Нелинейная оптика

Раздел физики

Структура кристалла КТР , вид по оси b, используемая при генерации второй гармоники.

Нелинейная оптика ( NLO ) — раздел оптики , описывающий поведение света в нелинейных средах, то есть средах, в которых плотность поляризации P нелинейно реагирует на электрическое поле E света. Нелинейность обычно наблюдается только при очень высоких интенсивностях света (когда электрическое поле света >10 ⁸ В/м и, таким образом, сравнимо с атомным электрическим полем ~10 ¹¹ В/м), например, при использовании лазеров . Выше предела Швингера ожидается, что сам вакуум станет нелинейным. В нелинейной оптике принцип суперпозиции больше не выполняется. ^{[1] [2] [3]}

История

Первым нелинейным оптическим эффектом, который был предсказан, было двухфотонное поглощение , описанное Марией Гепперт Майер в ее докторской диссертации в 1931 году, но оно оставалось неисследованным теоретическим курьезом до 1961 года и почти одновременного наблюдения двухфотонного поглощения в Bell Labs ^[4] и открытия генерации второй гармоники Питером Франкеном и др. в Мичиганском университете , оба вскоре после создания первого лазера Теодором Майманом . ^[5] Однако некоторые нелинейные эффекты были обнаружены до разработки лазера. ^[6] Теоретическая основа многих нелинейных процессов была впервые описана в монографии Бломбергена «Нелинейная оптика». [ ^7]

Нелинейные оптические процессы

Нелинейная оптика объясняет нелинейный отклик таких свойств, как частота , поляризация, фаза или путь падающего света. ^[5] Эти нелинейные взаимодействия приводят к появлению множества оптических явлений:

Процессы смешивания частот

• Генерация второй гармоники (ГВГ), или удвоение частоты , генерация света с удвоенной частотой (вдвое меньшей длины волны), два фотона разрушаются, создавая один фотон с удвоенной частотой.
• Генерация третьей гармоники (ГТГ), генерация света с утроенной частотой (втрое меньшей длины волны), три фотона разрушаются, создавая один фотон с утроенной частотой.
• Генерация высоких гармоник (ГВГ), генерация света с частотами, значительно превышающими исходные (обычно в 100–1000 раз).
• Генерация суммарной частоты (СЧГ), генерация света с частотой, которая является суммой двух других частот (ГВГ является частным случаем этого).
• Генерация разностной частоты (ГРЧ), генерация света с частотой, которая представляет собой разность двух других частот.
• Оптическое параметрическое усиление (ОПУ), усиление входного сигнала в присутствии более высокочастотной волны накачки с одновременной генерацией холостой волны (можно рассматривать как ГРЧ).
• Оптическая параметрическая генерация (ОПГ), генерация сигнальной и холостой волны с использованием параметрического усилителя в резонаторе (без входного сигнала).
• Оптическая параметрическая генерация (ОПГ), похожая на параметрическую генерацию, но без резонатора, с использованием очень высокого усиления.
• Генерация полугармоник , частный случай OPO или OPG, когда сигнал и холостой ход вырождаются в одну единственную частоту,
• Спонтанное параметрическое понижение частоты (SPDC), усиление вакуумных колебаний в режиме низкого усиления.
• Оптическое выпрямление (ОР), генерация квазистатических электрических полей.
• Нелинейное взаимодействие света и материи со свободными электронами и плазмой. ^{[8] [9] [10] [11]}

Другие нелинейные процессы

• Оптический эффект Керра , показатель преломления, зависящий от интенсивности ( эффект). ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$
• Самофокусировка — эффект, обусловленный оптическим эффектом Керра (и, возможно, нелинейностями более высокого порядка), вызванный пространственным изменением интенсивности, создающим пространственное изменение показателя преломления.
• Синхронизация мод с помощью линзы Керра (KLM), использование самофокусировки в качестве механизма синхронизации мод лазера.
• Фазовая самомодуляция (ССМ) — эффект, обусловленный оптическим эффектом Керра (и, возможно, нелинейностями более высокого порядка), вызванный временным изменением интенсивности, создающим временное изменение показателя преломления.
• Оптические солитоны — равновесное решение для оптического импульса (временной солитон) или пространственной моды (пространственный солитон), которое не изменяется во время распространения из-за баланса между дисперсией и эффектом Керра (например, самофазовая модуляция для временных и самофокусировка для пространственных солитонов).
• Самодифракция, расщепление лучей в процессе многоволнового смешения с потенциальной передачей энергии. ^[12]
• Кросс-фазовая модуляция (XPM), при которой одна длина волны света может влиять на фазу другой длины волны света посредством оптического эффекта Керра.
• Четырехволновое смешение (ЧВС) может также возникать из-за других нелинейностей.
• Генерация кросс-поляризованных волн (XPW) — эффект, при котором генерируется волна с вектором поляризации, перпендикулярным входному. ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$
• Модуляционная неустойчивость . ^[13]
• Рамановское усиление ^[14]
• Оптическое обращение волнового фронта .
• Вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна , взаимодействие фотонов с акустическими фононами
• Многофотонное поглощение — одновременное поглощение двух или более фотонов, передающее энергию одному электрону.
• Множественная фотоионизация , почти одновременное удаление многих связанных электронов одним фотоном.
• Хаос в оптических системах .

Связанные процессы

В этих процессах среда имеет линейную реакцию на свет, но на свойства среды влияют и другие причины:

• Эффект Поккельса , показатель преломления зависит от статического электрического поля; используется в электрооптических модуляторах .
• Акустооптика , показатель преломления зависит от акустических волн (ультразвука); используется в акустооптических модуляторах .
• Рамановское рассеяние света , взаимодействие фотонов с оптическими фононами .

Параметрические процессы

Нелинейные эффекты делятся на две качественно различные категории: параметрические и непараметрические. Параметрическая нелинейность — это взаимодействие, при котором квантовое состояние нелинейного материала не изменяется при взаимодействии с оптическим полем. Вследствие этого процесс является «мгновенным». Энергия и импульс сохраняются в оптическом поле, что делает фазовое согласование важным и зависящим от поляризации. ^{[15] [16]}

Теория

Параметрические и «мгновенные» (т.е. материал должен быть без потерь и без дисперсии согласно соотношениям Крамерса–Кронига ) нелинейные оптические явления, в которых оптические поля не слишком велики , можно описать с помощью разложения в ряд Тейлора плотности диэлектрической поляризации ( электрического дипольного момента на единицу объема) P ( t ) в момент времени t через электрическое поле E ( t ):

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}\mathbf {E} (t)+\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t)+\chi ^{(3)}\mathbf {E} ^{3}(t)+\ldots \right),}$

где коэффициенты χ ^{( n )} являются восприимчивостями среды n -го порядка , а наличие такого члена обычно называют нелинейностью n -го порядка. Обратите внимание, что плотность поляризации P ( t ) и электрическое поле E ( t ) считаются скалярными для простоты. В общем случае χ ^{( n )} является тензором ( n  + 1)-го ранга , представляющим как зависящую от поляризации природу параметрического взаимодействия, так и симметрии (или их отсутствие) нелинейного материала.

Волновое уравнение в нелинейном материале

Центральным в изучении электромагнитных волн является волновое уравнение . Исходя из уравнений Максвелла в изотропном пространстве, не содержащем свободного заряда, можно показать, что

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} +{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}},}$

где P ^NL — нелинейная часть плотности поляризации , а n — показатель преломления , который получается из линейного члена в P.

Обратите внимание, что обычно можно использовать векторное тождество

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$

и закон Гаусса (предполагая отсутствие свободных зарядов ), ${\displaystyle \rho _{\text{free}}=0}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =0,}$

чтобы получить более знакомое волновое уравнение

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =\mathbf {0} .}$

Для нелинейной среды закон Гаусса не подразумевает, что тождество

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$

в общем случае верно, даже для изотропной среды. Однако, даже когда этот член не тождественно равен 0, он часто пренебрежимо мал и, таким образом, на практике обычно игнорируется, давая нам стандартное нелинейное волновое уравнение:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}.}$

Нелинейности как процесс смешения волн

Нелинейное волновое уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением. Общее решение получается из изучения обыкновенных дифференциальных уравнений и может быть получено с использованием функции Грина . Физически можно получить нормальные электромагнитные волновые решения для однородной части волнового уравнения:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =\mathbf {0} ,}$

и неоднородный термин

${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}}$

действует как драйвер/источник электромагнитных волн. Одним из последствий этого является нелинейное взаимодействие, которое приводит к смешению или связыванию энергии между различными частотами, что часто называют «волновым смешиванием».

В общем случае нелинейность n -го порядка приведет к ( n  + 1)-волновому смешению. Например, если рассматривать только нелинейность второго порядка (трехволновое смешение), то поляризация P примет вид

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\text{NL}}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t).}$

_Если предположить, что E ( t ) состоит из двух компонентов на частотах ω1 и ω2 , _то мы можем записать E ( t ) как

${\displaystyle \mathbf {E} (t)=E_{1}\cos(\omega _{1}t)+E_{2}\cos(\omega _{2}t),}$

и используя формулу Эйлера для преобразования в экспоненты,

${\displaystyle \mathbf {E} (t)={\frac {1}{2}}E_{1}e^{-i\omega _{1}t}+{\frac {1}{2}}E_{2}e^{-i\omega _{2}t}+{\text{c.c.}},}$

где "cc" означает комплексно сопряженное . Подставляя это в выражение для P , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} ^{\text{NL}}&=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t)\\[3pt]&={\frac {\varepsilon _{0}}{4}}\chi ^{(2)}\left[{E_{1}}^{2}e^{-i2\omega _{1}t}+{E_{2}}^{2}e^{-i2\omega _{2}t}+2E_{1}E_{2}e^{-i(\omega _{1}+\omega _{2})t}+2E_{1}{E_{2}}^{*}e^{-i(\omega _{1}-\omega _{2})t}+\left(\left|E_{1}\right|^{2}+\left|E_{2}\right|^{2}\right)e^{0}+{\text{c.c.}}\right],\end{aligned}}}$

который имеет частотные компоненты при 2 ω ₁ , 2 ω ₂ , ω ₁  +  ω ₂ , ω ₁  −  ω ₂ и 0. Эти трехволновые процессы смешения соответствуют нелинейным эффектам, известным как генерация второй гармоники , генерация суммарной частоты , генерация разностной частоты и оптическое выпрямление соответственно.

Примечание: Параметрическая генерация и усиление — это разновидность генерации разностной частоты, где нижняя частота одного из двух генерирующих полей значительно слабее (параметрическое усиление) или вообще отсутствует (параметрическая генерация). В последнем случае инициатором процесса является фундаментальная квантово-механическая неопределенность в электрическом поле.

Фазовое согласование

Большинство прозрачных материалов, таких как стекло BK7, показанное здесь, имеют нормальную дисперсию : показатель преломления монотонно уменьшается как функция длины волны (или увеличивается как функция частоты). Это делает невозможным согласование фаз в большинстве процессов смешения частот. Например, в SHG нет одновременного решения для и в этих материалах. Двулучепреломляющие материалы избегают этой проблемы, имея два показателя преломления одновременно. ^[17] ${\displaystyle \omega '=2\omega }$ ${\displaystyle \mathbf {k} '=2\mathbf {k} }$

Вышеизложенное игнорирует зависимость электрических полей от положения. В типичной ситуации электрические поля представляют собой бегущие волны, описываемые

${\displaystyle E_{j}(\mathbf {x} ,t)=E_{j,0}e^{i(\mathbf {k} _{j}\cdot \mathbf {x} -\omega _{j}t)}+{\text{c.c.}}}$

в положении , с волновым вектором , где - скорость света в вакууме, а - показатель преломления среды на угловой частоте . Таким образом, поляризация второго порядка на угловой частоте равна ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {k} _{j}\|=\mathbf {n} (\omega _{j})\omega _{j}/c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\omega _{j})}$ ${\displaystyle \omega _{j}}$ ${\displaystyle \omega _{3}=\omega _{1}+\omega _{2}}$

${\displaystyle P^{(2)}(\mathbf {x} ,t)\propto E_{1}^{n_{1}}E_{2}^{n_{2}}e^{i[(\mathbf {k} _{1}+\mathbf {k} _{2})\cdot \mathbf {x} -\omega _{3}t]}+{\text{c.c.}}}$

В каждом положении внутри нелинейной среды осциллирующая поляризация второго порядка излучается с угловой частотой и соответствующим волновым вектором . Конструктивная интерференция и, следовательно, поле высокой интенсивности возникнут только в том случае, если ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \omega _{3}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {k} _{3}\|=\mathbf {n} (\omega _{3})\omega _{3}/c}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$

${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}_{3}={\vec {\mathbf {k} }}_{1}+{\vec {\mathbf {k} }}_{2}.}$

Вышеприведенное уравнение известно как условие фазового согласования . Обычно трехволновое смешение выполняется в двулучепреломляющем кристаллическом материале, где показатель преломления зависит от поляризации и направления проходящего света. Поляризации полей и ориентация кристалла выбираются таким образом, чтобы выполнялось условие фазового согласования. Этот метод фазового согласования называется настройкой угла. Обычно кристалл имеет три оси, одна или две из которых имеют другой показатель преломления, чем другие. Одноосные кристаллы, например, имеют одну предпочтительную ось, называемую необыкновенной (e) осью, в то время как другие две являются обыкновенными осями (o) (см. кристаллооптику ). Существует несколько схем выбора поляризаций для этого типа кристалла. Если сигнал и холостой имеют одинаковую поляризацию, это называется «фазовым согласованием типа I», а если их поляризации перпендикулярны, это называется «фазовым согласованием типа II». Однако существуют и другие соглашения, которые дополнительно определяют, какая частота имеет какую поляризацию относительно оси кристалла. Эти типы перечислены ниже, при этом предполагается, что длина волны сигнала короче длины волны холостого хода.

Наиболее распространенные нелинейные кристаллы являются отрицательными одноосными, что означает, что ось e имеет меньший показатель преломления, чем оси o . В этих кристаллах обычно наиболее подходящими схемами являются фазовые согласования типов I и II. В положительных одноосных кристаллах более подходящими являются типы VII и VIII. Типы II и III по сути эквивалентны, за исключением того, что названия сигнального и холостого меняются местами, когда сигнал имеет большую длину волны, чем холостой. По этой причине их иногда называют IIA и IIB. Номера типов V–VIII встречаются реже, чем I и II и их варианты.

Одним из нежелательных эффектов настройки угла является то, что задействованные оптические частоты не распространяются коллинеарно друг с другом. Это связано с тем, что необыкновенная волна, распространяющаяся через двулучепреломляющий кристалл, имеет вектор Пойнтинга , который не параллелен вектору распространения. Это привело бы к сносу луча, что ограничивает эффективность нелинейного оптического преобразования. Два других метода согласования фаз позволяют избежать сноса луча, заставляя все частоты распространяться под углом 90° относительно оптической оси кристалла. Эти методы называются температурной настройкой и квазисогласованием фаз .

Температурная настройка используется, когда поляризация частоты накачки (лазера) ортогональна поляризации частоты сигнала и холостой частоты. Двулучепреломление в некоторых кристаллах, в частности, ниобате лития, сильно зависит от температуры. Температура кристалла контролируется для достижения условий фазового согласования.

Другой метод — квазифазовое согласование. В этом методе задействованные частоты не постоянно синхронизированы по фазе друг с другом, вместо этого ось кристалла переворачивается с регулярным интервалом Λ, обычно длиной 15 микрометров. Поэтому эти кристаллы называются периодически поляризованными . Это приводит к тому, что поляризационный отклик кристалла смещается обратно по фазе с пучком накачки за счет обращения нелинейной восприимчивости. Это позволяет чистому положительному потоку энергии из накачки в сигнальную и холостую частоты. В этом случае сам кристалл обеспечивает дополнительный волновой вектор k  = 2π/Λ (и, следовательно, импульс) для удовлетворения условия фазового согласования. Квазифазовое согласование можно расширить до чирпированных решеток, чтобы получить большую полосу пропускания и сформировать импульс SHG, как это делается в ослепляющем устройстве . SHG накачки и самомодуляция фазы (эмулируемая процессами второго порядка) сигнала и оптического параметрического усилителя могут быть интегрированы монолитно.

Смешение частот более высокого порядка

Вышесказанное справедливо для процессов. Его можно распространить на процессы, где не равно нулю, что, как правило, справедливо в любой среде без каких-либо ограничений симметрии; в частности, резонансно усиленное смешивание суммарной или разностной частоты в газах часто используется для генерации экстремального или «вакуумного» ультрафиолетового света . ^[19] В обычных сценариях, таких как смешивание в разбавленных газах, нелинейность слаба, и поэтому световые лучи фокусируются, что, в отличие от приближения плоской волны, использованного выше, вносит сдвиг фазы π на каждом световом луче, усложняя требования к согласованию фаз. ^[19] Удобно, что смешивание разностной частоты с отменяет этот фокусный сдвиг фазы и часто имеет почти самоотменяющееся общее условие согласования фаз, что относительно упрощает широкую настройку длины волны по сравнению с генерацией суммарной частоты. ^[19] Во всех четырех частотах смешивание происходит одновременно, в отличие от последовательного смешивания посредством двух процессов. ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

Эффект Керра также можно описать как . При высоких пиковых мощностях эффект Керра может вызывать филаментацию света в воздухе, при которой свет распространяется без дисперсии или расхождения в самогенерируемом волноводе. ^[20] Даже при высоких интенсивностях ряд Тейлора , который привел к доминированию низших порядков, больше не сходится, и вместо этого используется модель, основанная на времени. Когда атом благородного газа подвергается воздействию интенсивного лазерного импульса, имеющего напряженность электрического поля, сравнимую с кулоновским полем атома, самый внешний электрон может быть ионизирован из атома. После освобождения электрон может быть ускорен электрическим полем света, сначала удаляясь от иона, а затем обратно к нему, когда поле меняет направление. Затем электрон может рекомбинировать с ионом, высвобождая свою энергию в виде фотона. Свет излучается на каждом пике поля лазерного света, которое достаточно интенсивно, создавая серию аттосекундных вспышек света. Энергии фотонов, генерируемые этим процессом, могут простираться за пределы 800-го гармонического порядка до нескольких килоэлектронвольт . Это называется генерацией гармоник высокого порядка . Лазер должен быть линейно поляризован, чтобы электрон возвращался в область родительского иона. Генерация гармоник высокого порядка наблюдалась в струях благородных газов, ячейках и заполненных газом капиллярных волноводах. ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

Примеры использования

Удвоение частоты

Одним из наиболее часто используемых процессов смешивания частот является удвоение частоты или генерация второй гармоники. С помощью этой техники выход 1064 нм от Nd:YAG лазеров или выход 800 нм от Ti:сапфировых лазеров может быть преобразован в видимый свет с длиной волны 532 нм (зеленый) или 400 нм (фиолетовый) соответственно. ^[21]

На практике удвоение частоты осуществляется путем помещения нелинейной среды в лазерный луч. Хотя существует множество типов нелинейных сред, наиболее распространенными являются кристаллы. Обычно используются кристаллы BBO ( борат β-бария ), KDP ( дигидрофосфат калия ), KTP ( титанилфосфат калия ) и ниобат лития . Эти кристаллы обладают необходимыми свойствами: сильной двупреломляемостью (необходимой для получения фазового согласования, см. ниже), особой кристаллической симметрией, прозрачностью как для падающего лазерного света, так и для удвоенной частоты, а также высокими порогами повреждения, что делает их устойчивыми к высокоинтенсивному лазерному свету.

Оптическое фазовое сопряжение

Используя нелинейные оптические процессы, можно точно обратить направление распространения и изменение фазы луча света. Обратный луч называется сопряженным лучом, и поэтому этот метод известен как оптическое фазовое сопряжение ^{[22] [23]} (также называемое обращением времени , обращением волнового фронта и существенно отличающееся от ретрорефлексии ).

Устройство, создающее эффект фазового сопряжения, называется фазово-сопрягающим зеркалом (ФСЗ).

Принципы

Вихревой фотон (синий) с линейным импульсом и угловым моментом отражается от идеального фазово-сопряженного зеркала. Нормаль к зеркалу , ось распространения . Отраженный фотон (пурпурный) имеет противоположные линейный импульс и угловой момент . Из-за законов сохранения зеркало PC испытывает отдачу: вихревой фонон (оранжевый) с удвоенным линейным импульсом и угловым моментом возбуждается внутри зеркала. ${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle L=\pm \hbar \ell }$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {z}}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} =-\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle L=\mp \hbar \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {P} =2\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle L=\pm 2\hbar \ell }$

Можно интерпретировать оптическое фазовое сопряжение как аналог голографического процесса в реальном времени . ^[24] В этом случае взаимодействующие лучи одновременно взаимодействуют в нелинейном оптическом материале, образуя динамическую голограмму (два из трех входных лучей) или картину дифракции в реальном времени в материале. Третий падающий луч дифрагирует на этой динамической голограмме и в процессе считывает фазово -сопряженную волну. По сути, все три падающих луча взаимодействуют (по сути) одновременно, образуя несколько голограмм в реальном времени, что приводит к набору дифрагированных выходных волн, которые фазируются как «обращенный во времени» луч. На языке нелинейной оптики взаимодействующие лучи приводят к нелинейной поляризации внутри материала, которая когерентно излучается, образуя фазово-сопряженную волну.

Инверсия волнового фронта означает полную инверсию линейного импульса и углового момента фотонов. Инверсия углового момента означает инверсию как состояния поляризации, так и орбитального углового момента. ^[25] Инверсия орбитального углового момента оптического вихря происходит из-за идеального совпадения спиральных фазовых профилей падающего и отраженного пучков. Оптическое фазовое сопряжение реализуется посредством вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна, ^[26] четырехволнового смешения, трехволнового смешения, статических линейных голограмм и некоторых других инструментов.

Сравнение фазово-сопряженного зеркала с обычным зеркалом. При фазово-сопряженном зеркале изображение не деформируется при прохождении через аберрирующий элемент дважды. ^[27]

Наиболее распространенным способом создания оптического фазового сопряжения является использование метода четырехволнового смешения, хотя также возможно использование таких процессов, как вынужденное рассеяние Мандельштама — Бриллюэна.

Метод четырехволнового смешения

Для метода четырехволнового смешения мы можем описать четыре луча ( j = 1, 2, 3, 4) с электрическими полями:

${\displaystyle \Xi _{j}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}E_{j}(\mathbf {x} )e^{i\left(\omega _{j}t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} \right)}+{\text{c.c.}},}$

где E _j — амплитуды электрического поля. Ξ ₁ и Ξ ₂ известны как две волны накачки, причем Ξ ₃ — сигнальная волна, а Ξ ₄ — сгенерированная сопряженная волна.

Если волны накачки и сигнальная волна накладываются в среде с ненулевым χ ⁽³⁾ , то возникает нелинейное поле поляризации:

${\displaystyle P_{\text{NL}}=\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}(\Xi _{1}+\Xi _{2}+\Xi _{3})^{3},}$

что приводит к генерации волн с частотами, определяемыми выражением ω = ±ω ₁ ± ω ₂ ± ω _{3 ,} в дополнение к генерации волн третьей гармоники с ω = 3ω ₁ , 3ω ₂ , 3ω ₃ .

Как и выше, условие фазового согласования определяет, какая из этих волн является доминирующей. Выбирая условия, такие, что ω = ω ₁ + ω ₂ − ω ₃ и k = k ₁ + k ₂ − k ₃ , это дает поле поляризации:

${\displaystyle P_{\omega }={\frac {1}{2}}\chi ^{(3)}\varepsilon _{0}E_{1}E_{2}E_{3}^{*}e^{i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}+{\text{c.c.}}}$

Это генерирующее поле для фазово-сопряженного пучка, Ξ ₄ . Его направление задается как k ₄ = k ₁ + k ₂ − k ₃ , и поэтому, если два пучка накачки распространяются навстречу друг другу ( k ₁ = − k ₂ ), то сопряженный и сигнальный пучки распространяются в противоположных направлениях ( k ₄ = − k ₃ ). Это приводит к свойству ретрорефлексии эффекта.

Далее можно показать, что для среды с показателем преломления n и длиной взаимодействия пучка l амплитуда электрического поля сопряженного пучка аппроксимируется выражением

${\displaystyle E_{4}={\frac {i\omega l}{2nc}}\chi ^{(3)}E_{1}E_{2}E_{3}^{*},}$

где c — скорость света. Если накачивающие лучи E ₁ и E ₂ — это плоские (встречные) волны, то

${\displaystyle E_{4}(\mathbf {x} )\propto E_{3}^{*}(\mathbf {x} ),}$

то есть амплитуда генерируемого луча является комплексно сопряженной амплитудой сигнального луча. Поскольку мнимая часть амплитуды содержит фазу луча, это приводит к инверсии фазового свойства эффекта.

Обратите внимание, что константа пропорциональности между сигнальным и сопряженным пучками может быть больше 1. Это фактически зеркало с коэффициентом отражения более 100%, создающее усиленное отражение. Мощность для этого поступает от двух пучков накачки, которые истощаются в процессе.

Частота сопряженной волны может отличаться от частоты сигнальной волны. Если волны накачки имеют частоту ω ₁ = ω ₂ = ω, а сигнальная волна имеет более высокую частоту, такую ​​что ω ₃ = ω + Δω, то сопряженная волна имеет частоту ω ₄ = ω − Δω. Это известно как переворот частоты .

Угловые и линейные импульсы в оптическом фазовом сопряжении

Классическая картина

В классической электродинамике Максвелла обращающее зеркало осуществляет обращение вектора Пойнтинга :

${\displaystyle \mathbf {S} _{\text{out}}(\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {S} _{\text{in}}(\mathbf {r} ,t),}$

(«в» означает падающее поле, «вне» означает отраженное поле), где

${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t),}$

что является линейной плотностью импульса электромагнитного поля. ^[25] Таким же образом фазово-сопряженная волна имеет противоположный вектор плотности углового момента относительно падающего поля: ^[26] ${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {L} _{\text{out}}(\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {L} _{\text{in}}(\mathbf {r} ,t).}$

Приведенные выше тождества справедливы локально , т.е. в каждой точке пространства в данный момент для идеального фазово-сопряженного зеркала . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$

Квантовая картина

В квантовой электродинамике фотон с энергией также обладает линейным импульсом и угловым моментом, проекция которого на ось распространения равна , где - топологический заряд фотона, или число витков, - ось распространения. Проекция углового момента на ось распространения имеет дискретные значения . ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle L_{\mathbf {z} }=\pm \hbar \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \pm \hbar \ell }$

В квантовой электродинамике интерпретация фазового сопряжения намного проще по сравнению с классической электродинамикой . Фотон, отраженный от фазового сопряжения-зеркала (out), имеет противоположные направления линейного и углового импульсов относительно падающего фотона (in):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{\text{out}}&=-\hbar \mathbf {k} =-\mathbf {P} _{\text{in}}=\hbar \mathbf {k} ,\\{L_{\mathbf {z} }}_{\text{out}}&=-\hbar \ell =-{L_{\mathbf {z} }}_{\text{in}}=\hbar \ell .\end{aligned}}}$

Формирование нелинейного оптического рисунка

Оптические поля, передаваемые через нелинейные среды Керра, также могут демонстрировать формирование узоров из-за нелинейной среды, усиливающей пространственный и временной шум. Эффект называется оптической модуляционной нестабильностью . ^[13] Это наблюдалось как в фоторефрактивных, ^[28] фотонных решетках, ^[29] , так и в фотореактивных системах. ^{[30] [31] [32] [33]} В последнем случае оптическая нелинейность обеспечивается вызванным реакцией увеличением показателя преломления. ^[34] Примерами формирования узоров являются пространственные солитоны и вихревые решетки в рамках нелинейного уравнения Шредингера . ^{[35] [36]}

Молекулярная нелинейная оптика

Ранние исследования нелинейной оптики и материалов были сосредоточены на неорганических твердых телах. С развитием нелинейной оптики были исследованы молекулярные оптические свойства, что привело к формированию молекулярной нелинейной оптики. ^[37] Традиционные подходы, использовавшиеся в прошлом для усиления нелинейности, включают расширение π-систем хромофора, регулировку чередования длин связей, индуцирование внутримолекулярного переноса заряда, расширение сопряжения в 2D и проектирование многополярных распределений заряда. Недавно было предложено много новых направлений для усиления нелинейности и световой манипуляции, включая скрученные хромофоры, сочетание богатой плотности состояний с чередованием связей, микроскопическое каскадирование нелинейности второго порядка и т. д. Благодаря выдающимся преимуществам молекулярная нелинейная оптика широко используется в области биофотоники, включая биовизуализацию, ^{[38] [39]} фототерапию, ^[40] биосенсорику, ^[41] и т. д.

Связь объемных свойств с микроскопическими свойствами

Молекулярная нелинейная оптика связывает оптические свойства объемного вещества с его микроскопическими молекулярными свойствами. Так же, как поляризуемость может быть описана как разложение в ряд Тейлора , можно разложить индуцированный дипольный момент по степеням электрического поля: , где μ — поляризуемость, α — первая гиперполяризуемость , β — вторая гиперполяризуемость и т. д. ^[42] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {\mu _{0}}}+\alpha \cdot {\boldsymbol {\mathrm {E} }}+{\frac {1}{2}}\beta :{\boldsymbol {\mathrm {E} }}{\boldsymbol {\mathrm {E} }}}$

Новые нелинейные медиа

Некоторые молекулярные материалы обладают способностью оптимизировать свою оптическую нелинейность на микроскопическом и объемном уровнях. Из-за делокализации электронов в π-связях электроны легче реагируют на приложенные оптические поля и имеют тенденцию производить более крупные линейные и нелинейные оптические отклики, чем в одинарных (𝜎) связях. В этих системах линейный отклик масштабируется с длиной сопряженной π-системы, в то время как нелинейный отклик масштабируется еще быстрее. ^[43]

Хромофор зеленого флуоресцентного белка (GFP) п-гидроксибензилиденимидазолинон (HBDI), используемый в нелинейной биовизуализации, является примером пи-сопряженного донорно-акцепторного (D-π-A) хромофора.

Одним из многочисленных применений молекулярной нелинейной оптики является использование в нелинейной биовизуализации. Эти нелинейные материалы, такие как многофотонные хромофоры , используются в качестве биомаркеров для двухфотонной спектроскопии, в которой ослабление интенсивности падающего света при прохождении через образец записывается как . ^[42] ${\displaystyle {-dI \over dx}={N\delta I^{2} \over \hbar \omega }}$

где N — число частиц в единице объема, I — интенсивность света, а δ — сечение поглощения двух фотонов . Результирующий сигнал принимает форму линии Лоренца с сечением, пропорциональным разнице дипольных моментов основного и конечного состояний.

Подобные высокосопряженные хромофоры с сильными донорно-акцепторными характеристиками используются из-за их большой разницы в дипольных моментах, и в настоящее время предпринимаются попытки расширить их пи-сопряженные системы для улучшения их нелинейных оптических свойств. ^[37]

Распространенные материалы, генерирующие вторую гармонику (ГВГ)

Селенид галлия темно-красного цвета в объемной форме

Упорядочено по длине волны накачки:

• 800 нм: ББО
• 806 нм: иодат лития (LiIO ₃ ).
• 860 нм: ниобат калия (KNbO ₃ )
• 980 нм: _KNbO3
• 1064 нм: монофосфат калия (KH ₂ PO ₄ , KDP), триборат лития (LBO) и β-борат бария (BBO)
• 1300 нм: селенид галлия (GaSe)
• 1319 нм: KNbO ₃ , BBO, KDP, титанилфосфат калия (KTP), ниобат лития (LiNbO ₃ ), LiIO ₃ и дигидрофосфат аммония (ADP)
• 1550 нм: титанилфосфат калия (KTP), ниобат лития (LiNbO ₃ )

Смотрите также

• Модель Борна–Инфельда
• Распространение нитей
• Категория:Нелинейные оптические материалы

Дальнейшее чтение

• Энциклопедия лазерной физики и технологий Архивировано 2009-06-03 в Wayback Machine , с содержанием по нелинейной оптике, автор Рюдигер Пашотта
• Интуитивное объяснение фазового сопряжения Архивировано 2007-11-08 на Wayback Machine
• SNLO - Программное обеспечение для проектирования нелинейной оптики Архивировано 2011-07-07 на Wayback Machine
• Пленарная презентация Роберта Бойда: Квантовая нелинейная оптика: нелинейная оптика встречается с квантовым миром. Архивировано 17 марта 2016 г. в Wayback Machine. SPIE Newsroom
• Бойд, РВ (2020). Нелинейная оптика (4-е изд.). Academi. ISBN 978-0-12-811003-4.

Ссылки

1. Бойд, Роберт (2008). Нелинейная оптика (3-е изд.). Academic Press. ISBN 978-0-12-369470-6.
2. Шен, Юэн-Рон (2002). Принципы нелинейной оптики . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-43080-3.
3. Агравал, Говинд (2006). Нелинейная волоконная оптика (4-е изд.). Academic Press. ISBN 978-0-12-369516-1.
4. Kaiser, W.; Garrett, CGB (1961). "Двухфотонное возбуждение в CaF2:Eu2+". Physical Review Letters . 7 (6): 229. Bibcode : 1961PhRvL...7..229K. doi : 10.1103/PhysRevLett.7.229.
5. Rigamonti, Luca (апрель 2010 г.). "Комплексы базовых металлов Шиффа для нелинейной оптики второго порядка" (PDF) . La Chimica & l'Industria (3): 118–122. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-01-01 . Получено 2015-10-21 .
6. Льюис, Гилберт Н.; Липкин, Дэвид; Магел, Теодор Т. (ноябрь 1941 г.). «Обратимые фотохимические процессы в жестких средах. Исследование фосфоресцентного состояния». Журнал Американского химического общества . 63 (11): 3005–3018. doi :10.1021/ja01856a043.
7. Блумберген, Николаас (1965). Нелинейная оптика . Всемирная научная. ISBN 978-9810225995.
8. Чэнь, Сы-юань; Максимчук, Анатолий; Умштадтер, Дональд (17 декабря 1998 г.). «Экспериментальное наблюдение релятивистского нелинейного томсоновского рассеяния». Nature . 396 (6712): 653–655. arXiv : physics/9810036 . Bibcode :1998Natur.396..653C. doi :10.1038/25303. S2CID  16080209.
9. Bula, C.; McDonald, KT; Prebys, EJ; Bamber, C.; Boege, S.; Kotseroglou, T.; Melissinos, AC; Meyerhofer, DD; Ragg, W.; Burke, DL; Field, RC; Horton-Smith, G.; Odian, AC; Spencer, JE; Walz, D.; Berridge, SC; Bugg, WM; Shmakov, K.; Weidemann, AW (22 апреля 1996 г.). "Наблюдение нелинейных эффектов в комптоновском рассеянии". Phys. Rev. Lett. (Представленная рукопись). 76 (17): 3116–3119. Bibcode : 1996PhRvL..76.3116B. doi : 10.1103/PhysRevLett.76.3116. PMID  10060879. Архивировано из оригинала 21 июня 2019 г. Получено 6 сентября 2018 г.
10. Кога, Дж.; Есиркепов, ТЗ; Буланов, СВ (2005). "Нелинейное томсоновское рассеяние в режиме сильного затухания излучения". Физика плазмы . 12 (9). doi :10.1063/1.2013067.
11. Thaury, C.; Quéré, F.; Geindre, J.-P.; Levy, A.; Ceccotti, T.; Monot, P.; Bougeard, M.; Réau, F.; d'Oliveira, P.; Audebert, P.; Marjoribanks, R.; Martin, Ph (1 июня 2007 г.). "Плазменные зеркала для оптики сверхвысокой интенсивности". Nat Phys . 3 (6): 424–429. Bibcode :2007NatPh...3..424T. doi :10.1038/nphys595.
12. Эрнандес-Акоста, Массачусетс; Сото-Рувалкаба, Л; Мартинес-Гонсалес, CL; Трехо-Вальдес, М; Торрес-Торрес, Ц (17 сентября 2019 г.). «Оптическое изменение фазы в плазмонных наночастицах путем двухволнового смешения». Физика Скрипта . 94 (12): 125802. Бибкод : 2019PhyS...94l5802H. дои : 10.1088/1402-4896/ab3ae9. ISSN  0031-8949. S2CID  202145209.
13. Захаров, VE; Островский, LA (2009-03-15). "Модуляционная неустойчивость: начало". Physica D: Nonlinear Phenomena . 238 (5): 540–548. Bibcode :2009PhyD..238..540Z. doi :10.1016/j.physd.2008.12.002.
14. Коузов, А.П.; Егорова, Н.И.; Хризос, М.; Раше, Ф. (2012). «Нелинейные оптические каналы индукции поляризуемости в паре взаимодействующих молекул». Наносистемы: физика, химия, математика . 3 (2): 55. Архивировано из оригинала 2017-06-13 . Получено 2015-10-31 .
15. Paschotta, Rüdiger (2008). «Параметрические нелинейности». Энциклопедия лазерной физики и технологий . Wiley. ISBN 978-3-527-40828-3. Архивировано из оригинала 2011-08-22 . Получено 2011-08-16 .
16. Boyd 2008, стр. 13–15 1.2.10 Параметрические и непараметрические процессы
17. Бойд 2008, 2.3. Согласование фаз.
18. Аболгасем, Пайам; Джунбо Хан; Бхавин Дж. Биджлани; Амр С. Хелми (2010). «Нелинейное взаимодействие второго порядка типа 0 в монолитных волноводах изотропных полупроводников». Optics Express . 18 (12): 12681–12689. Bibcode : 2010OExpr..1812681A. doi : 10.1364/OE.18.012681 . PMID  20588396.
19. Strauss, CEM; Funk, DJ (1991). "Широко настраиваемая генерация разностной частоты ВУФ с использованием двухфотонных резонансов в H2 и Kr". Optics Letters . 16 (15): 1192–4. Bibcode : 1991OptL...16.1192S. doi : 10.1364/ol.16.001192. PMID  19776917. Архивировано из оригинала 29.05.2024 . Получено 23.06.2015 .
20. Xhao, XM; Jones, RJ; Strauss, CEM; Funk, DJ; Roberts, JP; Taylor, AJ (1997). CLEO '97., Резюме докладов, представленных на конференции по лазерам и электрооптике . Том 11. IEEE. стр. 377–378. doi :10.1109/CLEO.1997.603294. ISBN 978-0-7803-4125-8. S2CID  120016673.^{[ мертвая ссылка ]}
21. Бай, Чжэньсюй; Ван, Юлей; Лу, Живэй; Юань, Ханг; Цзян, Ли; Тан, Тан; Лю, Чжаохун; Ван, Хунли; Цуи, Кан; Хаси, Вулиджи (01 октября 2016 г.). «Эффективный KDP-лазер с удвоением частоты SBS-импульса, длина волны 532 нм, сто пикосекунд». Оптик . 127 (20): 9201–9205. Бибкод : 2016Оптик.127.9201Б. дои : 10.1016/j.ijleo.2016.07.021. ISSN  0030-4026.
22. Шкунов, Владимир; Зельдович, Борис (декабрь 1985). «Фазовое сопряжение». Scientific American . 253 (6): 54–59. doi :10.1038/scientificamerican1285-54. JSTOR  24967871.
23. Пеппер, Дэвид М. (январь 1986 г.). «Применение оптического фазового сопряжения». Scientific American . 254 (1): 74–83. doi :10.1038/scientificamerican0186-74. JSTOR  24975872.
24. Пеппер, Дэвид М.; Файнберг, Джек; Кухтарев, Николай В. (октябрь 1990 г.). «Фоторефрактивный эффект». Scientific American . 263 (4): 62–75. doi :10.1038/scientificamerican1090-62. JSTOR  24997062.
25. Окулов, А. Ю. (2008). "Угловой момент фотонов и фазовое сопряжение". J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . 41 (10): 101001. arXiv : 0801.2675 . doi :10.1088/0953-4075/41/10/101001.
26. Окулов, А. Ю. (2008). "Оптические и звуковые спиральные структуры в зеркале Мандельштама–Бриллюэна". Письма в ЖЭТФ . 88 (8): 561–566. doi :10.1134/S0021364008200046.
27. Удивительное поведение света в фоторефрактивных средах | Новости оптики и фотоники. Архивировано 2 апреля 2015 г. на Wayback Machine .
28. Soljacic, Marin (2000-01-01). "Modulation Instability of Incoherent Beams in Noninstantaneous Nonlinear Media". Physical Review Letters . 84 (3): 467–470. Bibcode : 2000PhRvL..84..467S. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.467. PMID  11015940.
29. Jablan, Marinko; Buljan, Hrvoje; Manela, Ofer; Bartal, Guy; Segev, Mordechai (2007-04-16). "Нестабильность некогерентной модуляции в нелинейной фотонной решетке". Optics Express . 15 (8): 4623–33. Bibcode : 2007OExpr..15.4623J. doi : 10.1364/OE.15.004623 . ISSN  1094-4087. PMID  19532708.
30. Берджесс, Ян Б.; Шиммелл, Уитни Э.; Сараванамутту, Калаичелви (2007-04-01). «Спонтанное формирование узора из-за нестабильности модуляции некогерентного белого света в фотополимеризующейся среде». Журнал Американского химического общества . 129 (15): 4738–4746. doi :10.1021/ja068967b. ISSN  0002-7863. PMID  17378567.
31. Баскер, Динеш К.; Брук, Майкл А.; Сараванамутту, Калайчелви (2015-09-03). «Спонтанное возникновение нелинейных световых волн и самозаписанной волноводной микроструктуры во время катионной полимеризации эпоксидов». Журнал физической химии C. 119 ( 35): 20606–20617. doi :10.1021/acs.jpcc.5b07117. ISSN  1932-7447.
32. Бириа, Саид; Малли, Филипп ПА; Кахан, Тара Ф.; Хосейн, Ян Д. (2016-03-03). «Формирование настраиваемого нелинейного оптического рисунка и микроструктура в сшитых акрилатных системах во время свободнорадикальной полимеризации». Журнал физической химии C. 120 ( 8): 4517–4528. doi :10.1021/acs.jpcc.5b11377. ISSN  1932-7447.
33. Бириа, Саид; Малли, Филлип ПА; Кахан, Тара Ф.; Хосейн, Ян Д. (15.11.2016). «Оптический автокатализ устанавливает новую пространственную динамику в фазовом разделении полимерных смесей во время фотоотверждения». ACS Macro Letters . 5 (11): 1237–1241. doi :10.1021/acsmacrolett.6b00659. PMID  35614732.
34. Kewitsch, Anthony S.; Yariv, Amnon (1996-01-01). "Самофокусировка и самозахват оптических лучей при фотополимеризации" (PDF) . Optics Letters . 21 (1): 24–6. Bibcode :1996OptL...21...24K. doi :10.1364/OL.21.000024. ISSN  1539-4794. PMID  19865292. Архивировано из оригинала (PDF) 20-04-2020 . Получено 26-08-2019 .
35. Окулов, А Ю (2000). «Пространственный солитонный лазер: геометрия и устойчивость». Оптика и спектроскопия . 89 (1): 145–147. Bibcode : 2000OptSp..89..131O. doi : 10.1134/BF03356001. S2CID  122790937.
36. Окулов, А Ю (2020). «Структурированные световые сущности, хаос и нелокальные отображения». Хаос, солитоны и фракталы . 133 (4): 109638. arXiv : 1901.09274 . Bibcode : 2020CSF...13309638O. doi : 10.1016/j.chaos.2020.109638. S2CID  118828500.
37. Gu, Bobo; Zhao, Chujun; Baev, Alexander; Yong, Ken-Tye; Wen, Shuangchun; Prasad, Paras N. (2016). «Молекулярная нелинейная оптика: последние достижения и приложения». Advances in Optics and Photonics . 8 (2): 328. Bibcode : 2016AdOP....8..328G. doi : 10.1364/AOP.8.000328.
38. Кузьмин, Андрей Н. (2016). "Резонансные рамановские зонды для маркировки органелл в живых клетках". Scientific Reports . 6 : 28483. Bibcode :2016NatSR...628483K. doi :10.1038/srep28483. PMC 4919686 . PMID  27339882. 
39. Чжан, Силу; Лю, Ливэй; Жэнь, Шэн; Ли, Цзылинь; Чжао, Ихуа; Ян, Чжиган; Ху, Руй; Цюй, Цзюньлэ (2020). "Последние достижения в нелинейной оптике для приложений биовизуализации". Opto-Electronic Advances . 3 (10): 200003. doi : 10.29026/oea.2020.200003 . ISSN  2096-4579. Архивировано из оригинала 21.01.2021 . Получено 27.11.2023 .
40. Гу, Бобо; У, Вэньбо; Сюй, Гайся; Фэн, Гуансюэ; Инь, Фэн; Чонг, Питер Хан Джу; Цюй, Цзюньлэ; Йонг, Кен-Тай; Лю, Бин (2017). «Точная двухфотонная фотодинамическая терапия с использованием эффективного фотосенсибилизатора с характеристиками излучения, вызванного агрегацией». Advanced Materials . 29 (28): 1701076. Bibcode :2017AdM....2901076G. doi :10.1002/adma.201701076. PMID  28556297. S2CID  205279732.
41. Юань, Юфэн; Линь, Инин; Гу, Бобо; Панвар, Ништа; Тджин, Суи Чуан; Сонг, Джун; Ку, Джунлэ; Йонг, Кен-Тай (2017). «Платформа SERS с оптическим захватом для химических и биосенсорных приложений: перспективы проектирования». Coordination Chemistry Reviews . 339 : 138. doi :10.1016/j.ccr.2017.03.013.
42. McHale, Jeanne L. (2017). Молекулярная спектроскопия (2-е изд.). Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor & Francis Group. ISBN 978-1-4665-8658-1.
43. Бойд, Роберт В. (2020), «Нелинейная оптика плазмонных систем», Nonlinear Optics , Elsevier, стр. 569–582, doi : 10.1016/b978-0-12-811002-7.00023-0, ISBN 978-0-12-811002-7, получено 2023-11-27