Электрическая потенциальная энергия

Потенциальная энергия, возникающая в результате действия консервативных кулоновских сил

Электрическая потенциальная энергия — это потенциальная энергия (измеряемая в джоулях ), которая возникает из-за консервативных сил Кулона и связана с конфигурацией определенного набора точечных зарядов в определенной системе . Можно сказать, что объект имеет электрическую потенциальную энергию либо в силу своего собственного электрического заряда, либо в силу своего относительного положения по отношению к другим электрически заряженным объектам .

Термин «электрическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с переменными во времени электрическими полями , в то время как термин «электростатическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с неизменными во времени электрическими полями.

Определение

Электрическая потенциальная энергия системы точечных зарядов определяется как работа, необходимая для сборки этой системы зарядов путем их сближения, как в системе с бесконечного расстояния. Альтернативно, электрическая потенциальная энергия любого данного заряда или системы зарядов называется как полная работа, выполненная внешним агентом для приведения заряда или системы зарядов из бесконечности в текущую конфигурацию без какого-либо ускорения.

Электростатическая потенциальная энергия, U _E , одного точечного заряда q в положении r в присутствии электрического поля E определяется как отрицательная работа W , совершаемая электростатической силой для перемещения его из исходного положения r _ref ^{[примечание 1]} в это положение r . ^{[1] [2] : §25-1}

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{\mathbf {r} }_{\rm {ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} }$

где E — электростатическое поле, а d r' — вектор смещения по кривой от исходного положения r _ref до конечного положения r .

Электростатическую потенциальную энергию можно также определить из электрического потенциала следующим образом:

Электростатическая потенциальная энергия, U _E , одного точечного заряда q в точке r при наличии электрического потенциала определяется как произведение заряда на электрический потенциал. ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )}$

где — электрический потенциал , создаваемый зарядами, который является функцией положения r . ${\displaystyle V}$

Единицы

Единицей измерения электрического потенциала в системе СИ является джоуль (названный в честь английского физика Джеймса Прескотта Джоуля ). В системе СГС единицей измерения энергии является эрг , равный 10−7 ^{Джоулей} . Также могут использоваться электронвольты , 1 эВ = 1,602× ¹⁰⁻¹⁹ Джоулей.

Электростатическая потенциальная энергия одного точечного заряда

Одноточечный заряддв присутствии другого точечного зарядаВ

Точечный заряд q в электрическом поле другого заряда Q.

Электростатическая потенциальная энергия, U _E , одного точечного заряда q в положении r в присутствии точечного заряда Q , принимая бесконечное расстояние между зарядами за исходное положение, равна:

${\displaystyle U_{E}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}}$

где r — расстояние между точечными зарядами q и Q , а q и Q — заряды (не абсолютные значения зарядов, т. е. электрон имел бы отрицательное значение заряда, если бы был помещен в формулу). Следующий план доказательства излагает вывод из определения электрической потенциальной энергии и закона Кулона для этой формулы.

Схема доказательства

Электростатическую силу F, действующую на заряд q, можно записать через электрическое поле E как $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

По определению, изменение электростатической потенциальной энергии, U _E , точечного заряда q , который переместился из исходного положения r _ref в положение r в присутствии электрического поля E , равно отрицательной работе, выполненной электростатической силой для перемещения заряда из исходного положения r _ref в это положение r .

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

где:

• r = положение в трехмерном пространстве заряда q , используя декартовы координаты r = ( x , y , z ), принимая положение заряда Q в r = (0,0,0), скаляр r = | r | является нормой вектора положения,
• d s = вектор дифференциального смещения вдоль пути C, идущий от r _ref к r ,
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$это работа, совершаемая электростатической силой для перемещения заряда из исходного положения r _ref в r ,

Обычно U _E устанавливается равным нулю, когда r _ref равен бесконечности: поэтому $${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$ $${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

Когда ротор ∇ × E равен нулю, линейный интеграл выше не зависит от конкретного выбранного пути C , а только от его конечных точек. Это происходит в электрических полях, не зависящих от времени. Когда речь идет об электростатической потенциальной энергии, всегда предполагаются электрические поля, не зависящие от времени, поэтому в этом случае электрическое поле является консервативным и можно использовать закон Кулона.

Используя закон Кулона , известно, что электростатическая сила F и электрическое поле E, создаваемые дискретным точечным зарядом Q, направлены радиально от Q. Из определения вектора положения r и вектора смещения s следует, что r и s также направлены радиально от Q. Таким образом, E и d s должны быть параллельны:

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$$

Используя закон Кулона, электрическое поле определяется выражением

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

и интеграл можно легко вычислить:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

Одноточечный заряддв присутствиинточечные обвиненияQ я

Электростатическая потенциальная энергия q , обусловленная системой зарядов Q ₁ и Q _{2 :} ${\displaystyle U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)}$

Электростатическая потенциальная энергия, U _E , одного точечного заряда q в присутствии n точечных зарядов Q _i , принимая бесконечное расстояние между зарядами за точку отсчета, равна:

${\displaystyle U_{E}(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},}$

где r _i — расстояние между точечными зарядами q и Q _i , а q и Q _i — заданные значения зарядов.

Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе точечных зарядов

Электростатическая потенциальная энергия U _{E ,} хранящаяся в системе из N зарядов q ₁ , q ₂ , …, q _N в положениях r ₁ , r ₂ , …, r _N соответственно, равна:

где для каждого значения i V( r _i ) — электростатический потенциал, обусловленный всеми точечными зарядами, за исключением заряда в точке r _i , ^{[примечание 2]} и равный: где r _ij — расстояние между q _i и q _j . $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},}$$

Схема доказательства

Электростатическая потенциальная энергия U _{E ,} хранящаяся в системе из двух зарядов, равна электростатической потенциальной энергии заряда в электростатическом потенциале, создаваемом другим. То есть, если заряд q ₁ создает электростатический потенциал V ₁ , который является функцией положения r , то $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

Проделав тот же расчет относительно другого заряда, получим $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

Электростатическая потенциальная энергия делится между собой и , поэтому общая запасенная энергия равна ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

Это можно обобщить, сказав, что электростатическая потенциальная энергия U _{E ,} хранящаяся в системе из n зарядов q ₁ , q ₂ , …, q _n в положениях r ₁ , r ₂ , …, r _n соответственно, равна:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

Энергия, запасенная в системе одного точечного заряда

Электростатическая потенциальная энергия системы, содержащей только один точечный заряд, равна нулю, поскольку нет других источников электростатической силы, против которых внешний агент должен был бы совершить работу по перемещению точечного заряда из бесконечности в его конечное местоположение.

Возникает общий вопрос о взаимодействии точечного заряда с его собственным электростатическим потенциалом. Поскольку это взаимодействие не приводит к перемещению самого точечного заряда, оно не вносит вклад в запасенную энергию системы.

Энергия, запасенная в системе двух точечных зарядов

Рассмотрим перемещение точечного заряда q в его конечное положение вблизи точечного заряда Q _1. Электрический потенциал V( r ) из-за Q ₁ равен $${\displaystyle V(\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}$$

Следовательно, мы получаем электростатическую потенциальную энергию q в потенциале Q ₁ как , где r ₁ — расстояние между двумя точечными зарядами. $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}}$$

Энергия, запасенная в системе из трех точечных зарядов

Электростатическую потенциальную энергию системы из трех зарядов не следует путать с электростатической потенциальной энергией Q _{1 ,} обусловленной двумя зарядами Q ₂ и Q ₃ , поскольку последняя не включает в себя электростатическую потенциальную энергию системы из двух зарядов Q ₂ и Q ₃ .

Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе из трех зарядов, равна: $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Схема доказательства

Используя формулу, приведенную в ( 1 ), электростатическая потенциальная энергия системы из трех зарядов будет тогда равна: $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

Где — электрический потенциал в r _1, созданный зарядами Q ₂ и Q ₃ , — электрический потенциал в r _2, созданный зарядами Q ₁ и Q ₃ , и — электрический потенциал в r _3, созданный зарядами Q ₁ и Q _2. Потенциалы: ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

Где r _ij — расстояние между зарядами Q _i и Q _j .

Если мы сложим все:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

В итоге получаем, что электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе из трех зарядов:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Энергия, запасенная в электростатическом поле, распределенном в вакууме

Плотность энергии, или энергия на единицу объема, электростатического поля непрерывного распределения заряда равна: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$ $${\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Схема доказательства

Можно взять уравнение для электростатической потенциальной энергии непрерывного распределения заряда и выразить его через электростатическое поле .

Так как закон Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме гласит , что $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$это вектор электрического поля
• ${\displaystyle \rho }$это общая плотность заряда , включая дипольные заряды, связанные в материале
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$- диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,

затем, $${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

Итак, теперь используем следующее тождество вектора дивергенции

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$$

у нас есть

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

используя теорему о расходимости и считая область на бесконечности, где ${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

Итак, плотность энергии или энергия на единицу объема электростатического поля равна : ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Энергия, запасенная в электронных элементах

Электрическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе, равна U _E = ⁠1/2⁠ Резюме ²

Некоторые элементы в цепи могут преобразовывать энергию из одной формы в другую. Например, резистор преобразует электрическую энергию в тепло. Это известно как эффект Джоуля . Конденсатор сохраняет ее в своем электрическом поле. Общая электростатическая потенциальная энергия, хранящаяся в конденсаторе, определяется по формуле, где C — емкость , V — разность электрических потенциалов , а Q — заряд , хранящийся в конденсаторе. $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$

Схема доказательства

Можно собирать заряды в конденсаторе бесконечно малыми порциями, так что объем работы, проделанной для сборки каждой порции в ее конечном месте, может быть выражен как ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

Полная работа, проделанная для полной зарядки конденсатора таким образом, равна где — полный заряд конденсатора. Эта работа сохраняется в виде электростатической потенциальной энергии, следовательно, $${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

Примечательно, что это выражение справедливо только если , что справедливо для многозарядных систем, таких как большие конденсаторы с металлическими электродами. Для малозарядных систем важна дискретная природа заряда. Полная энергия, запасенная в малозарядном конденсаторе, равна , которая получается методом сборки заряда с использованием наименьшего физического приращения заряда , где — элементарная единица заряда , а где — общее число зарядов в конденсаторе. ${\displaystyle dq\to 0}$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$ ${\displaystyle \Delta q=e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Q=Ne}$ ${\displaystyle N}$

Полная электростатическая потенциальная энергия может быть также выражена через электрическое поле в виде $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} \,dV}$$

где — электрическое поле смещения внутри диэлектрического материала, а интегрирование ведется по всему объему диэлектрика. ${\displaystyle \mathrm {D} }$

(Виртуальный эксперимент, основанный на передаче энергии между пластинами конденсатора, показывает, что необходимо учитывать дополнительный член, когда электростатическая энергия выражается через электрическое поле и вектор смещения s ^[3] .

Хотя эта дополнительная энергия нейтрализуется при работе с изоляторами, в общем случае ее нельзя игнорировать, как, например, в случае полупроводников.)

Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в заряженном диэлектрике, может быть также выражена через непрерывный объемный заряд, где интегрирование производится по всему объему диэлектрика. ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV}$$

Последние два выражения справедливы только для случаев, когда наименьшее приращение заряда равно нулю ( ), например, для диэлектриков в присутствии металлических электродов или диэлектриков, содержащих много зарядов. ${\displaystyle dq\to 0}$

Примечания

1. За нуль отсчета обычно принимается состояние, в котором отдельные точечные заряды очень хорошо разделены («находятся на бесконечном расстоянии») и находятся в состоянии покоя.
2. Фактор половины учитывает «двойной счет» пар зарядов. Например, рассмотрим случай всего двух зарядов.

Ссылки

1. Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN  0-471-92712-0
2. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (1997). "Электрический потенциал". Основы физики (5-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-10559-7.
3. Саллезе (2016-06-01). "Новая составляющая электростатической энергии в полупроводниках". The European Physical Journal B . 89 (6): 136. arXiv : 1510.06708 . doi : 10.1140/epjb/e2016-60865-4 . ISSN  1434-6036. S2CID  120731496.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Электрическая потенциальная энергия на Wikimedia Commons