Электрическая потенциальная энергия

Потенциальная энергия, возникающая в результате консервативных сил Кулона.

Электрическая потенциальная энергия — это потенциальная энергия (измеренная в джоулях ), которая возникает в результате консервативных сил Кулона и связана с конфигурацией определенного набора точечных зарядов внутри определенной системы . Можно сказать , что объект обладает электрической потенциальной энергией либо в силу своего собственного электрического заряда, либо в силу своего относительного положения по отношению к другим электрически заряженным объектам .

Термин «электрическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с изменяющимися во времени электрическими полями , а термин «электростатическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с постоянными во времени электрическими полями.

Определение

Электрическая потенциальная энергия системы точечных зарядов определяется как работа , необходимая для сборки этой системы зарядов путем сближения их, как в системе с бесконечного расстояния. Альтернативно, электрическая потенциальная энергия любого данного заряда или системы зарядов называется полной работой, совершаемой внешним агентом по доведению заряда или системы зарядов из бесконечности до текущей конфигурации без какого-либо ускорения.

Электростатическая потенциальная энергия _UE одного точечного заряда q в положении r в присутствии электрического поля E определяется как отрицательная работа W , совершаемая электростатической силой по перемещению его из исходного положения r _ref ^{[примечание 1 ]} в эту позицию r . ^{[1] [2] : §25-1}

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{\mathbf {r} }_{\rm {ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} }$

где E — электростатическое поле, а d r’ — вектор смещения по кривой от исходного положения r _ref до конечного положения r .

Электростатическую потенциальную энергию также можно определить из электрического потенциала следующим образом:

Электростатическая потенциальная энергия _UE одного точечного заряда q в положении r при наличии электрического потенциала определяется как произведение заряда и электрического потенциала. ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )}$

где – электрический потенциал, создаваемый зарядами, который является функцией положения r . ${\displaystyle V}$

Единицы

Единицей электрической потенциальной энергии в системе СИ является джоуль (названный в честь английского физика Джеймса Прескотта Джоуля ). В системе СГС единицей энергии является эрг , равный 10 ⁻⁷ Джоуля. Также можно использовать электронвольты : 1 эВ = 1,602×10 ^-19 Джоулей.

Электростатическая потенциальная энергия одного точечного заряда

Один точечный заряд q в присутствии другого точечного заряда Q

Точечный заряд q в электрическом поле другого заряда Q.

Электростатическая потенциальная энергия _UE одного точечного заряда q в положении r в присутствии точечного заряда Q , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:

${\displaystyle U_{E}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}}$

где r — расстояние между точечными зарядами q и Q , а q и Q — заряды (а не абсолютные значения зарядов, т. е. электрон будет иметь отрицательное значение заряда, если его поместить в формулу). В следующей схеме доказательства излагается вывод из определения электрической потенциальной энергии и закона Кулона к этой формуле.

Схема доказательства

Электростатическую силу F, действующую на заряд q, можно записать через электрическое поле E как

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

По определению, изменение электростатической потенциальной энергии UE точечного заряда q , который переместился из исходного положения r _ref в положение r в присутствии электрического поля E, _{является} отрицательным результатом работы, совершаемой электростатической силой над перенесите его из исходной позиции r _ref в эту позицию r .

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

где:

• r = положение заряда q в трехмерном пространстве , используя декартовы координаты r = ( x , y , z ), принимая положение заряда Q в точке r = (0,0,0), скаляр r = | р | - норма вектора положения,
• d s = вектор дифференциального смещения по пути C , идущему от r _ref до r ,
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$— это работа, совершаемая электростатической силой по перемещению заряда из исходного положения r _ref в r ,

Обычно U _E устанавливается равным нулю, когда r _ref равно бесконечности:

$${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$

так

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

Когда ротор ∇ × E равен нулю, приведенный выше линейный интеграл не зависит от конкретного выбранного пути C , а только от его конечных точек. Это происходит в неизменяющихся во времени электрических полях. Говоря об электростатической потенциальной энергии, всегда предполагаются постоянные во времени электрические поля, поэтому в этом случае электрическое поле консервативно и можно использовать закон Кулона.

Используя закон Кулона , известно, что электростатическая сила F и электрическое поле E , создаваемое дискретным точечным зарядом Q , направлены радиально от Q. Из определения вектора положения r и вектора смещения s следует, что r и s также направлены радиально от Q. Итак, E и d s должны быть параллельны:

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$$

Используя закон Кулона, электрическое поле определяется выражением

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

и интеграл легко вычислить:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

Один точечный заряд q при наличии n точечных зарядов Q i

Электростатическая потенциальная энергия q , обусловленная системой зарядов Q ₁ и Q _{2 :} ${\displaystyle U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)}$

Электростатическая потенциальная энергия _UE одного точечного заряда q в присутствии n точечных зарядов Q _i , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:

${\displaystyle U_{E}(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},}$

где r _i — расстояние между точечными зарядами q и Q _i , а q и Q _i — присвоенные значения зарядов.

Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе точечных зарядов

Электростатическая потенциальная энергия U _E , запасенная в системе N зарядов q ₁ , q ₂ , …, q _N в позициях r ₁ , r ₂ , …, r _N соответственно, равна:

где для каждого значения i V( r _i ) представляет собой электростатический потенциал всех точечных зарядов, кроме заряда в точке r _i , ^{[примечание 2]} и равен:

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{\mathbf {r} _{ij}}},}$$

r _ijq _iq _j

Схема доказательства

Электростатическая потенциальная энергия U _E , запасенная в системе двух зарядов, равна электростатической потенциальной энергии заряда в электростатическом потенциале, создаваемом другим. То есть, если заряд q ₁ генерирует электростатический потенциал V ₁ , который является функцией положения r , то

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

Проделав тот же расчет относительно другого заряда, получим

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

Электростатическая потенциальная энергия взаимно распределяется между и , поэтому общая запасенная энергия равна ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

Это можно обобщить, сказав, что электростатическая потенциальная энергия UE _, запасенная в системе из n зарядов q ₁ , q ₂ , …, q _n в положениях r ₁ , r ₂ , …, r _n соответственно, равна:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

Энергия, запасенная в системе одного точечного заряда

Электростатическая потенциальная энергия системы, содержащей только один точечный заряд, равна нулю, поскольку нет других источников электростатической силы, против которой внешний агент должен совершить работу по перемещению точечного заряда из бесконечности в его конечное место.

Возникает общий вопрос о взаимодействии точечного заряда с собственным электростатическим потенциалом. Поскольку это взаимодействие не приводит к перемещению самого точечного заряда, оно не способствует накоплению энергии системы.

Энергия, запасенная в системе двух точечных зарядов

Рассмотрим размещение точечного заряда q в его конечном положении рядом _с точечным зарядом Q1 . Электрический потенциал V( r ), обусловленный Q ₁ , равен

$${\displaystyle V(\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}$$

Следовательно, мы получаем электростатическую потенциальную энергию q в потенциале Q ₁ как

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}}$$

r ₁

Энергия, запасенная в системе трех точечных зарядов

Электростатическую потенциальную энергию системы трех зарядов не следует путать с электростатической потенциальной энергией Q ₁ , обусловленной двумя зарядами Q ₂ и Q ₃ , поскольку последняя не включает электростатическую потенциальную энергию системы двух зарядов. Вопрос ₂ и Вопрос ₃ .

Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе трех зарядов, равна:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Схема доказательства

Тогда , используя формулу, приведенную в ( 1 ), электростатическая потенциальная энергия системы трех зарядов будет:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

Где электрический потенциал в r ₁ , созданный зарядами Q ₂ и Q ₃ , электрический потенциал в r ₂ , созданный зарядами Q ₁ и Q ₃ , и электрический потенциал в r ₃ , созданный зарядами Q ₁ и Q ₂ . Потенциалы: ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

Где r _ij — расстояние между зарядами Q _i и Q _j .

Если мы добавим все:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

В итоге получаем, что электростатическая потенциальная энергия запасается в системе трёх зарядов:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Энергия, запасенная в распределении электростатического поля в вакууме

Плотность энергии, или энергия на единицу объема, электростатического поля непрерывного распределения заряда равна: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Схема доказательства

Можно взять уравнение электростатической потенциальной энергии непрерывного распределения заряда и выразить его через электростатическое поле .

Поскольку закон Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме состояния

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

где

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$вектор электрического поля
• ${\displaystyle \rho }$- общая плотность заряда, включая дипольные заряды , связанные в материале
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$- диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,

затем,

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

Итак, теперь используя следующее тождество вектора дивергенции

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$$

у нас есть

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

используя теорему о дивергенции и принимая площадь на бесконечность, где ${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

Итак, плотность энергии, или энергия единицы объема электростатического поля , равна: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Энергия, запасенная в электронных элементах

Электрическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе , равна U _E =1/2Резюме ²

Некоторые элементы в цепи могут преобразовывать энергию из одной формы в другую. Например, резистор преобразует электрическую энергию в тепловую. Это известно как эффект Джоуля . Конденсатор хранит его в своем электрическом поле. Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе, определяется выражением

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$

CемкостьVэлектрических потенциаловQ —,

Схема доказательства

Заряды конденсатора можно собирать бесконечно малыми приращениями, так что объем работы, затраченной на сборку каждого приращения в его конечное место, можно выразить как ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

Тогда общая работа, совершаемая для полной зарядки конденсатора таким образом, равна

$${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

где - полный заряд конденсатора. Эта работа сохраняется в виде электростатической потенциальной энергии, следовательно, ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

Примечательно, что это выражение справедливо только в том случае, если , что справедливо для многозарядных систем, таких как большие конденсаторы с металлическими электродами. Для малозарядовых систем важен дискретный характер заряда. Полная энергия, запасенная в конденсаторе с несколькими зарядами, равна ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$

который получается методом сборки заряда с использованием наименьшего физического приращения заряда, где – элементарная единица заряда , а – общее количество зарядов в конденсаторе. ${\displaystyle \Delta q=e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Q=Ne}$ ${\displaystyle N}$

Полную электростатическую потенциальную энергию можно также выразить через электрическое поле в виде

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} \,dV}$$

где – поле электрического смещения внутри диэлектрического материала, интегрирование ведется по всему объему диэлектрика. ${\displaystyle \mathrm {D} }$

(Виртуальный эксперимент, основанный на передаче энергии между обкладками конденсатора, показывает, что необходимо учитывать дополнительный член, когда электростатическая энергия выражается через электрическое поле и вектор смещения s ^[3] .

Хотя эта дополнительная энергия сводится на нет при работе с изоляторами, в целом ее нельзя игнорировать, как, например, в полупроводниках.)

Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в заряженном диэлектрике, также может быть выражена через непрерывный объемный заряд : ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV}$$

Эти последние два выражения действительны только для случаев, когда наименьшее приращение заряда равно нулю ( ), например, в диэлектриках с металлическими электродами или в диэлектриках, содержащих много зарядов. ${\displaystyle dq\to 0}$

Примечания

1. За опорный ноль обычно считается состояние, в котором отдельные точечные заряды очень хорошо разделены («находятся на бесконечном расстоянии») и находятся в состоянии покоя.
2. Половинный коэффициент учитывает «двойной учет» пар зарядов. Например, рассмотрим случай всего двух обвинений.

Рекомендации

1. Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN  0-471-92712-0
2. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (1997). "Электрический потенциал". Основы физики (5-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-10559-7.
3. Саллезе (01.06.2016). «Новая составляющая электростатической энергии в полупроводниках». Европейский физический журнал Б. 89 (6): 136. arXiv : 1510.06708 . дои : 10.1140/epjb/e2016-60865-4 . ISSN  1434-6036. S2CID  120731496.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с потенциальной электрической энергией, на Викискладе?