пространство над K , отождествляемое с выбором аффинной системы координат . Многочлены f в кольце K [ x ₁ , ..., x _n ] можно рассматривать как K -значные функции на A ⁿ путем оценки f в точках из ^An , т.е. путем выбора значений в K для каждого x _i . Для каждого набора S полиномов из K [ x ₁ , ..., x _n ] определите нулевой локус Z ( S ) как набор точек в An ^, на которых функции из S одновременно обращаются в нуль, то есть сказать ${\displaystyle K^{n}}$    

${\displaystyle Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.}$

Подмножество V множества An называется аффинным алгебраическим множеством, ^если V = Z ( S ) для некоторого S. ^{[1] : 2} Непустое аффинное алгебраическое множество V называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств. ^{[1] : 3} Неприводимое аффинное алгебраическое множество также называется аффинным многообразием . ^{[1] : 3} (Некоторые авторы используют фразу «аффинное многообразие» для обозначения любого аффинного алгебраического множества, неприводимого или нет. ^{[примечание 1]} ).

Аффинным многообразиям можно придать естественную топологию , объявив замкнутые множества в точности аффинными алгебраическими множествами. Эта топология называется топологией Зарисского. ^{[1] : 2}

Учитывая подмножество V из An , мы определяем I ( V ) как идеал всех полиномиальных функций, исчезающих ^на V :

${\displaystyle I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.}$

Для любого аффинного алгебраического множества V координатное кольцо или структурное кольцо V является фактором кольца полиномов по этому идеалу . ^{[1] : 4}

Проективные многообразия и квазипроективные многообразия

Пусть k — алгебраически замкнутое поле и Pn ^— проективное n - пространство над k . Пусть f в k [ x0 , ..., xn ] — _{однородный} многочлен _{степени} d . Нет четкого определения оценки f в точках Pn в однородных ^{координатах} . Однако, поскольку f является однородным, то есть f   ( λx ₀ , ..., λx _n ) = λ ^d f   ( x ₀ , ..., x _n ) , имеет смысл спросить, обращается ли f в нуль в точке [ x ₀  : ... : x _n ] . Для каждого набора S однородных полиномов определите нулевое место S как набор точек в P ⁿ , в которых функции из S обращаются в нуль:          

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}.}$

Подмножество V в Pn называется проективным алгебраическим множеством ^, если V = Z ( S ) для некоторого S. ^{[1] : 9} Неприводимое проективное алгебраическое множество называется проективным многообразием . ^{[1] : 10}

Проективные многообразия также снабжаются топологией Зариского, объявляя все алгебраические множества замкнутыми.

Учитывая подмножество V из Pn , пусть I ( V ) будет идеалом, порожденным всеми однородными многочленами, обращающимися в ^нуль на V. Для любого проективного алгебраического множества V координатное кольцо V является фактором кольца многочленов по этому идеалу . ^{[1] : 10}

Квазипроективное многообразие — это открытое по Зарисскому подмножество проективного многообразия. Заметим, что каждое аффинное многообразие квазипроективно. ^[2] Заметим также, что дополнение к алгебраическому множеству в аффинном многообразии является квазипроективным многообразием; в контексте аффинных многообразий такое квазипроективное многообразие обычно называют не многообразием, а конструктивным множеством .

Абстрактные сорта

В классической алгебраической геометрии все многообразия по определению были квазипроективными многообразиями , что означает, что они были открытыми подмногообразиями замкнутых подмногообразий проективного пространства . Например, в главе 1 Хартсхорна многообразие над алгебраически замкнутым полем определяется как квазипроективное многообразие ^[1] : ¹⁵ , но начиная с главы 2 термин « многообразие» (также называемый абстрактным многообразием ) относится к более общий объект, который локально является квазипроективным многообразием, но в целом не обязательно является квазипроективным; т.е. оно может не иметь вложения в проективное пространство . ^{[1] : 105} Итак, классически определение алгебраического многообразия требовало вложения в проективное пространство, и это вложение использовалось для определения топологии многообразия и регулярных функций на многообразии. Недостаток такого определения состоит в том, что не все многообразия имеют естественное вложение в проективное пространство. Например, согласно этому ^{определению} , произведение P1 × P1 не является многообразием, пока оно не вложено в проективное пространство ^; обычно это делается с помощью встраивания Сегре . Однако любое многообразие, допускающее одно вложение в проективное пространство, допускает множество других, составляя вложение с вложением Веронезе . Следовательно, многие понятия, которые должны были бы быть внутренними, такие как понятие регулярной функции, таковыми не являются.

Самая ранняя успешная попытка определить алгебраическое многообразие абстрактно, без вложения, была предпринята Андре Вейлем . В своих «Основах алгебраической геометрии» Вейль определил абстрактное алгебраическое многообразие, используя оценки . Клод Шевалле дал определение схемы , которое служило той же цели, но носило более общий характер. Однако определение схемы, данное Александром Гротендиком, является еще более общим и получило наиболее широкое признание. На языке Гротендика абстрактное алгебраическое многообразие обычно определяется как целая , отделенная схема конечного типа над алгебраически замкнутым полем ^{[1] : 104–105} , хотя некоторые авторы отбрасывают условие неприводимости, сводимости или отдельности или допускают основное поле не должно быть алгебраически замкнутым. ^{[примечание 2]} Классические алгебраические многообразия представляют собой квазипроективные целочисленные разделенные схемы конечного типа над алгебраически замкнутым полем.

Существование неквазипроективных абстрактных алгебраических многообразий

Один из первых примеров неквазипроективного алгебраического многообразия был дан Нагатой. ^[3] Пример Нагаты не был полным (аналог компактности), но вскоре после этого он нашел полную и непроективную алгебраическую поверхность. ^{[4] [1] : Замечание 4.10.2 с.105} С тех пор были найдены и другие примеры; например, несложно построить торическое многообразие , которое не будет квазипроективным, а полным. ^[5]

Примеры

Подразновидность

Подмногообразие — это подмножество многообразия, которое само по себе является многообразием (относительно топологической структуры, индуцированной объемлющим многообразием). Например, каждое открытое подмножество многообразия является многообразием. См. также закрытое погружение .

Nullstellensatz Гильберта говорит, что замкнутые подмногообразия аффинного или проективного многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами или нерелевантными однородными простыми идеалами координатного кольца многообразия.

Аффинное разнообразие

Пример 1

Пусть k = C и A ² — двумерное аффинное пространство над C . Полиномы в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A ² путем оценки в точках A ² . Пусть подмножество S из C [ x , y ] содержит один элемент f   ( x , y ) : 

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

Нулевой локус f   ( x , y ) — это набор точек в A ² , в которых эта функция обращается в нуль: это набор всех пар комплексных чисел ( x , y ) таких, что y = 1 − x . Это называется линией в аффинной плоскости. (В классической топологии , исходящей из топологии комплексных чисел, комплексная прямая представляет собой вещественное многообразие размерности два.) Это множество Z (  f  ) : 

${\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.}$

^{Таким образом ,} подмножество V = Z (  f  ) из A2 является алгебраическим множеством. Множество V не пусто. Оно неприводимо, так как его нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Таким образом, это аффинное алгебраическое многообразие.

Пример 2

Пусть k = C и A ² — двумерное аффинное пространство над C . Полиномы в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A ² путем оценки в точках A ² . Пусть подмножество S из C [ x , y ] содержит один элемент g ( x , y ):

${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

Нулевой локус g ( x , y ) — это набор точек в A2 ^{, в которых эта функция обращается в} нуль, то есть набор точек ( x , y ) таких, что x2 + y2 = 1. Поскольку g ( x , y ) — абсолютно неприводимый многочлен, это алгебраическое многообразие. Набор его действительных точек (то есть точек, для которых x и y являются действительными числами) известен как единичный круг ; это название также часто дается всей разновидности.

Пример 3

Следующий пример не является ни гиперповерхностью , ни линейным пространством , ни отдельной точкой. Пусть A ³ — трёхмерное аффинное пространство над C . Набор точек ( x , x ² , x ³ ) для x в C является алгебраическим многообразием, а точнее, алгебраической кривой, которая не содержится ни в одной плоскости. ^{[примечание 3]} Это скрученный кубик, показанный на рисунке выше. Его можно определить уравнениями

${\displaystyle {\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}}$

Неприводимость этого алгебраического множества нуждается в доказательстве. Один из подходов в этом случае — проверить, что проекция ( x , y , z ) → ( x , y ) инъективна на множестве решений и что ее образ является неприводимой плоской кривой.

Для более сложных примеров всегда может быть дано подобное доказательство, но оно может подразумевать сложные вычисления: сначала вычисление по базису Грёбнера для вычисления размерности, за которым следует случайная линейная замена переменных (не всегда требуется); затем базисное вычисление Грёбнера для другого мономиального порядка для вычисления проекции и доказательства того, что она инъективна в общем случае и что ее образ является гиперповерхностью , и, наконец, полиномиальная факторизация для доказательства неприводимости изображения.

Общая линейная группа

Набор матриц размером n × n над базовым полем k можно идентифицировать с аффинным n ² -пространством с такими координатами , что это ( i , j )-й элемент матрицы . Определитель тогда является полиномом в и, таким образом , определяет гиперповерхность в . Тогда дополнением является открытое подмножество, состоящее из всех обратимых матриц размера n на n , общая линейная группа . Это аффинное многообразие, поскольку, вообще говоря, дополнение гиперповерхности в аффинном многообразии аффинно. Явно рассмотрим, где аффинной прямой присвоена координата t . Тогда составляет нулевой локус полинома в : ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle x_{ij}}$ ${\displaystyle x_{ij}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle x_{ij}}$ ${\displaystyle H=V(\det )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle x_{ij},t}$

${\displaystyle t\cdot \det[x_{ij}]-1,}$

т. е. набор матриц A такой, что имеет решение. Лучше всего это видно алгебраически: координатным кольцом является локализация , которую можно отождествить с . ${\displaystyle t\det(A)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle k[x_{ij}\mid 0\leq i,j\leq n][{\det }^{-1}]}$ ${\displaystyle k[x_{ij},t\mid 0\leq i,j\leq n]/(t\det -1)}$

Мультипликативная группа k ^* основного поля k такая же, как и, следовательно, является аффинным многообразием. Его конечным произведением является алгебраический тор , который снова является аффинным многообразием. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(k)}$ ${\displaystyle (k^{*})^{r}}$

Общая линейная группа является примером линейной алгебраической группы , аффинного многообразия, которое имеет структуру группы таким образом, что групповые операции являются морфизмом многообразий.

Характерный сорт

Пусть A — не обязательно коммутативная алгебра над полем k . Даже если A не коммутативна, все равно может случиться так, что A имеет -фильтрацию, так что соответствующее кольцо будет коммутативным, приведенным и конечно порожденным как k -алгебра; т. е. является координатным кольцом аффинного (приводимого) многообразия X . Например, если A — универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли , то — кольцо полиномов ( теорема ПБВ ); точнее, координатное кольцо двойственного векторного пространства . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Пусть M фильтрованный модуль над A (т. е. ). Если конечно порождена как -алгебра , то носитель в X ; т. е. место где не обращается в нуль , называется характеристическим многообразием M . ^[6] Это понятие играет важную роль в теории D -модулей . ${\displaystyle A_{i}M_{j}\subset M_{i+j}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} M}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} M}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} M}$

Проективное разнообразие

Проективное многообразие — это замкнутое подмногообразие проективного пространства. То есть это нулевой локус набора однородных многочленов , порождающих простой идеал .

Пример 1

Аффинная плоская кривая y ² знак равно x ³ - x . Соответствующая проективная кривая называется эллиптической кривой.

Плоская проективная кривая — это нулевое положение неприводимого однородного многочлена от трех неопределенных. Проективная линия P ¹ является примером проективной кривой; ее можно рассматривать как кривую на проективной плоскости P ² = {[ x , y , z ] }, определяемую x = 0 . В качестве другого примера сначала рассмотрим аффинную кубическую кривую

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x.}$

в двумерном аффинном пространстве (над полем характеристики не два). Ему соответствует кубическое однородное полиномиальное уравнение:

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2},}$

которая определяет кривую в P2 ^, называемую эллиптической кривой . Кривая имеет род один ( формула рода ); в частности, она не изоморфна проективной прямой P ¹ , имеющей нулевой род. Использование рода для различения кривых очень просто: фактически, род — это первый инвариант, который используется для классификации кривых (см. также построение модулей алгебраических кривых ).

Пример 2: Грассманиан

Пусть V — конечномерное векторное пространство. Грассманово многообразие Gn ₍ V ) — это множество всех n - мерных подпространств V. Это проективное многообразие: оно вложено в проективное пространство посредством вложения Плюкера :

${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}}$

где b _i — любой набор линейно независимых векторов в V , — n -я внешняя степень V , а скобка [ w ] означает линию, натянутую на ненулевой вектор w . ${\displaystyle \wedge ^{n}V}$

Грассманово многообразие поставляется с естественным векторным расслоением (или локально свободным пучком в другой терминологии), называемым тавтологическим расслоением , которое важно при изучении характеристических классов , таких как классы Черна .

Якобианская разновидность и абелева разновидность

Пусть C — гладкая полная кривая и ее группа Пикара ; т. е. группа классов изоморфизма линейных расслоений на C . Поскольку C гладкая, ее можно идентифицировать как группу классов дивизоров C и, таким образом , существует гомоморфизм степени . Якобианское многообразие C является ядром этого отображения степени ; т. е. группа классов дивизоров на C нулевой степени. Якобианское многообразие является примером абелева многообразия , полного многообразия с совместимой структурой абелевой группы (однако название «абелева» не потому, что это абелева группа). Абелево многообразие оказывается проективным (короче, алгебраические тэта-функции дают вложение в проективное пространство. См. уравнения, определяющие абелевы многообразия ); таким образом, является проективным многообразием. Касательное пространство к единичному элементу естественно изоморфно ^[7] , следовательно, размерность является родом . ${\displaystyle \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} :\operatorname {Pic} (C)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle C}$

Поставьте точку на . Для каждого целого числа существует естественный морфизм ^[8] ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]}$

где произведение n копий C. _ Для (т. е. C — эллиптическая кривая) указанный выше морфизм для оказывается изоморфизмом; ^{[1] : Гл. IV, пример 1.3.7.} в частности, эллиптическая кривая является абелевым многообразием. ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle n=1}$

Разновидности модулей

Учитывая целое число , множество классов изоморфизма гладких полных кривых рода называется модулями кривых рода и обозначается как . Есть несколько способов показать, что этот модуль имеет структуру возможно приводимого алгебраического многообразия; например, один из способов - использовать геометрическую теорию инвариантов , которая гарантирует, что набор классов изоморфизма имеет (приводимую) структуру квазипроективного многообразия. ^[9] Модули, такие как модули кривых фиксированного рода, обычно не являются проективным многообразием; Грубо говоря, причина в том, что вырождение (предел) гладкой кривой имеет тенденцию быть негладким или приводимым. Это приводит к понятию стабильной кривой рода , не обязательно гладкой полной кривой без каких-либо очень плохих особенностей и не очень большой группы автоморфизмов. Модули стабильных кривых , множество классов изоморфизма стабильных кривых рода , тогда являются проективным многообразием, которое содержит открытое подмножество. Так как получается добавлением граничных точек к , в просторечии называется компактификацией . Исторически статья Мамфорда и Делиня ^[10] ввела понятие устойчивой кривой, чтобы показать, что она неприводима, когда . ${\displaystyle g\geq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

Модули кривых иллюстрируют типичную ситуацию: модули хороших объектов имеют тенденцию быть не проективными, а только квазипроективными. Другой случай — модули векторных расслоений на кривой. Здесь существуют понятия стабильных и полустабильных векторных расслоений на гладкой полной кривой . Модули полустабильных векторных расслоений данного ранга и заданной степени (степень определителя расслоения) тогда представляют собой проективное многообразие, обозначаемое как , которое содержит множество классов изоморфизма стабильных векторных расслоений ранга и степени как открытое подмножество . ^[11] Поскольку линейное расслоение стабильно, такие модули являются обобщением якобиана многообразия . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle SU_{C}(n,d)}$ ${\displaystyle U_{C}(n,d)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$

Вообще, в отличие от случая модулей кривых, компактификация модулей не обязательно должна быть единственной, и в некоторых случаях разные неэквивалентные компактификации строятся разными методами и разными авторами. Примером является проблема компактификации , факторизации ограниченной симметричной области по действию арифметической дискретной группы . ^[12] Основной пример - это когда , верхнее полупространство Зигеля и соизмеримое с ; в этом случае имеет интерпретацию как модули принципиально поляризованных комплексных абелевых многообразий размерности (главная поляризация отождествляет абелево многообразие с его двойственным). Теория торических многообразий (или вложений тора) дает возможность его компактификации, тороидальной компактификации. ^{[13] [14]} Но есть и другие способы компактификации ; например, существует минимальная компактификация по Бэйли и Борелю: это проективное многообразие, ассоциированное с градуированным кольцом, образованным модулярными формами (в случае Зигеля — модулярные формы Зигеля ; ^[15] см. также модулярное многообразие Зигеля ). Неединственность компактификаций связана с отсутствием модульной интерпретации этих компактификаций; т.е. они не представляют (в смысле теории категорий) какую-либо проблему естественных модулей или, говоря точным языком, не существует стека естественных модулей , который был бы аналогом стека модулей устойчивых кривых. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle D={\mathfrak {H}}_{g}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle D/\Gamma }$

Неаффинный и непроективный пример

Алгебраическое многообразие не может быть ни аффинным, ни проективным. В качестве примера пусть X = P ¹ × A ¹ и p : X → A ¹ — проекция. Это алгебраическое многообразие, поскольку оно является произведением многообразий. Оно не является аффинным, поскольку P ¹ — замкнутое подмногообразие X (как нулевой локус p ), но аффинное многообразие не может содержать проективное многообразие положительной размерности как замкнутое подмногообразие. Он также не проективен, поскольку на X существует непостоянная регулярная функция ; а именно, п .

Другой пример неаффинного непроективного многообразия — X = A ² − (0, 0) (см. Морфизм многообразий § Примеры .)

Непримеры

Рассмотрим аффинную линию над . Дополнение к кругу не является алгебраическим многообразием (даже алгебраическим множеством). Обратите внимание, что это не полином в (хотя и полином от действительных переменных ). С другой стороны, дополнение начала координат в является алгебраическим (аффинным) многообразием, поскольку начало координат является нулевым локусом . Это можно объяснить следующим образом: аффинная прямая имеет размерность единица, и поэтому любое ее подмногообразие, отличное от нее самой, должно иметь строго меньшую размерность; а именно ноль. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ||z|^{2}=1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|^{2}-1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$

По тем же причинам унитарная группа (над комплексными числами) не является алгебраическим многообразием, а специальная линейная группа является замкнутым подмногообразием , нулевым локусом . (Однако в другом базовом поле унитарной группе может быть придана структура разнообразия.) ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \det -1}$

Основные результаты

• Аффинное алгебраическое множество V является многообразием тогда и только тогда, когда I ( V ) — простой идеал ; эквивалентно, V является многообразием тогда и только тогда, когда его координатное кольцо является областью целостности . ^{[16] : 52  [1] : 4}
• Каждое непустое аффинное алгебраическое множество можно однозначно записать как конечное объединение алгебраических многообразий (где ни одно из многообразий в разложении не является подмногообразием другого). ^{[1] : 5}
• Размерность сорта может быть определена различными эквивалентными способами. Подробности см. в разделе «Размерность алгебраического многообразия» .
• Произведение конечного числа алгебраических многообразий (над алгебраически замкнутым полем) является алгебраическим многообразием. Конечное произведение аффинных многообразий аффинно ^[17] , а конечное произведение проективных многообразий проективно.

Изоморфизм алгебраических многообразий

Пусть V ₁ , V ₂ — алгебраические многообразия. Мы говорим, что V ₁ и V ₂ изоморфны , и пишем V ₁ ≅ V ₂ , если существуют регулярные отображения φ  : V ₁ → V ₂ и ψ  : V ₂ → V ₁ такие, что композиции ψ ∘ φ и φ ∘ ψ являются тождественные отображения на V ₁ и V ₂ соответственно.

Обсуждение и обобщения

Основные определения и факты, приведенные выше, позволяют заниматься классической алгебраической геометрией. Чтобы иметь возможность делать больше — например, иметь дело с многообразиями полей, которые не являются алгебраически замкнутыми , — необходимы некоторые фундаментальные изменения. Современное понятие многообразия значительно более абстрактно, чем приведенное выше, хотя и эквивалентно в случае многообразий над алгебраически замкнутыми полями. Абстрактное алгебраическое многообразие — это особый вид схемы; обобщение на схемы с геометрической стороны позволяет распространить описанное выше соответствие на более широкий класс колец. Схема — это локально окольцованное пространство такое, что каждая точка имеет окрестность, которая как локально окольцованное пространство изоморфна спектру кольца . По сути, многообразие над k - это схема, структурный пучок которой представляет собой пучок k -алгебр со свойством, что все кольца R , встречающиеся выше, являются целыми областями и все являются конечно порожденными k -алгебрами, то есть они являются факторами. полиномиальных алгебр простыми идеалами .

Это определение работает над любым полем k . Он позволяет склеивать аффинные многообразия (вдоль общих открытых множеств), не беспокоясь о том, можно ли поместить полученный объект в какое-то проективное пространство. Это также приводит к трудностям, поскольку можно ввести несколько патологические объекты, например, аффинную линию с удвоенным нулем. Такие объекты обычно не считаются разновидностями и исключаются путем требования разделения схем, лежащих в основе разновидности . (Строго говоря, существует еще и третье условие, а именно, что в приведенном выше определении требуется только конечное число аффинных патчей.)

Некоторые современные исследователи также снимают ограничение на разнообразие, имеющее аффинные диаграммы целой области , и, говоря о разнообразии, требуют только, чтобы аффинные диаграммы имели тривиальный нильрадикал .

Полное многообразие — это многообразие такое, что любое отображение открытого подмножества неособой кривой в него однозначно продолжается на всю кривую. Всякое проективное многообразие является полным, но не наоборот.

Эти многообразия были названы «многообразиями в смысле Серра», поскольку для них была написана основополагающая работа Серра FAC ^[18] о пучковых когомологиях . Они остаются типичными объектами для начала изучения алгебраической геометрии, даже если более общие объекты также используются вспомогательным образом.

Один из способов, который приводит к обобщениям, - это разрешить приводимые алгебраические множества (и поля k , которые не являются алгебраически замкнутыми), поэтому кольца R не могут быть целыми областями. Более существенная модификация состоит в том, чтобы допустить в пучке колец нильпотенты , то есть кольца, которые не редуцированы . Это одно из нескольких обобщений классической алгебраической геометрии, встроенных в теорию схем Гротендика .

Разрешение нильпотентных элементов в кольцах связано с отслеживанием «кратностей» в алгебраической геометрии. Например, замкнутая подсхема аффинной прямой, определяемая x ² = 0, отличается от подсхемы, определяемой x = 0 (начало координат). В более общем смысле, слой морфизма схем X → Y в точке Y может быть нередуцированным, даже если X и Y редуцированы. Геометрически это говорит о том, что слои хороших отображений могут иметь нетривиальную «бесконечно малую» структуру.

Существуют и другие обобщения, называемые алгебраическими пространствами и стеками .

Алгебраические многообразия

Алгебраическое многообразие — это алгебраическое многообразие, которое также является m -мерным многообразием, и ^, следовательно, каждый достаточно малый локальный участок изоморфен km . Эквивалентно, многообразие гладкое (без особых точек). Когда k — действительные числа, R , алгебраические многообразия называются многообразиями Нэша . Алгебраические многообразия можно определить как нулевое множество конечного набора аналитических алгебраических функций. Проективные алгебраические многообразия являются эквивалентным определением проективных многообразий. Сфера Римана является одним из примеров.

Смотрите также

• Разнообразие (значения) - также перечисление нескольких математических значений.
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Бирациональная геометрия
• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Аналитический сорт
• Пространство Зариского – Римана
• Полуалгебраический набор
• Сорт Фано
• Теорема Мнева об универсальности

Примечания

1. Хартсхорн, стр.xv, Харрис, стр.3
2. Лю, Цин. Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , с. 55 Определение 2.3.47 и с. 88 Пример 3.2.3
3. Харрис, стр.9; то, что оно неприводимо, указано в качестве упражнения в Хартсхорне, стр.7.

Рекомендации

1. Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90244-9.
2. Хартсхорн, Упражнение I.2.9, стр.12.
3. Нагата, Масаеши (1956). «О проблеме вложения абстрактных многообразий в проективные многообразия». Мемуары научного колледжа Киотского университета. Серия А: Математика . 30 : 71–82. дои : 10.1215/kjm/1250777138 . МР  0088035.
4. Нагата, Масаеши (1957). «О вложениях абстрактных поверхностей в проективные многообразия». Мемуары научного колледжа Киотского университета. Серия А: Математика . 30 (3): 231–235. дои : 10.1215/kjm/1250777007 . MR  0094358. S2CID  118328992.
5. На странице 65 Фултона, Уильяма (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN. 978-0-691-00049-7замечание описывает полное торическое многообразие, не имеющее нетривиального линейного расслоения; таким образом, в частности, у него нет достаточного линейного расслоения.
6. Определение 1.1.12, Гинзбург В., 1998. Лекции по D-модулям. Чикагский университет.
7. Милн 2008, Предложение 2.1.
8. Милн 2008, Начало § 5.
9. МФК 1994, Теорема 5.11.
10. Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . дои : 10.1007/bf02684599. S2CID  16482150. 
11. МФК 1994, Приложение C к гл. 5.
12. Марк Горески. Компактификации и когомологии модулярных многообразий. Гармонический анализ, формула следа и разновидности Шимуры, том 4 журнала Clay Math. Учебник, стр. 551–582. амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2005.
13. Эш, А.; Мамфорд, Дэвид ; Рапопорт, М.; Тай, Ю. (1975), Гладкая компактификация локально симметричных многообразий (PDF) , Бруклин, Массачусетс: Матем. наук. Пресса, ISBN 978-0-521-73955-9, МР  0457437
14. Намикава, Юкихико (1980). Тороидальная компактификация пространств Зигеля . Конспект лекций по математике. Том. 812. дои : 10.1007/BFb0091051. ISBN 978-3-540-10021-8.
15. Чай, Чинг-Ли (1986). «Схемы модулей Зигеля и их компактификации ». Арифметическая геометрия. стр. 231–251. дои : 10.1007/978-1-4613-8655-1_9. ISBN ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 978-1-4613-8657-5.
16. Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия - Первый курс . Тексты для аспирантов по математике. Том. 133. Шпрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-1-4757-2189-8. ISBN 0-387-97716-3.
17. Алгебраическая геометрия I. Энциклопедия математических наук. Том. 23. 1994. doi :10.1007/978-3-642-57878-6. ISBN 978-3-540-63705-9.
18. Серр, Жан-Пьер (1955). «Когерентные алгебраические конструкции Faisceaux» (PDF) . Анналы математики . 61 (2): 197–278. дои : 10.2307/1969915. JSTOR  1969915.

Источники

• Кокс, Дэвид ; Джон Литтл; Дон О'Ши (1997). Идеалы, разновидности и алгоритмы (второе изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-94680-2.
• Эйзенбуд, Дэвид (1999). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-94269-6.
• Милн, Джеймс С. (2008). «Алгебраическая геометрия» . Проверено 1 сентября 2009 г.
• Милн Дж., Якобианские многообразия, опубликовано как глава VII Арифметической геометрии (Сторрс, Коннектикут, 1984), 167–212, Спрингер, Нью-Йорк, 1986.
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.
• Алгебраическая геометрия и арифметические кривые /. Оксфордские научные публикации. Издательство Оксфордского университета. 2006. ISBN 978-0-19-154780-5.

Эта статья включает в себя материал из раздела «Изоморфизм разновидностей» на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .