Закон Кулона

Основной физический закон электромагнетизма

Величина электростатической силы F между двумя точечными зарядами q ₁ и q ₂ прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются.

Закон обратных квадратов Кулона , или просто закон Кулона , является экспериментальным законом ^[1] физики , который вычисляет величину силы между двумя электрически заряженными частицами в состоянии покоя. Эта электрическая сила традиционно называется электростатической силой или силой Кулона . ^[2] Хотя закон был известен и раньше, он был впервые опубликован в 1785 году французским физиком Шарлем-Огюстеном де Кулоном . Закон Кулона имел важное значение для развития теории электромагнетизма и, возможно, даже стал ее отправной точкой, ^[1] поскольку он позволял осмысленно обсуждать величину электрического заряда в частице. ^[3]

Закон гласит, что величина или абсолютное значение притягивающей или отталкивающей электростатической силы между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению величин их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. ^[4] Кулон открыл, что тела с одноименными электрическими зарядами отталкиваются:

Из этих трех испытаний следует, что отталкивающая сила, которую оказывают друг на друга два шара, [которые] были наэлектризованы одним и тем же видом электричества, обратно пропорциональна квадрату расстояния. ^[5]

Кулон также показал, что противоположно заряженные тела притягиваются по закону обратных квадратов: $${\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}}$$

Здесь k _e — константа, q ₁ и q ₂ — величины каждого заряда, а скаляр r — расстояние между зарядами.

Сила направлена ​​вдоль прямой линии, соединяющей два заряда. Если заряды имеют одинаковый знак, электростатическая сила между ними заставляет их отталкиваться; если они имеют разные знаки, сила между ними заставляет их притягиваться.

Будучи законом обратных квадратов , закон похож на закон обратных квадратов всемирного тяготения Исаака Ньютона , но гравитационные силы всегда заставляют вещи притягиваться, в то время как электростатические силы заставляют заряды притягиваться или отталкиваться. Кроме того, гравитационные силы намного слабее электростатических сил. ^[2] Закон Кулона можно использовать для вывода закона Гаусса , и наоборот. В случае одиночного точечного заряда в состоянии покоя два закона эквивалентны, выражая один и тот же физический закон разными способами. ^[6] Закон был тщательно проверен , и наблюдения подтвердили закон в масштабе от 10 ⁻¹⁶ м до 10 ⁸ м. ^[6]

История

Шарль-Огюстен де Кулон

Древние культуры Средиземноморья знали , что некоторые предметы, такие как стержни янтаря , можно натереть кошачьей шерстью, чтобы притянуть легкие предметы, такие как перья и кусочки бумаги. Фалес Милетский сделал первое зарегистрированное описание статического электричества около 600 г. до н. э. ^[7], когда он заметил, что трение может заставить кусок янтаря притягивать небольшие предметы. ^{[8] [9]}

В 1600 году английский ученый Уильям Гилберт провел тщательное исследование электричества и магнетизма, отделив эффект магнита от статического электричества, получаемого при трении янтаря. ^[8] Он придумал неолатинское слово electricus («янтарный» или «подобный янтарю», от греческого слова ἤλεκτρον [ elektron ], «янтарь»), чтобы обозначить свойство притягивать небольшие предметы после трения. ^[10] Эта ассоциация привела к появлению английских слов «electric» и «electricity», которые впервые появились в печати в «Pseudodoxia Epidemica » Томаса Брауна в 1646 году. ^[11]

Среди первых исследователей XVIII века, которые подозревали, что электрическая сила уменьшается с расстоянием, как и сила тяжести (т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния), были Даниил Бернулли ^[12] и Алессандро Вольта , оба измерившие силу между пластинами конденсатора , а также Франц Эпинус, который предположил закон обратных квадратов в 1758 году. ^[13]

Основываясь на экспериментах с электрически заряженными сферами, Джозеф Пристли из Англии был одним из первых, кто предположил, что электрическая сила подчиняется закону обратных квадратов , подобному закону всемирного тяготения Ньютона . Однако он не обобщил и не развил это. ^[14] В 1767 году он предположил, что сила между зарядами изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. ^{[15] [16]}

Крутильные весы Кулона

В 1769 году шотландский физик Джон Робисон объявил, что, согласно его измерениям, сила отталкивания между двумя сферами с зарядами одного знака изменяется как x ^−2,06 . ^[17]

В начале 1770-х годов зависимость силы между заряженными телами как от расстояния, так и от заряда уже была открыта, но не опубликована, Генри Кавендишем из Англии. ^[18] В своих заметках Кавендиш писал: «Мы можем поэтому заключить, что электрическое притяжение и отталкивание должны быть обратно пропорциональны некоторой степени расстояния между 2 + ⁠1/50⁠ й и тот из 2 − ⁠1/50⁠ th , и нет никаких оснований полагать, что оно чем-то отличается от обратного дублирующего отношения».

Наконец, в 1785 году французский физик Шарль-Огюстен де Кулон опубликовал свои первые три доклада об электричестве и магнетизме, в которых он сформулировал свой закон. Эта публикация имела важное значение для развития теории электромагнетизма . ^[4] Он использовал крутильные весы для изучения сил отталкивания и притяжения заряженных частиц и определил, что величина электрической силы между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Крутильные весы состоят из стержня, подвешенного к его середине тонким волокном. Волокно действует как очень слабая пружина кручения . В эксперименте Кулона крутильные весы представляли собой изолирующий стержень с металлическим шариком, прикрепленным к одному концу, подвешенному на шелковой нити. Шар был заряжен известным зарядом статического электричества , и к нему подносился второй заряженный шарик той же полярности. Два заряженных шарика отталкивались друг от друга, скручивая волокно на определенный угол, который можно было прочитать по шкале на приборе . Зная, какая сила требуется для скручивания волокна на заданный угол, Кулон смог вычислить силу между шариками и вывести свой закон пропорциональности обратно квадрату.

Математическая форма

На изображении вектор F ₁ — это сила, испытываемая q ₁ , а вектор F ₂ — это сила, испытываемая q ₂ . Когда q ₁ q ₂ > 0 , силы отталкивающие (как на изображении), а когда q ₁ q ₂ < 0, силы притягивающие (противоположно изображению). Величина сил всегда будет одинаковой.

Закон Кулона гласит, что электростатическая сила , испытываемая зарядом в положении , находящимся вблизи другого заряда в положении , в вакууме, равна ^[19] ${\textstyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

где — вектор смещения между зарядами, единичный вектор, направленный от к , и электрическая постоянная . Здесь используется для обозначения вектора. Электростатическая сила, испытываемая , согласно третьему закону Ньютона , равна . ${\textstyle \mathbf {r_{12}=r_{1}-r_{2}} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$ ${\textstyle q_{2}}$ ${\textstyle q_{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {r}} _{12}}$ ${\textstyle \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$

Если оба заряда имеют одинаковый знак (подобные заряды), то произведение положительно, а направление силы на задается как ; заряды отталкиваются друг от друга. Если заряды имеют противоположные знаки, то произведение отрицательно, а направление силы на задается как ; заряды притягиваются друг к другу. ^[20] ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$ ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$

Система дискретных зарядов

Закон суперпозиции позволяет расширить закон Кулона, включив в него любое количество точечных зарядов. Сила, действующая на точечный заряд из-за системы точечных зарядов, является просто векторным сложением отдельных сил, действующих по отдельности на этот точечный заряд из-за каждого из зарядов. Результирующий вектор силы параллелен вектору электрического поля в этой точке, при этом этот точечный заряд удален.

Сила , действующая на малый заряд в положении , со стороны системы дискретных зарядов в вакууме, равна ^[19] ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle n}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}},}$$

где — величина i -го заряда, — вектор из его положения в , а — единичный вектор в направлении . ${\displaystyle q_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

Непрерывное распределение заряда

В этом случае также используется принцип линейной суперпозиции . Для непрерывного распределения заряда интеграл по области, содержащей заряд, эквивалентен бесконечному суммированию, рассматривающему каждый бесконечно малый элемент пространства как точечный заряд . Распределение заряда обычно линейное, поверхностное или объемное. ${\displaystyle dq}$

Для линейного распределения заряда (хорошее приближение для заряда в проводе), где дает заряд на единицу длины в положении , а — бесконечно малый элемент длины, ^[21] ${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle d\ell '}$ $${\displaystyle dq'=\lambda (\mathbf {r'} )\,d\ell '.}$$

Для поверхностного распределения заряда (хорошее приближение для заряда на пластине в плоском конденсаторе ), где дает заряд на единицу площади в положении , а — бесконечно малый элемент площади, ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle dA'}$ $${\displaystyle dq'=\sigma (\mathbf {r'} )\,dA'.}$$

Для распределения объемного заряда (например, заряда внутри объемного металла), где дает заряд на единицу объема в положении , а является бесконечно малым элементом объема, ^[20] ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle dV'}$ $${\displaystyle dq'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}$$

Сила, действующая на небольшой пробный заряд в вакууме, определяется интегралом по распределению заряда ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int dq'{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}.}$$

Версия закона Кулона о «непрерывном заряде» никогда не должна применяться к местам, для которых это место будет напрямую перекрываться с местом заряженной частицы (например, электрона или протона), что не является допустимым местом для классического анализа электрического поля или потенциала. Заряд всегда дискретен в реальности, а предположение о «непрерывном заряде» является всего лишь приближением, которое не должно позволять проводить анализ. ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$

постоянная Кулона

Константа пропорциональности , в законе Кулона: является следствием исторического выбора единиц. ^{[19] : 4–2} ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

Константа — это электрическая проницаемость вакуума . ^[22] Используя рекомендованное CODATA 2022 значение для , ^[23] постоянная Кулона ^[24] равна ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=8.987\ 551\ 7862(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} .}$$

Ограничения

Для справедливости закона обратных квадратов Кулона необходимо выполнение трех условий: ^[25]

1. Заряды должны иметь сферически симметричное распределение (например, быть точечными зарядами или заряженной металлической сферой).
2. Заряды не должны перекрываться (например, они должны быть отдельными точечными зарядами).
3. Заряды должны быть неподвижны относительно неускоряющейся системы отсчёта.

Последнее из них известно как электростатическое приближение . Когда происходит движение, вводится дополнительный фактор, который изменяет силу, действующую на два объекта. Эта дополнительная часть силы называется магнитной силой. При медленном движении магнитная сила минимальна, и закон Кулона все еще можно считать приблизительно правильным. Более точным приближением в этом случае, однако, является сила Вебера . Когда заряды движутся быстрее по отношению друг к другу или возникают ускорения, необходимо учитывать уравнения Максвелла и теорию относительности Эйнштейна .

Электрическое поле

Если два заряда имеют одинаковый знак, то электростатическая сила между ними отталкивающая; если они имеют разные знаки, то сила между ними притягивающая.

Электрическое поле — это векторное поле , которое связывает с каждой точкой пространства силу Кулона, испытываемую единичным пробным зарядом . ^[19] Сила и направление силы Кулона, действующей на заряд, зависят от электрического поля, создаваемого другими зарядами, в которых он находится, так что . В простейшем случае поле считается созданным исключительно одним источником точечного заряда . В более общем смысле, поле может быть создано распределением зарядов, которые вносят вклад в общее по принципу суперпозиции . ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\textstyle q_{t}}$ ${\textstyle \mathbf {E} }$ ${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$

Если поле создается положительным точечным зарядом источника , направление электрического поля указывает вдоль линий, направленных радиально наружу от него, т.е. в направлении, в котором положительный точечный пробный заряд будет двигаться, если его поместить в поле. Для отрицательного точечного заряда источника направление радиально внутрь. ${\textstyle q}$ ${\textstyle q_{t}}$

Величину электрического поля E можно вывести из закона Кулона. Выбрав один из точечных зарядов в качестве источника, а другой — в качестве пробного заряда, из закона Кулона следует, что величина электрического поля E, создаваемого одним точечным зарядом источника Q на определенном расстоянии от него r в вакууме, определяется выражением $${\displaystyle |\mathbf {E} |=k_{\text{e}}{\frac {|q|}{r^{2}}}}$$

Система из n дискретных зарядов, расположенных в точке, создает электрическое поле, величина и направление которого, путем суперпозиции, определяются как ${\displaystyle q_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}}$$

Атомные силы

Закон Кулона справедлив даже для атомов , правильно описывая силу между положительно заряженным атомным ядром и каждым из отрицательно заряженных электронов . Этот простой закон также правильно учитывает силы, которые связывают атомы вместе, образуя молекулы , и силы, которые связывают атомы и молекулы вместе, образуя твердые тела и жидкости. Как правило, по мере увеличения расстояния между ионами сила притяжения и энергия связи приближаются к нулю, и ионная связь становится менее благоприятной. По мере увеличения величины противоположных зарядов энергия увеличивается, и ионная связь становится более благоприятной.

Связь с законом Гаусса

Вывод закона Гаусса из закона Кулона

^{[ необходима цитата ]} Строго говоря, закон Гаусса не может быть выведен только из закона Кулона, поскольку закон Кулона дает электрическое поле, обусловленное только отдельным электростатическим точечным зарядом . Однако закон Гаусса может быть доказан из закона Кулона, если дополнительно предположить, что электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции . Принцип суперпозиции гласит, что результирующее поле является векторной суммой полей, создаваемых каждой частицей (или интегралом, если заряды равномерно распределены в пространстве).

Схема доказательства

Закон Кулона гласит, что электрическое поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом , равно: где $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$$

• e _r — радиальный единичный вектор ,
• r — радиус, | r | ,
• ε ₀ — электрическая постоянная ,
• q — заряд частицы, который предполагается находящимся в начале координат .

Используя выражение из закона Кулона, мы получаем полное поле в точке r , используя интеграл для суммирования поля в точке r, вызванного бесконечно малым зарядом в каждой другой точке s в пространстве, чтобы получить где ρ — плотность заряда. Если мы возьмем дивергенцию обеих сторон этого уравнения относительно r и воспользуемся известной теоремой ^[26] $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$где δ (r) — дельта-функция Дирака , результат равен $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

Используя « свойство просеивания » дельта-функции Дирака, приходим к дифференциальной форме закона Гаусса, как и требовалось. $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$$

Поскольку закон Кулона применим только к неподвижным зарядам, нет оснований ожидать, что закон Гаусса будет справедлив для движущихся зарядов, основываясь только на этом выводе. Фактически, закон Гаусса справедлив для движущихся зарядов, и в этом отношении закон Гаусса более общий, чем закон Кулона.

Доказательство (без дельты Дирака)

Пусть — ограниченное открытое множество, а — электрическое поле с непрерывной функцией (плотностью заряда). ${\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|^{3}}}\mathrm {d} \mathbf {r} '\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$

Это правда, несмотря на все это . ${\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

Рассмотрим теперь компактное множество, имеющее кусочно- гладкую границу, такую, что . Отсюда следует, что и, таким образом, для теоремы о расходимости: ${\displaystyle V\subseteq R^{3}}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }$ ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}$$

Но потому что , ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0}$$ для аргумента выше ( и затем ) ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

Поэтому поток через замкнутую поверхность, создаваемый некоторой плотностью заряда снаружи (поверхности), равен нулю.

Теперь рассмотрим , и как сферу с центром в , имеющую радиус (она существует, поскольку является открытым множеством). ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Omega }$

Пусть и будут электрическим полем, созданным внутри и снаружи сферы соответственно. Тогда, ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$, и ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }$$

Последнее равенство следует из того , что и приведенного выше рассуждения. ${\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }$

RHS — это электрический поток, создаваемый заряженной сферой, и поэтому:

$${\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}$$с ${\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}$

Где последнее равенство следует из теоремы о среднем значении для интегралов. Используя теорему о сжатии и непрерывность , приходим к: ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}$$

Вывод закона Кулона из закона Гаусса

Строго говоря, закон Кулона не может быть выведен только из закона Гаусса, поскольку закон Гаусса не дает никакой информации относительно ротора E ( см . разложение Гельмгольца и закон Фарадея ). Однако закон Кулона можно доказать из закона Гаусса, если дополнительно предположить, что электрическое поле от точечного заряда сферически симметрично (это предположение, как и сам закон Кулона, верно в точности, если заряд неподвижен, и приблизительно, если заряд движется).

Схема доказательства

Принимая S в интегральной форме закона Гаусса за сферическую поверхность радиуса r с центром в точечном заряде Q , имеем $${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

В предположении сферической симметрии подынтегральное выражение является константой, которую можно вынести за пределы интеграла. Результатом является где r̂ — единичный вектор, направленный радиально от заряда. Опять же в силу сферической симметрии E направлен в радиальном направлении, и поэтому мы получаем что по сути эквивалентно закону Кулона. Таким образом, зависимость электрического поля от закона обратных квадратов в законе Кулона следует из закона Гаусса. $${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$

В теории относительности

Закон Кулона может быть использован для получения представления о форме магнитного поля, создаваемого движущимися зарядами, поскольку в соответствии со специальной теорией относительности в некоторых случаях можно показать, что магнитное поле является преобразованием сил, вызванных электрическим полем . Когда в истории частицы нет ускорения, закон Кулона может быть принят для любой пробной частицы в ее собственной инерциальной системе отсчета, подкрепленный аргументами симметрии при решении уравнения Максвелла , показанного выше. Закон Кулона может быть расширен для движущихся пробных частиц, чтобы они имели ту же форму. Это предположение поддерживается законом силы Лоренца , который, в отличие от закона Кулона, не ограничивается неподвижными пробными зарядами. Считая заряд инвариантным относительно наблюдателя, электрические и магнитные поля равномерно движущегося точечного заряда могут быть, следовательно, выведены с помощью преобразования Лоренца четырех сил, действующих на пробный заряд в системе отсчета заряда, заданной законом Кулона, и приписывания магнитных и электрических полей их определениям, заданным формой силы Лоренца . ^[27] Таким образом, поля, найденные для равномерно движущихся точечных зарядов, определяются следующим образом: ^[28] где — заряд точечного источника, — радиус-вектор от точечного источника до точки в пространстве, — вектор скорости заряженной частицы, — отношение скорости заряженной частицы к скорости света, а — угол между и . $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {r} }{c^{2}}}={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Эта форма решений не обязательно должна подчиняться третьему закону Ньютона , как это имеет место в рамках специальной теории относительности (но без нарушения закона сохранения импульса релятивистской энергии). ^[29] Обратите внимание, что выражение для электрического поля сводится к закону Кулона для нерелятивистских скоростей точечного заряда и что магнитное поле в нерелятивистском пределе (приближенном ) может быть применено к электрическим токам, чтобы получить закон Био-Савара . Эти решения, выраженные в запаздывающем времени, также соответствуют общему решению уравнений Максвелла, заданному решениями потенциала Льенара-Вихерта , из-за справедливости закона Кулона в его конкретной области применения. Также обратите внимание, что сферическая симметрия для закона Гаусса для неподвижных зарядов недействительна для движущихся зарядов из-за нарушения симметрии при указании направления скорости в задаче. Согласие с уравнениями Максвелла также можно вручную проверить для двух приведенных выше уравнений. ^[30] ${\displaystyle \beta \ll 1}$

Кулоновский потенциал

Квантовая теория поля

Самая простая диаграмма Фейнмана для квантово-электродного взаимодействия между двумя фермионами

Кулоновский потенциал допускает непрерывные состояния (с E > 0), описывающие рассеяние электронов на протонах , а также дискретные связанные состояния, представляющие атом водорода. ^[31] Его также можно вывести в нерелятивистском пределе между двумя заряженными частицами следующим образом:

В приближении Борна в нерелятивистской квантовой механике амплитуда рассеяния равна: Это можно сравнить с: где мы рассматриваем (связанную) запись S-матрицы для двух электронов, рассеивающихся друг на друге, рассматривая один из них с «фиксированным» импульсом как источник потенциала, а другой рассеивается на этом потенциале. ${\textstyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-i)\int d^{3}\mathbf {r} \,V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{ikr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle }$$

Используя правила Фейнмана для вычисления элемента S-матрицы, получаем в нерелятивистском пределе ${\displaystyle m_{0}\gg |\mathbf {p} |}$ $${\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-i{\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$$

Сравнивая с рассеянием в квантовой механике, мы должны отбросить , поскольку они возникают из-за различных нормировок собственного состояния импульса в квантовой механике по сравнению с квантовой механикой, и получить: где преобразование Фурье с обеих сторон, решение интеграла и взятие в конце даст в качестве кулоновского потенциала. ^[32] ${\displaystyle (2m)^{2}}$ $${\displaystyle \int V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }d^{3}\mathbf {r} ={\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ $${\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}}$$

Однако эквивалентные результаты классических выводов Борна для задачи Кулона считаются строго случайными. ^{[33] [34]}

Потенциал Кулона и его вывод можно рассматривать как частный случай потенциала Юкавы , то есть случая, когда обмениваемый бозон – фотон – не имеет массы покоя. ^[31]

Проверка

Эксперимент по проверке закона Кулона.

Закон Кулона можно проверить с помощью простого эксперимента. Рассмотрим две маленькие сферы массой и зарядом одного знака , подвешенные на двух веревках пренебрежимо малой массы длиной . На каждую сферу действуют три силы: вес , натяжение веревки и электрическая сила . В состоянии равновесия: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle mg}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

и

Разделим ( 1 ) на ( 2 ):

Пусть — расстояние между заряженными сферами; сила отталкивания между ними , если закон Кулона верен, равна ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$

так:

Если теперь разрядить одну из сфер и привести ее в контакт с заряженной сферой, то каждая из них приобретет заряд . В состоянии равновесия расстояние между зарядами будет равно , а сила отталкивания между ними будет равна: ${\textstyle {\frac {q}{2}}}$ ${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$

Мы знаем, что и: Разделив ( 4 ) на ( 5 ), получаем: ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$ $${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$$

Измерение углов и и расстояния между зарядами и достаточно для проверки того, что равенство верно с учетом экспериментальной погрешности. На практике углы могут быть трудноизмеримы, поэтому, если длина веревок достаточно велика, углы будут достаточно малы, чтобы сделать следующее приближение: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$

Используя это приближение, соотношение ( 6 ) становится гораздо более простым выражением:

Таким образом, проверка ограничивается измерением расстояния между зарядами и проверкой того, что деление приблизительно соответствует теоретическому значению.

Смотрите также

• Портал электроники

• Закон Био-Савара
• Лагранжиан Дарвина
• Электромагнитная сила
• Закон Гаусса
• Метод графических зарядов
• Молекулярное моделирование
• Закон всемирного тяготения Ньютона , который использует похожую структуру, но для массы вместо заряда
• Статические силы и обмен виртуальными частицами
• эффект Казимира

Ссылки

1. Huray, Paul G. (2010). Уравнения Максвелла . Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 8, 57. ISBN 978-0-470-54991-9. OCLC  739118459.
2. Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (2013). Основы физики . John Wiley & Sons. стр. 609, 611. ISBN 9781118230718.
3. Роллер, Дуэйн; Роллер, ДХД (1954). Развитие концепции электрического заряда: электричество от греков до Кулона . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета . стр. 79.
4. Кулон (1785). «Premier mémoire sur l'électricité et le Magnetisme» [Первая диссертация по электричеству и магнетизму]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences [ История Королевской академии наук ] (на французском языке). стр. 569–577.
5. Кулон (1785). «Второй мемуар о электричестве и магнетизме» [Вторая диссертация по электричеству и магнетизму]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences [ История Королевской академии наук ] (на французском языке). стр. 578–611. В результате этих трех эссе, отталкивающее действие двух шариков, наэлектризованных в природе, вызывает напряжение в другом месте, соответствует обратному разуму расстояний.
6. Purcell, Edward M. (21 января 2013 г.). Электричество и магнетизм (3-е изд.). Кембридж. ISBN 9781107014022.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Cork, CR (2015). «Проводящие волокна для электронного текстиля». Electronic Textiles : 3–20. doi :10.1016/B978-0-08-100201-8.00002-3. ISBN 9780081002018.
8. Stewart, Joseph (2001). Промежуточная электромагнитная теория . World Scientific. стр. 50. ISBN 978-981-02-4471-2.
9. Симпсон, Брайан (2003). Электростимуляция и облегчение боли . Elsevier Health Sciences. стр. 6–7. ISBN 978-0-444-51258-1.
10. Бэйгри, Брайан (2007). Электричество и магнетизм: историческая перспектива . Greenwood Press. стр. 7–8. ISBN 978-0-313-33358-3.
11. Чалмерс, Гордон (1937). «Магнит и понимание материи в Англии семнадцатого века». Философия науки . 4 (1): 75–95. doi :10.1086/286445. S2CID  121067746.
12. Социн, Абель (1760). Acta Helvetica Physico-Mathematico-Anatomico-Botanico-Medica (на латыни). Том. 4. Базилеи. стр. 224–25.
13. Хейлброн, Дж. Л. (1979). Электричество в 17-м и 18-м веках: исследование ранней современной физики. Лос-Анджелес, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета. С. 460–462 и 464 (включая сноску 44). ISBN 978-0486406886.
14. Шофилд, Роберт Э. (1997). Просвещение Джозефа Пристли: исследование его жизни и творчества с 1733 по 1773 год . University Park: Pennsylvania State University Press. стр. 144–56. ISBN 978-0-271-01662-7.
15. Пристли, Джозеф (1767). История и современное состояние электричества с оригинальными экспериментами. Лондон, Англия. стр. 732.
16. Эллиотт, Роберт С. (1999). Электромагнетизм: история, теория и применение. Wiley. ISBN 978-0-7803-5384-8. Архивировано из оригинала 2014-03-10 . Получено 2009-10-17 .
17. Робинсон, Джон (1822). Мюррей, Джон (ред.). Система механической философии. Т. 4. Лондон, Англия: Напечатано для Дж. Мюррея.
18. Максвелл, Джеймс Клерк, ред. (1967) [1879]. «Эксперименты по электричеству: экспериментальное определение закона электрической силы». Электрические исследования достопочтенного Генри Кавендиша... (1-е изд.). Кембридж, Англия: Cambridge University Press. стр. 104–113.
19. Фейнман, Ричард П. (1970). Лекции Фейнмана по физике, том II. Эддисон-Уэсли. ISBN 9780201021158.
20. Fitzpatrick, Richard (2006-02-02). "Закон Кулона". Техасский университет. Архивировано из оригинала 2015-07-09 . Получено 2007-11-30 .
21. "Заряженные стержни". PhysicsLab.org . Архивировано из оригинала 2014-10-10 . Получено 2007-11-06 .
22. Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., стр. 15, ISBN 978-92-822-2272-0
23. "2022 CODATA Value: vacuum electric diptency". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Архивировано из оригинала 24.06.2024 . Получено 27.10.2024 .
24. Serway, Raymond A.; Jewett, John W., Jr. (2014). «Некоторые физические константы». Физика для ученых и инженеров (девятое изд.). Cengage Learning. Внутренняя обложка. ISBN 978-1-133-95405-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
25. W. Shao; B. Jiang; JK Lv (2015). «Обсуждение инноваций в преподавании физики: пример закона Кулона». В Dawei Zheng (ред.). Education Management and Management Science . CRC Press. стр. 465–468. doi :10.1201/b18636-105. ISBN 978-0-429-22704-2.
26. См., например, Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (4-е изд.). Prentice Hall. стр. 50.или Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 35.
27. Россер, WGV (1968). Классический электромагнетизм через теорию относительности. С. 29–42. doi :10.1007/978-1-4899-6559-2. ISBN 978-1-4899-6258-4. Архивировано из оригинала 2022-10-09 . Получено 2022-10-09 .
28. Хевисайд, Оливер (1894). Электромагнитные волны, распространение потенциала и электромагнитные эффекты движущегося заряда. Архивировано из оригинала 2022-10-09 . Получено 2022-10-09 .
29. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. стр. 517. ISBN 0-13-805326-X. OCLC  40251748.
30. Перселл, Эдвард (2011-09-22). Электричество и магнетизм. Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9781139005043. ISBN 978-1-107-01360-5. Архивировано из оригинала 2023-12-30 . Получено 2022-10-09 .
31. Griffiths, David J. (16 августа 2018 г.). Введение в квантовую механику (Третье изд.). Кембридж, Великобритания. ISBN 978-1-107-18963-8.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
32. "Quantum Field Theory I + II" (PDF) . Institute for Theoretical Physics, Heidelberg University . Архивировано (PDF) из оригинала 2021-05-04 . Получено 2020-09-24 .
33. Baym, Gordon (2018). Лекции по квантовой механике . Бока-Ратон. ISBN 978-0-429-49926-5. OCLC  1028553174.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
34. Gould, Robert J. (21 июля 2020 г.). Электромагнитные процессы . Принстон, Нью-Джерси ISBN 978-0-691-21584-6. OCLC  1176566442.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Спавьери, Г., Джиллис, Г. Т. и Родригес, М. (2004). Физические следствия закона Кулона. Metrologia, 41(5), S159–S170. doi:10.1088/0026-1394/41/5/s06 

Связанное чтение

• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. «Премьер-мемуар о электричестве и магнетизме». История Королевской академии наук . Импримери Рояль. стр. 569–577.
• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. «Второй мемуар о электричестве и магнетизме». История Королевской академии наук . Импримери Рояль. стр. 578–611.
• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. «Тройная память о электричестве и магнетизме». История Королевской академии наук . Импримери Рояль. стр. 612–638.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Тамм, Игорь Е. (1979) [1976]. Основы теории электричества (9-е изд.). М.: Мир. С. 23–27.
• Типлер, Пол А.; Моска, Джин (2008). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-8964-2. LCCN  2007010418.
• Янг, Хью Д.; Фридман, Роджер А. (2010). Университетская физика Сирса и Земански: с современной физикой (13-е изд.). Addison-Wesley (Pearson). ISBN 978-0-321-69686-1.

Внешние ссылки

• Закон Кулона в проекте PHYSNET
• Электричество и атом Архивировано 21.02.2009 в Wayback Machine — глава из онлайн-учебника
• Игра-лабиринт для изучения закона Кулона — игра, созданная с помощью программного обеспечения Molecular Workbench
• Электрические заряды, поляризация, электрическая сила, закон Кулона Уолтер Левин, 8.02 Электричество и магнетизм, весна 2002 г.: Лекция 1 (видео). MIT OpenCourseWare. Лицензия: Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike.