Поверхность вращения

Поверхность, созданная вращением кривой вокруг оси

Часть кривой x = 2 + cos( z ), повернутая вокруг оси z

Тор как квадрат вращается вокруг оси, параллельной одной из его диагоналей .

Поверхность вращения — это поверхность в евклидовом пространстве , созданная вращением кривой ( образующей ) на один полный оборот вокруг оси вращения (обычно не пересекающей образующую, за исключением ее конечных точек). ^[1] Объем, ограниченный поверхностью, созданной этим вращением, является телом вращения .

Примерами поверхностей вращения, образованных прямой линией, являются цилиндрические и конические поверхности в зависимости от того, параллельна ли линия оси. Круг, вращающийся вокруг любого диаметра, образует сферу, большой круг которой он затем является , а если круг вращается вокруг оси, которая не пересекает внутреннюю часть круга, то он образует тор, который не пересекает сам себя ( кольцевой тор ).

Характеристики

Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, проходящими через ось, называются меридиональными сечениями . Любое меридиональное сечение можно считать образующей в плоскости, определяемой им и осью. ^[2]

Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, перпендикулярными оси, являются окружностями.

Некоторые частные случаи гиперболоидов (одно- или двухполостных) и эллиптических параболоидов являются поверхностями вращения. Их можно определить как квадратичные поверхности, все поперечные сечения которых , перпендикулярные оси, являются круговыми.

Формула площади

Если кривая описывается параметрическими функциями x ( t ) , y ( t ) , причем t изменяется в некотором интервале [ a , b ] , а осью вращения является ось y , то площадь поверхности A _y задается интегралом при условии, что x ( t ) никогда не бывает отрицательной между конечными точками a и b . Эта формула является эквивалентом исчисления теоремы Паппуса о центроиде . ^[3] Величина исходит из теоремы Пифагора и представляет собой малый сегмент дуги кривой, как в формуле длины дуги . Величина 2π x ( t ) является путем (центроидом) этого малого сегмента, как того требует теорема Паппуса. $${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$$ $${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}}$$

Аналогично, когда осью вращения является ось x и при условии, что y ( t ) никогда не бывает отрицательным, площадь определяется по формуле ^[4] $${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$$

Если непрерывная кривая описывается функцией y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , то интеграл становится для вращения вокруг оси x и для вращения вокруг оси y (при условии a ≥ 0 ). Они вытекают из приведенной выше формулы. ^[5] $${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$$ $${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

Это также может быть получено из многомерной интеграции. Если плоская кривая задана как то ее соответствующая поверхность вращения при вращении вокруг оси x имеет декартовы координаты, заданные как с . Тогда площадь поверхности задается интегралом поверхности ${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ $${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

Вычисление частных производных дает и вычисление перекрестного произведения дает , где использовалось тригонометрическое тождество . С этим перекрестным произведением мы получаем, где снова использовалось то же самое тригонометрическое тождество. Вывод для поверхности, полученной вращением вокруг оси y, аналогичен. $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$ ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$

Например, сферическая поверхность с единичным радиусом образуется кривой y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) , когда t изменяется в диапазоне [0,π] . Поэтому ее площадь равна $${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$$

Для случая сферической кривой с радиусом r , y ( x ) = √ r ² − x ^{2 ,} вращающейся вокруг оси x $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$$

Минимальная поверхность вращения — это поверхность вращения кривой между двумя заданными точками, которая минимизирует площадь поверхности . ^[6] Основная проблема в вариационном исчислении — нахождение кривой между двумя точками, которая создает эту минимальную поверхность вращения. ^[6]

Существует только две минимальные поверхности вращения ( поверхности вращения , которые также являются минимальными поверхностями): плоскость и катеноид . ^[7]

Координатные выражения

Поверхность вращения, заданная вращением кривой, описанной вокруг оси x, может быть наиболее просто описана с помощью . Это дает параметризацию в терминах и как . Если вместо этого мы вращаем кривую вокруг оси y, то кривая описывается с помощью , что дает выражение в терминах параметров и . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})}$ ${\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$

Если x и y определены в терминах параметра , то мы получаем параметризацию в терминах и . Если и являются функциями , то поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси x, описывается , а поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси y, описывается . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}$

Геодезические

Меридианы всегда являются геодезическими на поверхности вращения. Другие геодезические управляются соотношением Клеро . ^[8]

Тороиды

Тороид, созданный из квадрата

Поверхность вращения с отверстием, в котором ось вращения не пересекает поверхность, называется тороидом. ^[9] Например, если прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной одному из его краев, то получается полое кольцо квадратного сечения. Если вращаемая фигура представляет собой круг , то объект называется тором .

Смотрите также

• Поверхность канала , обобщение поверхности вращения
• Рог Гавриила
• Обобщенный геликоид
• Лимон (геометрия) , поверхность вращения дуги окружности
• Поверхность Лиувилля , еще одно обобщение поверхности вращения.
• Сфероид
• Поверхностный интеграл
• Поверхность трансляции (дифференциальная геометрия)

Ссылки

1. Миддлмисс; Маркс; Смарт. "15-4. Поверхности вращения". Аналитическая геометрия (3-е изд.). С. 378. LCCN  68015472.
2. Уилсон, WA; Трейси, JI (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренное издание), DC Heath and Co., стр. 227
3. Томас, Джордж Б. «6.7: Площадь поверхности вращения; 6.11: Теоремы Паппуса». Исчисление (3-е изд.). С. 206–209, 217–219. LCCN  69016407.
4. Сингх, Р. Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Tata McGraw-Hill. стр. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.
5. Своковски, Эрл В. (1983). Исчисление с аналитической геометрией (Альтернативное издание). Prindle, Weber & Schmidt. стр. 617. ISBN 0-87150-341-7.
6. Weisstein, Eric W. "Минимальная поверхность вращения". MathWorld .
7. Вайсштейн, Эрик В. «Катеноид». MathWorld .
8. Пресли, Эндрю. «Глава 9 — Геодезические». Элементарная дифференциальная геометрия , 2-е изд., Springer, Лондон, 2012, стр. 227–230.
9. Вайсштейн, Эрик В. «Тороид». Математический мир .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность вращения». MathWorld .
• «Поверхность революции». Энциклопедия математических форм Remarquables (на французском языке).