Принцип суперпозиции

Фундаментальный физический принцип, утверждающий, что физические решения линейных систем линейны.

Суперпозиция почти плоских волн (диагональных линий) от удаленного источника и волн от следа уток . Линейность сохраняется только приблизительно в воде и только для волн с малыми амплитудами относительно их длин волн.

Качающееся движение как суперпозиция двух движений. Качающееся движение колеса можно описать как комбинацию двух отдельных движений: поступательного движения без вращения и вращения без поступательного движения.

Принцип суперпозиции ^[1] , также известный как свойство суперпозиции , утверждает, что для всех линейных систем чистый ответ, вызванный двумя или более стимулами, является суммой ответов, которые были бы вызваны каждым стимулом в отдельности. Так что если вход A производит ответ X , а вход B производит ответ Y , то вход ( A + B ) производит ответ ( X + Y ).

Функция , удовлетворяющая принципу суперпозиции, называется линейной функцией . Суперпозиция может быть определена двумя более простыми свойствами: аддитивностью и однородностью для скаляра a . ${\displaystyle F(x)}$ $${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})}$$ $${\displaystyle F(ax)=aF(x)}$$

Этот принцип имеет множество приложений в физике и технике, поскольку многие физические системы можно моделировать как линейные системы. Например, балку можно моделировать как линейную систему, где входным стимулом является нагрузка на балку, а выходным откликом — отклонение балки. Важность линейных систем заключается в том, что их легче анализировать математически; существует большой набор математических методов, методов линейного преобразования в частотной области, таких как преобразования Фурье и Лапласа , и теории линейных операторов , которые применимы. Поскольку физические системы, как правило, лишь приблизительно линейны, принцип суперпозиции является лишь приближением истинного физического поведения.

Принцип суперпозиции применим к любой линейной системе, включая алгебраические уравнения , линейные дифференциальные уравнения и системы уравнений этих форм. Стимулы и реакции могут быть числами, функциями, векторами, векторными полями , изменяющимися во времени сигналами или любым другим объектом, который удовлетворяет определенным аксиомам . Обратите внимание, что когда задействованы векторы или векторные поля, суперпозиция интерпретируется как векторная сумма . Если суперпозиция выполняется, то она автоматически выполняется и для всех линейных операций, применяемых к этим функциям (из-за определения), таких как градиенты, дифференциалы или интегралы (если они существуют).

Связь с анализом Фурье и аналогичными методами

Записывая очень общий стимул (в линейной системе) в виде суперпозиции стимулов конкретной и простой формы, часто становится проще вычислить реакцию.

Например, в анализе Фурье стимул записывается как суперпозиция бесконечного числа синусоид . Благодаря принципу суперпозиции каждую из этих синусоид можно анализировать отдельно, и можно вычислить ее индивидуальный ответ. (Ответ сам по себе является синусоидой с той же частотой, что и стимул, но, как правило, с другой амплитудой и фазой .) Согласно принципу суперпозиции, ответ на исходный стимул является суммой (или интегралом) всех отдельных синусоидальных ответов.

В качестве другого распространенного примера можно привести анализ функции Грина , в котором стимул записывается как суперпозиция бесконечного числа импульсных функций , а реакция затем является суперпозицией импульсных реакций .

Анализ Фурье особенно распространен для волн . Например, в электромагнитной теории обычный свет описывается как суперпозиция плоских волн (волн фиксированной частоты , поляризации и направления). Пока принцип суперпозиции выполняется (что часто, но не всегда; см. нелинейную оптику ), поведение любой световой волны можно понимать как суперпозицию поведения этих более простых плоских волн .

Волновая суперпозиция

Две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях через одну и ту же среду, объединяются линейно. В этой анимации обе волны имеют одинаковую длину волны, а сумма амплитуд дает стоячую волну .

две волны проникают, не влияя друг на друга

Волны обычно описываются изменениями некоторых параметров в пространстве и времени, например, высоты в волне на воде, давления в звуковой волне или электромагнитного поля в световой волне. Значение этого параметра называется амплитудой волны , а сама волна является функцией, определяющей амплитуду в каждой точке.

В любой системе с волнами форма волны в данный момент времени является функцией источников ( т. е. внешних сил, если таковые имеются, которые создают или влияют на волну) и начальных условий системы. Во многих случаях (например, в классическом волновом уравнении ) уравнение, описывающее волну, является линейным. Когда это верно, можно применить принцип суперпозиции. Это означает, что чистая амплитуда, вызванная двумя или более волнами, пересекающими одно и то же пространство, является суммой амплитуд, которые были бы созданы отдельными волнами по отдельности. Например, две волны, движущиеся навстречу друг другу, пройдут друг сквозь друга без каких-либо искажений с другой стороны. (См. изображение вверху.)

Дифракция волн против интерференции волн

Относительно суперпозиции волн Ричард Фейнман писал: ^[2]

Никто никогда не мог удовлетворительно определить разницу между интерференцией и дифракцией. Это всего лишь вопрос использования, и между ними нет особой, важной физической разницы. Лучшее, что мы можем сделать, грубо говоря, это сказать, что когда интерферируют всего несколько источников, скажем, два, то результат обычно называется интерференцией, но если их много, то, кажется, чаще используется слово дифракция.

Другие авторы поясняют: ^[3]

Разница заключается в удобстве и условности. Если волны, которые должны быть наложены, исходят из нескольких когерентных источников, скажем, двух, эффект называется интерференцией. С другой стороны, если волны, которые должны быть наложены, исходят из подразделения волнового фронта на бесконечно малые когерентные вейвлеты (источники), эффект называется дифракцией. То есть разница между этими двумя явлениями [заключается] только в степени, и по сути, это два предельных случая эффектов суперпозиции.

Еще один источник соглашается: ^[4]

Поскольку интерференционные полосы, наблюдаемые Юнгом, были дифракционной картиной двойной щели, эта глава [Дифракция Фраунгофера] является, следовательно, продолжением главы 8 [Интерференция]. С другой стороны, немногие оптики будут рассматривать интерферометр Майкельсона как пример дифракции. Некоторые из важных категорий дифракции связаны с интерференцией, которая сопровождает разделение волнового фронта, поэтому наблюдение Фейнмана в некоторой степени отражает трудности, которые мы можем испытывать при различении разделения амплитуды и разделения волнового фронта.

Интерференция волн

На этой идее основано явление интерференции между волнами. Когда две или более волн пересекают одно и то же пространство, чистая амплитуда в каждой точке является суммой амплитуд отдельных волн. В некоторых случаях, например, в шумоподавляющих наушниках , суммированное изменение имеет меньшую амплитуду , чем компонентные изменения; это называется деструктивной интерференцией . В других случаях, например, в линейном массиве , суммированное изменение будет иметь большую амплитуду, чем любой из компонентов по отдельности; это называется конструктивной интерференцией .

зеленая волна распространяется вправо, а синяя волна распространяется влево, чистая амплитуда красной волны в каждой точке представляет собой сумму амплитуд отдельных волн.

Отклонения от линейности

В большинстве реалистичных физических ситуаций уравнение, описывающее волну, лишь приблизительно линейно. В этих ситуациях принцип суперпозиции выполняется лишь приблизительно. Как правило, точность приближения повышается по мере уменьшения амплитуды волны. Примеры явлений, возникающих, когда принцип суперпозиции выполняется неточно, см. в статьях нелинейная оптика и нелинейная акустика .

Квантовая суперпозиция

В квантовой механике основной задачей является вычисление того, как распространяется и ведет себя определенный тип волны. Волна описывается волновой функцией , а уравнение, управляющее ее поведением, называется уравнением Шредингера . Основной подход к вычислению поведения волновой функции заключается в ее записи в виде суперпозиции (называемой « квантовой суперпозицией ») (возможно, бесконечного числа) других волновых функций определенного типа — стационарных состояний , поведение которых особенно просто. Поскольку уравнение Шредингера линейно, поведение исходной волновой функции может быть вычислено с помощью принципа суперпозиции таким образом. ^[5]

Проективная природа пространства квантово-механических состояний вызывает некоторую путаницу, поскольку квантово-механическое состояние является лучом в проективном гильбертовом пространстве , а не вектором . Согласно Дираку : « если кет-вектор, соответствующий состоянию, умножить на любое комплексное число, отличное от нуля, то полученный кет-вектор будет соответствовать тому же состоянию [курсив в оригинале]». ^[6] Однако сумма двух лучей для составления суперпозиционного луча не определена. В результате сам Дирак использует кет-векторные представления состояний для разложения или расщепления, например, кет-вектора на суперпозицию компонентных кет-векторов как: где . Класс эквивалентности позволяет придать вполне определенное значение относительным фазам ., ^[7] но абсолютное (одинаковое количество для всех ) изменение фазы на не влияет на класс эквивалентности . ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{j}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =\sum _{j}{C_{j}}|\phi _{j}\rangle ,}$$ ${\displaystyle C_{j}\in {\textbf {C}}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Существуют точные соответствия между суперпозицией, представленной в основном на этой странице, и квантовой суперпозицией. Например, сфера Блоха для представления чистого состояния двухуровневой квантово-механической системы ( кубита ) также известна как сфера Пуанкаре, представляющая различные типы классических чистых поляризационных состояний.

Тем не менее, по поводу квантовой суперпозиции Крамерс пишет: «Принцип [квантовой] суперпозиции... не имеет аналогии в классической физике» ^{[ необходима ссылка ]} . По словам Дирака : « суперпозиция, которая имеет место в квантовой механике, по своей природе существенно отличается от любой другой, встречающейся в классической теории [курсив в оригинале]». ^[8] Хотя рассуждения Дирака включают атомарность наблюдения, что справедливо, что касается фазы, они на самом деле подразумевают симметрию фазового переноса, полученную из симметрии временного переноса , которая также применима к классическим состояниям, как показано выше с классическими поляризационными состояниями.

Краевые задачи

Распространенным типом краевой задачи является (абстрактно говоря) нахождение функции y , которая удовлетворяет некоторому уравнению с некоторой граничной спецификацией. Например, в уравнении Лапласа с граничными условиями Дирихле F будет оператором Лапласа в области R , G будет оператором, ограничивающим y границей R , а z будет функцией, которой y должен быть равен на границе R. $${\displaystyle F(y)=0}$$ $${\displaystyle G(y)=z.}$$

В случае, если F и G являются линейными операторами, то принцип суперпозиции гласит, что суперпозиция решений первого уравнения является другим решением первого уравнения: в то время как граничные значения суперпозируют: Используя эти факты, если можно составить список решений первого уравнения, то эти решения можно аккуратно поместить в суперпозицию так, чтобы она удовлетворяла второму уравнению. Это один из распространенных методов подхода к граничным задачам. $${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0,}$$ $${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2}).}$$

Аддитивное разложение состояния

Рассмотрим простую линейную систему: $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}.}$$

По принципу суперпозиции систему можно разложить на $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

Принцип суперпозиции доступен только для линейных систем. Однако аддитивное разложение состояний может быть применено как к линейным, так и к нелинейным системам. Далее рассмотрим нелинейную систему, где — нелинейная функция. С помощью аддитивного разложения состояний система может быть аддитивно разложена на с $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x\right),\qquad x(0)=x_{0},}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2}\right)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

Такая декомпозиция может помочь упростить конструкцию контроллера.

Другие примеры приложений

• В электротехнике , в линейной цепи , вход (приложенный сигнал напряжения, изменяющийся во времени) связан с выходом (током или напряжением в любой точке цепи) линейным преобразованием. Таким образом, суперпозиция (т. е. сумма) входных сигналов даст суперпозицию ответов.
• В физике уравнения Максвелла подразумевают, что (возможно, изменяющиеся во времени) распределения зарядов и токов связаны с электрическими и магнитными полями линейным преобразованием. Таким образом, принцип суперпозиции может быть использован для упрощения вычисления полей, возникающих из заданного распределения заряда и тока. Принцип также применим к другим линейным дифференциальным уравнениям, возникающим в физике, таким как уравнение теплопроводности .
• В машиностроении суперпозиция используется для решения задач прогибов балок и конструкций под действием комбинированных нагрузок, когда эффекты линейны (т. е. каждая нагрузка не влияет на результаты других нагрузок, а эффект каждой нагрузки не изменяет существенно геометрию структурной системы). ^[9] Метод суперпозиции мод использует собственные частоты и формы мод для характеристики динамического отклика линейной конструкции. ^[10]
• В гидрогеологии принцип суперпозиции применяется к дебиту двух или более скважин, работающих в идеальном водоносном горизонте . Этот принцип используется в методе аналитического элемента для разработки аналитических элементов, которые можно объединить в одну модель.
• В управлении процессами принцип суперпозиции используется в управлении с помощью модели прогнозирования .
• Принцип суперпозиции может применяться, когда небольшие отклонения от известного решения нелинейной системы анализируются путем линеаризации .

История

Согласно Леону Бриллюэну , принцип суперпозиции был впервые сформулирован Даниилом Бернулли в 1753 году: «Общее движение вибрирующей системы задается суперпозицией ее собственных колебаний». Принцип был отвергнут Леонардом Эйлером , а затем Жозефом Лагранжем . Бернулли утверждал, что любое звучащее тело может вибрировать в серии простых мод с четко определенной частотой колебаний. Как он ранее указывал, эти моды могут быть наложены друг на друга, чтобы производить более сложные колебания. В своей реакции на мемуары Бернулли Эйлер похвалил своего коллегу за то, что он лучше всех разработал физическую часть проблемы вибрирующих струн, но отрицал общность и превосходство многомодового решения. ^[11]

Позднее это стало общепринятым, во многом благодаря работам Жозефа Фурье . ^[12]

Смотрите также

• Аддитивное разложение состояния
• Бит (акустика)
• Когерентность (физика)
• Свертка
• Функция Грина
• Импульсный ответ
• Вмешательство
• Квантовая суперпозиция

Ссылки

1. Словарь физики Penguin, под ред. Валери Иллингворт, 1991, Penguin Books, Лондон.
2. Лекции по физике, том 1, 1963, стр. 30-1, Addison Wesley Publishing Company Reading, Массачусетс [1]
3. NK VERMA, Физика для инженеров , PHI Learning Pvt. Ltd., 18 октября 2013 г., стр. 361. [2]
4. Тим Фригард, Введение в физику волн , Cambridge University Press, 8 ноября 2012 г. [3]
5. Квантовая механика, Kramers, HA издательство Dover, 1957, стр. 62 ISBN  978-0-486-66772-0
6. Дирак, П. А. М. (1958). Принципы квантовой механики , 4-е издание, Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press, стр. 17.
7. Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). «Понимание геометрических фаз в квантовой механике: элементарный пример». Foundations of Physics . 23 (2): 185–195. Bibcode :1993FoPh...23..185S. ​​doi :10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
8. Дирак, П. А. М. (1958). Принципы квантовой механики , 4-е издание, Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press, стр. 14.
9. Проектирование машиностроения, Джозеф Эдвард Шигли, Чарльз Р. Мишке, Ричард Гордон Будинас, Опубликовано в 2004 McGraw-Hill Professional, стр. 192 ISBN 0-07-252036-1 
10. Процедуры конечных элементов, Bathe, KJ, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, стр. 785 ISBN 0-13-301458-4 
11. Темы по численным методам распространения волн, Баскский центр прикладной математики, 2012, Испания, стр. 39
12. Бриллюэн, Л. (1946). Распространение волн в периодических структурах: электрические фильтры и кристаллические решетки , McGraw–Hill, Нью-Йорк, стр. 2.

Дальнейшее чтение

• Хаберман, Ричард (2004). Прикладные уравнения в частных производных . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-065243-0.
• Суперпозиция звуковых волн

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с принципом суперпозиции на Wikimedia Commons
• Словарное определение слова «помеха» в Викисловаре