Солитон (оптика)

Термин в оптике

В оптике термин солитон используется для обозначения любого оптического поля , которое не изменяется во время распространения из-за тонкого баланса между нелинейными и дисперсионными эффектами в среде. ^[1] Существует два основных вида солитонов:

• Пространственные солитоны : нелинейный эффект может уравновесить дисперсию . Электромагнитное поле может изменять показатель преломления среды при распространении, создавая таким образом структуру, похожую на градиентное волокно . ^[2] Если поле также является распространяющейся модой созданного им волновода, то оно останется ограниченным и будет распространяться, не меняя своей формы.
• временные солитоны : если электромагнитное поле уже пространственно ограничено, можно посылать импульсы, которые не изменят свою форму, поскольку нелинейные эффекты будут уравновешивать дисперсию . Эти солитоны были обнаружены первыми, и в оптике их часто просто называют «солитонами».

Пространственные солитоны

как работает линза

Чтобы понять, как может существовать пространственный солитон, нам нужно сделать некоторые соображения о простой выпуклой линзе . Как показано на рисунке справа, оптическое поле приближается к линзе, а затем фокусируется. Эффект линзы заключается в том, чтобы внести неравномерное изменение фазы, которое вызывает фокусировку. Это изменение фазы является функцией пространства и может быть представлено с помощью , форма которого приблизительно представлена ​​на рисунке. ${\displaystyle \varphi (x)}$

Изменение фазы можно выразить как произведение фазовой константы и ширины пути, пройденного полем. Мы можем записать это как:

${\displaystyle \varphi (x)=k_{0}nL(x)}$

где — ширина линзы, изменяющаяся в каждой точке по форме, которая одинакова, поскольку и n — константы. Другими словами, чтобы получить эффект фокусировки, нам нужно просто ввести изменение фазы такой формы, но мы не обязаны менять ширину. Если мы оставим ширину L фиксированной в каждой точке, но изменим значение показателя преломления, то получим точно такой же эффект, но с совершенно другим подходом. ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle n(x)}$

Это имеет применение в градиентных волокнах : изменение показателя преломления вносит фокусирующий эффект, который может уравновесить естественную дифракцию поля. Если два эффекта идеально уравновешивают друг друга, то мы имеем ограниченное поле, распространяющееся внутри волокна.

Пространственные солитоны основаны на том же принципе: эффект Керра вводит самомодуляцию фазы , которая изменяет показатель преломления в зависимости от интенсивности:

${\displaystyle \varphi (x)=k_{0}n(x)L=k_{0}L[n+n_{2}I(x)]}$

если имеет форму, похожую на ту, что показана на рисунке, то мы создали желаемое фазовое поведение, и поле покажет эффект самофокусировки. Другими словами, поле создает волокноподобную направляющую структуру при распространении. Если поле создает волокно и одновременно является модой такого волокна, это означает, что фокусирующие нелинейные и дифракционные линейные эффекты идеально сбалансированы, и поле будет распространяться вечно, не меняя своей формы (пока среда не изменится и если мы можем пренебречь потерями, очевидно). Чтобы иметь эффект самофокусировки, мы должны иметь положительное , в противном случае мы получим противоположный эффект и не заметим никакого нелинейного поведения. ${\displaystyle I(x)}$ ${\displaystyle n_{2}}$

Оптический волновод, который солитон создает при распространении, — это не только математическая модель, он действительно существует и может использоваться для направления других волн на разных частотах ^{[ требуется ссылка ]} . Таким образом, можно позволить свету взаимодействовать со светом на разных частотах (это невозможно в линейных средах).

Доказательство

Электрическое поле распространяется в среде, проявляющей оптический эффект Керра , поэтому показатель преломления определяется по формуле:

${\displaystyle n(I)=n+n_{2}I}$

Напомним, что связь между облученностью и электрическим полем (в комплексном представлении) имеет вид

${\displaystyle I={\frac {|E|^{2}}{2\eta }}}$

где и - импеданс свободного пространства , определяемый выражением ${\displaystyle \eta =\eta _{0}/n}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$

${\displaystyle \eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\approx 377{\text{ }}\Omega .}$

Поле распространяется в направлении с фазовой константой . Сейчас мы проигнорируем любую зависимость от оси y , предположив, что она бесконечна в этом направлении. Тогда поле можно выразить как: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{0}n}$

${\displaystyle E(x,z,t)=A_{m}a(x,z)e^{i(k_{0}nz-\omega t)}}$

где - максимальная амплитуда поля, а - безразмерная нормализованная функция (так что ее максимальное значение равно 1), которая представляет форму электрического поля по оси x . В общем случае она зависит от z , поскольку поля меняют свою форму при распространении. Теперь нам нужно решить уравнение Гельмгольца : ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle a(x,z)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}E+k_{0}^{2}n^{2}(I)E=0}$

где было ясно указано, что показатель преломления (следовательно, фазовая постоянная) зависит от интенсивности. Если мы заменим выражение электрического поля в уравнении, предположив, что огибающая медленно изменяется при распространении, т.е. ${\displaystyle a(x,z)}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}a(x,z)}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k_{0}{\frac {\partial a(x,z)}{\partial z}}\right|}$

уравнение становится:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i2k_{0}n{\frac {\partial a}{\partial z}}+k_{0}^{2}\left[n^{2}(I)-n^{2}\right]a=0.}$

Введем приближение, которое справедливо, поскольку нелинейные эффекты всегда намного меньше линейных:

${\displaystyle \left[n^{2}(I)-n^{2}\right]=[n(I)-n][n(I)+n]=n_{2}I(2n+n_{2}I)\approx 2nn_{2}I}$

Теперь выразим напряженность через электрическое поле:

${\displaystyle \left[n^{2}(I)-n^{2}\right]\approx 2nn_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=n^{2}n_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{\eta _{0}}}}$

уравнение становится:

${\displaystyle {\frac {1}{2k_{0}n}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}a=0.}$

Теперь предположим , что нелинейный эффект вызовет самофокусировку. Чтобы сделать это очевидным, запишем в уравнении Давайте теперь определим некоторые параметры и заменим их в уравнении: ${\displaystyle n_{2}>0}$ ${\displaystyle n_{2}=|n_{2}|}$

• ${\displaystyle \xi ={\frac {x}{X_{0}}}}$, поэтому мы можем выразить зависимость от оси x с помощью безразмерного параметра; — длина, физический смысл которой станет понятнее позже. ${\displaystyle X_{0}}$
• ${\displaystyle L_{d}=X_{0}^{2}k_{0}n}$После того, как электрическое поле распространится по оси z на эту длину, линейными эффектами дифракции больше нельзя пренебрегать.
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{L_{d}}}}$, для изучения z -зависимости с безразмерной переменной.
• ${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}n|n_{2}|\cdot |A_{m}|^{2}}}}$, после того как электрическое поле распространилось по z на эту длину, нелинейными эффектами больше нельзя пренебрегать. Этот параметр зависит от интенсивности электрического поля, что типично для нелинейных параметров.
• ${\displaystyle N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

Уравнение принимает вид:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \xi ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

это общее уравнение, известное как нелинейное уравнение Шредингера . Из этой формы мы можем понять физический смысл параметра N :

• если , то можно пренебречь нелинейной частью уравнения. Это значит , то поле будет затронуто линейным эффектом (дифракцией) гораздо раньше, чем нелинейным эффектом, оно просто будет дифрагировать без какого-либо нелинейного поведения. ${\displaystyle N\ll 1}$ ${\displaystyle L_{d}\ll L_{n\ell }}$
• если , то нелинейный эффект будет более выражен, чем дифракция, и из-за фазовой самомодуляции поле будет иметь тенденцию фокусироваться. ${\displaystyle N\gg 1}$
• если , то два эффекта уравновешивают друг друга, и нам нужно решить уравнение. ${\displaystyle N\approx 1}$

Решение уравнения простое и представляет собой фундаментальный солитон: ${\displaystyle N=1}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )=\operatorname {sech} (\xi )e^{i\zeta /2}}$

где sech — гиперболический секанс . Он по-прежнему зависит от z , но только по фазе, поэтому форма поля не изменится во время распространения.

Ибо все еще возможно выразить решение в замкнутой форме, но оно имеет более сложный вид: ^[3] ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )={\frac {4[\cosh(3\xi )+3e^{4i\zeta }\cosh(\xi )]e^{i\zeta /2}}{\cosh(4\xi )+4\cosh(2\xi )+3\cos(4\zeta )}}.}$

Он действительно меняет свою форму во время распространения, но это периодическая функция z с периодом . ${\displaystyle \zeta =\pi /2}$

Для солитонных решений N должно быть целым числом, и говорят, что это порядок солитона. Для точного решения в замкнутой форме также существует; ^[4] оно имеет еще более сложную форму, но имеет ту же периодичность. Фактически, все солитоны с имеют период . ^[5] Их форму можно легко выразить только сразу после генерации: ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle \zeta =\pi /2}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta =0)=N\operatorname {sech} (\xi )}$

справа представлен график солитона второго порядка: вначале он имеет форму сеха, затем максимальная амплитуда увеличивается и затем возвращается к форме сеха. Поскольку для генерации солитонов необходима высокая интенсивность, если поле еще больше увеличит свою интенсивность, среда может быть повреждена.

Условие, которое необходимо решить, если мы хотим сгенерировать фундаментальный солитон, получается, если выразить N через все известные параметры, а затем подставить : ${\displaystyle N=1}$

${\displaystyle 1=N={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}={\frac {X_{0}^{2}k_{0}^{2}n^{2}|n_{2}||A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}}$

что с точки зрения максимального значения облученности становится:

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {1}{X_{0}^{2}k_{0}^{2}n|n_{2}|}}.}$

В большинстве случаев можно изменять две переменные: максимальную интенсивность и ширину импульса . ${\displaystyle I_{\max }}$ ${\displaystyle X_{0}}$

Распространение различных оптических солитонов высшего порядка (серия изображений: низкая мощность (нет солитона), затем n1–n7)

Любопытно, что солитоны более высокого порядка могут достигать сложных форм, прежде чем вернуться точно к своей первоначальной форме в конце периода солитона. На рисунке различных солитонов спектр (слева) и временная область (справа) показаны на различных расстояниях распространения (вертикальная ось) в идеализированной нелинейной среде. Это показывает, как лазерный импульс может вести себя при распространении в среде со свойствами, необходимыми для поддержки фундаментальных солитонов. На практике, чтобы достичь очень высокой пиковой интенсивности, необходимой для достижения нелинейных эффектов, лазерные импульсы могут быть соединены в оптические волокна, такие как фотонно-кристаллическое волокно с сильно ограниченными распространяющимися модами. Эти волокна имеют более сложную дисперсию и другие характеристики, которые отклоняются от аналитических параметров солитона.

Генерация пространственных солитонов

Первый эксперимент по пространственным оптическим солитонам был проведен в 1974 году Эшкиным и Бьорхолмом ^[6] в ячейке, заполненной парами натрия. Затем эта область была пересмотрена в экспериментах в Лиможском университете ^[7] в жидком дисульфиде углерода и расширена в начале 90-х годов с первым наблюдением солитонов в фоторефрактивных кристаллах, ^{[8] [9]} стекле, полупроводниках ^[10] и полимерах. За последние десятилетия было сообщено о многочисленных открытиях в различных материалах для солитонов различной размерности, формы, спиральных, сталкивающихся, сливающихся, разделяющихся, в однородных средах, периодических системах и волноводах. ^[11] Пространственные солитоны также называются самозахваченными оптическими пучками, и их формирование обычно также сопровождается самозаписанным волноводом. В нематических жидких кристаллах [ ^12] пространственные солитоны также называются нематиконами .

Солитоны с синхронизацией поперечных мод

Локализованные возбуждения в лазерах могут возникать из-за синхронизации поперечных мод.

Конфокальный лазерный резонатор с нелинейным усилением и поглощающими срезами в Фурье-сопряженных плоскостях ${\displaystyle 2F}$

В конфокальном лазерном резонаторе вырожденные поперечные моды с одной продольной модой на длине волны, смешанные в нелинейном усиливающем диске (расположенном в ) и насыщающемся поглощающем диске (расположенном в ) диаметром , способны создавать пространственные солитоны гиперболической формы: ^[13] ${\displaystyle 2F}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z=2F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {sech} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,z=0)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {\pi xD}{2\lambda F}}{\sqrt {\frac {1-\alpha G}{G}}}\,\right)\\[3pt]E(x,z=2F)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {2\pi x}{D}}{\sqrt {\frac {G}{1-\alpha G}}}\,\right)\end{aligned}}}$

в Фурье-сопряженных плоскостях и . ^[14] ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=2F}$

Временные солитоны

Основная проблема, ограничивающая скорость передачи битов в оптических волокнах, — это дисперсия групповой скорости . Это происходит потому, что генерируемые импульсы имеют ненулевую полосу пропускания , а среда, через которую они распространяются, имеет показатель преломления, зависящий от частоты (или длины волны ). Этот эффект представлен параметром дисперсии групповой задержки D ; используя его, можно точно рассчитать, насколько расширится импульс:

${\displaystyle \Delta \tau \approx DL\,\Delta \lambda }$

где L — длина волокна, а — полоса пропускания в терминах длины волны. Подход в современных системах связи заключается в том, чтобы сбалансировать такую ​​дисперсию с другими волокнами, имеющими D с разными знаками в разных частях волокна: таким образом импульсы продолжают расширяться и сжиматься при распространении. С помощью временных солитонов можно полностью устранить такую ​​проблему. ${\displaystyle \Delta \lambda }$

Линейные и нелинейные эффекты на гауссовых импульсах

Рассмотрим рисунок справа. Слева — стандартный гауссовский импульс, то есть огибающая поля, колеблющегося с определенной частотой. Мы предполагаем, что частота остается совершенно постоянной в течение импульса.

Теперь мы позволим этому импульсу распространяться по волокну с , на него повлияет дисперсия групповой скорости. Для этого знака D дисперсия аномальна , так что компоненты с более высокой частотой будут распространяться немного быстрее, чем компоненты с более низкой частотой, таким образом, достигая конца волокна раньше. Общий сигнал, который мы получаем, представляет собой более широкий чирпированный импульс, показанный в правом верхнем углу рисунка. ${\displaystyle D>0}$

влияние фазовой самомодуляции на частоту

Теперь предположим, что у нас есть среда, которая демонстрирует только нелинейный эффект Керра , но ее показатель преломления не зависит от частоты: такой среды не существует, но ее стоит рассмотреть, чтобы понять различные эффекты.

Фаза поля определяется по формуле:

${\displaystyle \varphi (t)=\omega _{0}t-kz=\omega _{0}t-k_{0}z[n+n_{2}I(t)]}$

частота (согласно определению) определяется по формуле:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {\partial \varphi (t)}{\partial t}}=\omega _{0}-k_{0}zn_{2}{\frac {\partial I(t)}{\partial t}}}$

Эта ситуация представлена ​​на рисунке слева. В начале импульса частота ниже, в конце выше. После распространения через нашу идеальную среду мы получим чирпированный импульс без уширения, поскольку мы пренебрегли дисперсией.

Возвращаясь к первой картинке, мы видим, что два эффекта вносят изменение частоты в двух разных противоположных направлениях. Можно сделать импульс таким образом, чтобы два эффекта уравновешивали друг друга. При рассмотрении более высоких частот линейная дисперсия будет способствовать их более быстрому распространению, в то время как нелинейный эффект Керра замедлит их. Общим эффектом будет то, что импульс не изменится при распространении: такие импульсы называются временными солитонами.

История временных солитонов

В 1973 году Акира Хасегава и Фред Тапперт из AT&T Bell Labs первыми предположили, что солитоны могут существовать в оптических волокнах из-за баланса между фазовой автомодуляцией и аномальной дисперсией . ^{[15] [16]} Также в 1973 году Робин Буллоу сделал первый математический отчет о существовании оптических солитонов. Он также предложил идею системы передачи на основе солитонов для повышения производительности оптических телекоммуникаций .

Солитоны в волоконно-оптической системе описываются уравнениями Манакова .

В 1987 году П. Эмплит, Ж. П. Амайд, Ф. Рейно, К. Фрёли и А. Бартелеми из университетов Брюсселя и Лиможа провели первое экспериментальное наблюдение распространения темного солитона в оптическом волокне.

В 1988 году Линн Молленауэр и его команда передали солитонные импульсы на расстояние более 4000 километров, используя явление, называемое эффектом Рамана , названное в честь индийского ученого сэра К. В. Рамана, который впервые описал его в 1920-х годах, для обеспечения оптического усиления в волокне.

В 1991 году исследовательская группа Bell Labs передала солитоны без ошибок на скорости 2,5 гигабит на расстояние более 14 000 километров, используя эрбиевые оптоволоконные усилители (сращенные сегменты оптоволокна, содержащие редкоземельный элемент эрбий). Лазеры накачки, соединенные с оптическими усилителями, активируют эрбий, который заряжает световые импульсы ^{[ требуется цитата ]} .

В 1998 году Тьерри Жорж и его команда в Центре исследований и разработок France Télécom , объединив оптические солитоны разных длин волн ( мультиплексирование с разделением по длине волны ), продемонстрировали передачу данных со скоростью 1 терабит в секунду (1 000 000 000 000 единиц информации в секунду) ^{[ необходима ссылка ]} .

В 2020 году Optics Communications сообщила о работе японской команды из MEXT над оптической коммутацией каналов с пропускной способностью до 90 Тбит/с (терабит в секунду), Optics Communications, том 466, 1 июля 2020 г., стр. 125677.

Доказательство для временных солитонов

Электрическое поле распространяется в среде, проявляющей оптический эффект Керра, через направляющую структуру (такую ​​как оптическое волокно ), которая ограничивает мощность в плоскости xy . Если поле распространяется в направлении z с фазовой константой , то его можно выразить в следующей форме: ${\displaystyle \beta _{0}}$

${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=A_{m}a(t,z)f(x,y)e^{i(\beta _{0}z-\omega _{0}t)}}$

где - максимальная амплитуда поля, - огибающая, которая формирует импульс во временной области; в общем случае она зависит от z , поскольку импульс может менять свою форму при распространении; представляет форму поля на плоскости xy , и она не меняется при распространении, поскольку мы предположили, что поле направлено. И a, и f являются нормализованными безразмерными функциями, максимальное значение которых равно 1, так что это действительно представляет амплитуду поля. ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle a(t,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle A_{m}}$

Поскольку в среде есть дисперсия, которой мы не можем пренебречь, связь между электрическим полем и его поляризацией задается интегралом свертки . В любом случае, используя представление в области Фурье , мы можем заменить свертку простым произведением, тем самым используя стандартные соотношения, которые справедливы в более простых средах. Мы преобразуем Фурье электрическое поле, используя следующее определение:

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }E(\mathbf {r} ,t)e^{-i(\omega -\omega _{0})t}\,dt}$

Используя это определение, производная во временной области соответствует произведению в области Фурье:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}E\Longleftrightarrow i(\omega -\omega _{0}){\tilde {E}}}$

полное выражение поля в частотной области имеет вид:

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=A_{m}{\tilde {a}}(\omega ,z)f(x,y)e^{i\beta _{0}z}}$

Теперь мы можем решить уравнение Гельмгольца в частотной области:

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {E}}+n^{2}(\omega )k_{0}^{2}{\tilde {E}}=0}$

мы решили выразить фазовую постоянную с помощью следующих обозначений:

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\omega )k_{0}=\beta (\omega )&=\overbrace {\beta _{0}} ^{\text{linear non-dispersive}}+\overbrace {\beta _{\ell }(\omega )} ^{\text{linear dispersive}}+\overbrace {\beta _{n\ell }} ^{\text{non-linear}}\\[8pt]&=\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

где мы предполагаем, что (сумма линейной дисперсионной составляющей и нелинейной части) является малым возмущением, т.е. Фазовая константа может иметь любое сложное поведение, но мы можем представить ее рядом Тейлора с центром на : ${\displaystyle \Delta \beta }$ ${\displaystyle |\beta _{0}|\gg |\Delta \beta (\omega )|}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \beta (\omega )\approx \beta _{0}+(\omega -\omega _{0})\beta _{1}+{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2}}\beta _{2}+\beta _{n\ell }}$

где, как известно:

${\displaystyle \beta _{u}=\left.{\frac {d^{u}\beta (\omega )}{d\omega ^{u}}}\right|_{\omega =\omega _{0}}}$

подставим выражение электрического поля в уравнение и сделаем некоторые вычисления. Если предположить приближение медленно меняющейся огибающей :

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {a}}}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}\right|}$

мы получаем:

${\displaystyle 2i\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+[\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}]{\tilde {a}}=0}$

мы игнорируем поведение в плоскости xy , поскольку оно уже известно и задано . Мы делаем небольшое приближение, как мы это делали для пространственного солитона: ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}&=[\beta (\omega )-\beta _{0}][\beta (\omega )+\beta _{0}]\\[6pt]&=[\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )-\beta _{0}][2\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )]\approx 2\beta _{0}\,\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

Подставив это в уравнение, мы получим просто:

${\displaystyle i{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+\Delta \beta (\omega ){\tilde {a}}=0}$.

Теперь мы хотим вернуться во временную область. Выражая произведения через производные, получаем двойственность:

${\displaystyle \Delta \beta (\omega )\Longleftrightarrow i\beta _{1}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\beta _{n\ell }}$

мы можем записать нелинейную составляющую через облученность или амплитуду поля:

${\displaystyle \beta _{n\ell }=k_{0}n_{2}I=k_{0}n_{2}{\frac {|E|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=k_{0}n_{2}n{\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}}$

для дуальности с пространственным солитоном мы определяем:

${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}}}$

и этот символ имеет то же значение, что и предыдущий случай, даже если контекст отличается. Уравнение становится:

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}+i\beta _{1}{\frac {\partial a}{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

Мы знаем, что импульс распространяется вдоль оси z с групповой скоростью, заданной , поэтому он нас не интересует, поскольку мы просто хотим узнать, как импульс меняет свою форму при распространении. Мы решаем изучить форму импульса, т. е. огибающую функцию a (·), используя эталон, который движется с полем с той же скоростью. Таким образом, мы делаем замену ${\displaystyle v_{g}=1/\beta _{1}}$

${\displaystyle T=t-\beta _{1}z}$

и уравнение становится:

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial T^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

Теперь мы дополнительно предположим, что среда, в которой распространяется поле, демонстрирует аномальную дисперсию , т.е. или в терминах параметра дисперсии групповой задержки . Мы сделаем это более очевидным, заменив в уравнении . Определим теперь следующие параметры (дуальность с предыдущим случаем очевидна): ${\displaystyle \beta _{2}<0}$ ${\displaystyle D={\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\beta _{2}>0}$ ${\displaystyle \beta _{2}=-|\beta _{2}|}$

${\displaystyle L_{d}={\frac {T_{0}^{2}}{|\beta _{2}|}};\qquad \tau ={\frac {T}{T_{0}}};\qquad \zeta ={\frac {z}{L_{d}}};\qquad N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

Заменив их в уравнении, получим:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

это то же самое уравнение, которое мы получили в предыдущем случае. Солитон первого порядка задается как:

${\displaystyle a(\tau ,\zeta )=\operatorname {sech} (\tau )e^{i\zeta /2}}$

те же соображения, которые мы сделали, справедливы и в этом случае. Условие N  = 1 становится условием на амплитуду электрического поля:

${\displaystyle |A_{m}|^{2}={\frac {2\eta _{0}|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}n}}}$

или, в терминах облученности:

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

или мы можем выразить это в терминах мощности, если введем эффективную площадь, определенную так : ${\displaystyle A_{\text{eff}}}$ ${\displaystyle P=IA_{\text{eff}}}$

${\displaystyle P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

Устойчивость солитонов

Мы описали, что такое оптические солитоны, и, используя математику, увидели, что если мы хотим их создать, нам нужно создать поле определенной формы (просто sech для первого порядка) с определенной мощностью, связанной с длительностью импульса. Но что, если мы немного ошиблись в создании таких импульсов? Добавляя небольшие возмущения к уравнениям и решая их численно, можно показать, что одномерные солитоны устойчивы. Их часто называют (1 + 1) D солитонами , что означает, что они ограничены в одном измерении ( x или t , как мы видели) и распространяются в другом ( z ).

Если мы создадим такой солитон, используя немного неправильную мощность или форму, то он будет подстраиваться до тех пор, пока не достигнет стандартной формы сеча с правильной мощностью. К сожалению, это достигается за счет некоторой потери мощности, что может вызвать проблемы, поскольку оно может генерировать другое несолитонное поле, распространяющееся вместе с полем, которое мы хотим. Одномерные солитоны очень стабильны: например, если мы в любом случае сгенерируем солитон первого порядка; если N больше, мы сгенерируем солитон более высокого порядка, но фокусировка, которую он делает при распространении, может вызвать высокие пики мощности, повреждающие среду. ${\displaystyle 0.5<N<1.5}$

Единственный способ создать (1 + 1) D пространственный солитон — это ограничить поле по оси y с помощью диэлектрической пластины , а затем ограничить поле по оси x с помощью солитона.

С другой стороны, (2 + 1) D пространственные солитоны нестабильны, поэтому любое небольшое возмущение (например, из-за шума) может привести к дифракции солитона как поля в линейной среде или к коллапсу, тем самым повреждая материал. Можно создать стабильные (2 + 1) D пространственные солитоны, используя насыщающие нелинейные среды, где соотношение Керра справедливо до тех пор, пока не достигнет максимального значения. Работа вблизи этого уровня насыщения позволяет создать стабильный солитон в трехмерном пространстве. ${\displaystyle n(I)=n+n_{2}I}$

Если мы рассматриваем распространение более коротких (временных) световых импульсов или на большее расстояние, нам необходимо учитывать поправки более высокого порядка, и поэтому огибающая несущей импульса регулируется нелинейным уравнением Шредингера более высокого порядка (HONSE), для которого существуют некоторые специализированные (аналитические) солитонные решения. ^[17]

Влияние потерь мощности

Как мы видели, для создания солитона необходимо иметь правильную мощность при его генерации. Если в среде нет потерь, то мы знаем, что солитон будет продолжать распространяться вечно, не меняя форму (1-й порядок) или периодически меняя свою форму (более высокие порядки). К сожалению, любая среда вносит потери, поэтому фактическое поведение мощности будет иметь вид:

${\displaystyle P(z)=P_{0}e^{-\alpha z}}$

это серьезная проблема для временных солитонов, распространяющихся в волокнах на несколько километров. Рассмотрим, что происходит для временного солитона, обобщение на пространственные происходит немедленно. Мы доказали, что соотношение между мощностью и длиной импульса следующее: ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

если мощность меняется, единственное, что может измениться во второй части соотношения, это . если мы добавим потери к мощности и решим соотношение в терминах , то получим: ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle T(z)=T_{0}e^{(\alpha /2)z}}$

ширина импульса растет экспоненциально, чтобы компенсировать потери! эта связь верна, пока существует солитон, т.е. пока это возмущение мало, так и должно быть, иначе мы не можем использовать уравнения для солитонов и нам придется изучать стандартную линейную дисперсию. Если мы хотим создать систему передачи с использованием оптических волокон и солитонов, нам придется добавить оптические усилители , чтобы ограничить потерю мощности. ${\displaystyle \alpha z\ll 1}$

Генерация солитонного импульса

Были проведены эксперименты по анализу влияния высокочастотного (20 МГц-1 ГГц) внешнего магнитного поля, индуцирующего нелинейный эффект Керра на одномодовое оптическое волокно значительной длины (50-100 м) для компенсации дисперсии групповой скорости (GVD) и последующей эволюции солитонного импульса (пиковая энергия, узкий секущий гиперболический импульс). ^[18] Генерация солитонного импульса в волокне является очевидным выводом как фазовая автомодуляция из-за высокой энергии смещения импульса GVD, тогда как длина эволюции составляет 2000 км. (длина волны лазера выбрана больше 1,3 микрометра). Более того, пиковый солитонный импульс имеет период 1-3 пс, так что он безопасно размещается в оптической полосе пропускания. После генерации солитонного импульса он меньше всего рассеивается на тысячах километров длины волокна, ограничивая количество ретрансляционных станций.

Темные солитоны

При анализе обоих типов солитонов мы предположили определенные условия относительно среды:

• в пространственных солитонах, это означает, что самофазовая модуляция вызывает самофокусировку ${\displaystyle n_{2}>0}$
• во временных солитонах, или аномальная дисперсия ${\displaystyle \beta _{2}<0}$ ${\displaystyle D>0}$

Можно ли получить солитоны, если эти условия не проверяются? Если предположить или , то получим следующее дифференциальное уравнение (оно имеет одинаковую форму в обоих случаях, будем использовать только обозначение временного солитона): ${\displaystyle n_{2}<0}$ ${\displaystyle \beta _{2}>0}$

${\displaystyle {\frac {-1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0.}$

Это уравнение имеет солитоноподобные решения. Для первого порядка ( N  = 1):

${\displaystyle a(\tau ,\zeta )=\tanh(\tau )e^{i\zeta }.\ }$

сила темного солитона

График показан на рисунке справа. Для солитонов более высокого порядка ( ) мы можем использовать следующее выражение в замкнутой форме: ${\displaystyle |a(\tau ,\zeta )|^{2}}$ ${\displaystyle N>1}$

${\displaystyle a(\tau ,\zeta =0)=N\tanh(\tau ).\ }$

Это солитон, в том смысле, что он распространяется, не меняя своей формы, но он не создается обычным импульсом; скорее, это недостаток энергии в непрерывном временном луче. Интенсивность постоянна, но в течение короткого времени, в течение которого она прыгает до нуля и обратно, таким образом, создавая «темный импульс». Эти солитоны на самом деле можно генерировать, вводя короткие темные импульсы в гораздо более длинные стандартные импульсы. С темными солитонами сложнее обращаться, чем со стандартными солитонами, но они показали себя более стабильными и устойчивыми к потерям.

Смотрите также

• Солитон
• Фазовая автомодуляция
• Оптический эффект Керра
• векторный солитон
• нематикон
• Сверхкороткий импульс

Ссылки

1. Тейлор, Джеймс Рой (1992). Оптические солитоны: теория и эксперимент . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 9780521405485. OCLC  23975147.
2. Рашидиан Вазири, MR (2013). «Описание распространения интенсивных лазерных импульсов в нелинейных керровских средах с использованием модели воздуховодов». Laser Physics . 23 (10): 105401. Bibcode :2013LaPhy..23j5401R. doi :10.1088/1054-660X/23/10/105401. S2CID  250912159.
3. Чэнь, Чин-Лин (2006-09-11). Основы волноводной оптики. John Wiley & Sons. ISBN 9780470042212.
4. Чэнь, Чин-Лин (2006-09-11). Основы волноводной оптики. John Wiley & Sons. ISBN 9780470042212.
5. Агравал, Говинд П. (2007). Нелинейная волоконная оптика. Academic Press. ISBN 9780123695161.
6. JE Bjorkholm; A. Ashkin (1974). "cw Самофокусировка и самозахват света в парах натрия". Phys. Rev. Lett . 32 (4): 129. Bibcode :1974PhRvL..32..129B. doi :10.1103/PhysRevLett.32.129.
7. А. Бартелеми, С. Манеф и К. Фрёли (1985). «Распространение солитона и автоматическое удержание файссо-лазера с нелинейной оптикой ядра». Опция Коммун . 55 (3): 201. Бибкод : 1985OptCo..55..201B. дои : 10.1016/0030-4018(85)90047-1.
8. M. Segev; et al. (1992). «Пространственные солитоны в фоторефрактивных средах». Phys. Rev. Lett . 68 (7): 923–926. Bibcode :1992PhRvL..68..923S. doi :10.1103/PhysRevLett.68.923. PMID  10046033.
9. E. DelRe & M. Segev (2009). "Самофокусировка и солитоны в фоторефрактивных средах". Самофокусировка: прошлое и настоящее . Темы прикладной физики. Том 114. стр. 547–572. Bibcode :2009sfpp.book..547D. doi :10.1007/978-0-387-34727-1_23. ISBN 978-0-387-32147-9.
10. JS Aitchison; et al. (1992). "Наблюдение пространственных солитонов в волноводах AlGaAs". Electron. Lett . 28 (20): 1879. Bibcode :1992ElL....28.1879A. doi :10.1049/el:19921203.
11. GI Stegeman & M. Segev (1999). «Оптические пространственные солитоны и их взаимодействия: универсальность и разнообразие». Science . 286 (5444): 1518–1523. doi :10.1126/science.286.5444.1518. PMID  10567250.
12. J. Beeckman; K. Neyts; X. Hutsebaut; C. Cambournac; M. Haelterman (2004). «Моделирование и эксперименты по условиям самофокусировки в нематических жидкокристаллических планарных ячейках». Opt. Express . 12 (6): 1011–1018. Bibcode : 2004OExpr..12.1011B. doi : 10.1364/OPEX.12.001011 . PMID  19474916.[1][2] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
13. Окулов, А Ю (2000). «Пространственный солитонный лазер: геометрия и устойчивость». Оптика и спектроскопия . 89 (1): 145–147. Bibcode : 2000OptSp..89..131O. doi : 10.1134/BF03356001. S2CID  122790937.
14. Окулов, А Ю (2020). «Структурированные световые сущности, хаос и нелокальные отображения». Хаос, солитоны и фракталы . 133 (4): 109638. arXiv : 1901.09274 . Bibcode : 2020CSF...13309638O. doi : 10.1016/j.chaos.2020.109638. S2CID  247759987.
15. "Солитоны в телекоммуникациях" в книге _Нелинейная наука_ (глава 3). 1997. doi :10.17226/5833. ISBN 978-0-309-05843-8.
16. ""Создание волн: солитоны и их оптические приложения" из SIAM News, том 31, номер 2" (PDF) .
17. М. Гедалин, Т. К. Скотт и Й. Бэнд, «Оптические солитоны в нелинейном уравнении Шредингера высшего порядка», Phys. Rev. Lett. 78 : 448–451 (1997) [3][4].
18. S.Chakraborty, «Отчет о генерации солитонного импульса в пределах 50 м длины SM-волокна с помощью высокочастотного индуцированного нелинейного интеллектуального метода обратной связи», Труды Национальной конференции IEEE по применению интеллектуальных систем , Сонепат, Индия, стр. 91–94, 2008, ISBN 978-81-906531-0-7 . ^{[ требуется проверка ]} 

Библиография

• Салех, Б. Э. А.; Тейх, М. К. (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: John Wiley & sons, inc. ISBN 978-0-471-83965-1.
• Агравал, Говинд П. (1995). Нелинейная волоконная оптика (2-е изд.). Сан-Диего (Калифорния): Academic Press. ISBN 978-0-12-045142-5.

Внешние ссылки

• Распространение солитона в SMF-28 с использованием графического процессора