Индексный эллипсоид

В кристаллооптике эллипсоид показателя преломления (также известный как оптическая индикатриса ^[1] или иногда как диэлектрический эллипсоид ^[2] ) представляет собой геометрическую конструкцию, которая кратко представляет показатели преломления и связанные с ними поляризации света как функции ориентации волновой фронт в кристалле с двойным преломлением (при условии, что кристалл не обладает оптическим вращением ). Когда этот эллипсоид разрезается через его центр плоскостью, параллельной волновому фронту, полученное пересечение (называемое центральным сечением или диаметральным сечением ) представляет собой эллипс , большая и малая полуоси которого имеют длины, равные двум показателям преломления для этой ориентации волнового фронта. , и имеют направления соответствующих поляризаций, выраженные вектором электрического смещения D . ^[3] Главные полуоси эллипсоида показателя преломления называются главными показателями преломления . ^[4]

Из процедуры сечения следует, что каждая главная полуось эллипсоида обычно представляет собой не показатель преломления для распространения в направлении этой полуоси, а скорее показатель преломления для волновых фронтов, касательных к этому направлению, с вектором D , параллельным этому направлению, распространяющимся перпендикулярно этому направлению. Таким образом, направление распространения (нормальное к волновому фронту), к которому применяется каждый главный показатель преломления, находится в плоскости, перпендикулярной соответствующей главной полуоси.

Терминология

Эллипсоид показателя преломления не следует путать с поверхностью показателя преломления , радиус-вектор которого (от начала координат) в любом направлении действительно является показателем преломления для распространения в этом направлении; для двулучепреломляющей среды индексная поверхность представляет собой двулистную поверхность, два радиуса-вектора которой в любом направлении имеют длины, равные большой и малой полуосям диаметрального сечения индексного эллипсоида плоскостью, нормальной к этому направлению.

Если мы обозначим главные полуоси эллипсоида индекса и выберем декартову систему координат, в которой эти полуоси расположены соответственно в направлениях , и , уравнение эллипсоида индекса будет иметь вид ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Если эллипсоид индекса трехосный (то есть все его главные полуоси неравны), существуют две секущие плоскости, для которых диаметральное сечение сводится к кругу. Для волновых фронтов, параллельных этим плоскостям, разрешены все поляризации и они имеют одинаковый показатель преломления, следовательно, одинаковую скорость волны. Направления, нормальные к этим двум плоскостям, то есть направления одной скорости волны для всех поляризаций, называются бинормальными осями ^[5] или оптическими осями ^[6] , и поэтому среда называется двухосной . ^{[Примечание 1]} Таким образом, как это ни парадоксально, если эллипсоид индекса среды трехосный , сама среда называется двухосной .

Если две главные полуоси индексного эллипсоида равны (в этом случае их общая длина называется обыкновенным индексом, а третья — необыкновенным индексом), эллипсоид сводится к сфероиду (элллипсоиду вращения), а две оптические оси сливаются, поэтому среду называют одноосной . ^{[Примечание 2]} Поскольку индексный эллипсоид сводится к сфероиду, двухлистная индексная поверхность , построенная из него, уменьшается до сферы и сфероида, соприкасающихся на противоположных концах их общей оси, которая параллельна оси индексного эллипсоида; ^[7] , но главные оси сфероидального индексного эллипсоида и сфероидального листа индексной поверхности поменяны местами. Например, в хорошо известном случае кальцита указательный эллипсоид представляет собой сплюснутый сфероид , так что один лист указательной поверхности представляет собой сферу, касающуюся этого сплюснутого сфероида на экваторе, в то время как другой лист указательной поверхности представляет собой вытянутую форму . сфероид, касающийся сферы в полюсах, с экваториальным радиусом (необыкновенным индексом), равным полярному радиусу сплюснутого сфероидального эллипсоида индекса. ^{[Заметка 3]}

Если все три главные полуоси индексного эллипсоида равны, он превращается в сферу: все диаметральные сечения индексного эллипсоида круглые, следовательно, все поляризации разрешены для всех направлений распространения с одинаковым показателем преломления для всех направлений. и индексная поверхность сливается с (сферическим) индексным эллипсоидом; Короче говоря, среда оптически изотропна . Этим свойством обладают кубические кристаллы ^[8] , а также аморфные прозрачные среды, такие как стекло и вода. ^[9]

История

Поверхность, аналогичная эллипсоиду преломления, может быть определена для скорости волны (нормальной к волновому фронту) вместо показателя преломления. Обозначим через n длину радиуса-вектора от начала координат до общей точки эллипсоида индекса. Тогда деление уравнения ( 1 ⁾ на n2 дает

где , , и – направляющие косинусы радиус-вектора. Но n также является показателем преломления волнового фронта, параллельного диаметральному сечению, радиус-вектор которого является большой или малой полуосью. Если этот волновой фронт имеет скорость , мы имеем , где скорость света в вакууме. ^{[Примечание 4]} Для главных полуосей индексного эллипсоида, для которых n принимает значения, примем значения a,b,c соответственно , так что и . Сделав эти замены в ( 2 ) и сократив общий делитель , получим ${\displaystyle \cos \xi }$ ${\displaystyle \cos \eta }$ ${\displaystyle \cos \zeta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n=c_{0}/v}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c},}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n_{a}=c_{0}/a,}$  ${\displaystyle n_{b}=c_{0}/b,}$ ${\displaystyle n_{c}=c_{0}/c}$ ${\displaystyle c_{0}^{2}}$

Это уравнение было выведено Огюстеном-Жаном Френелем в январе 1822 года. ^[10] Если - длина радиус-вектора, уравнение описывает поверхность со свойством, что большая и малая полуоси любого диаметрального сечения имеют длины, равные длине волны. нормальные скорости волновых фронтов, параллельных этому участку, и направления того, что Френель назвал «вибрациями» (которые мы теперь признаем как колебания D ). ${\displaystyle v}$

В то время как поверхность, описываемая ( 1 ), находится в индексном пространстве (в котором координаты являются безразмерными числами), поверхность, описываемая ( 3 ), находится в пространстве скоростей (в котором координаты имеют единицы скорости). Если первая поверхность имеет 2-ю степень, то последняя — 4-ю степень, в чем можно убедиться, переопределив компоненты скорости, положить и т. д.; таким образом, последняя поверхность ( 3 ) обычно представляет собой не эллипсоид, а овал другого типа . И как индексный эллипсоид порождает индексную поверхность, так и поверхность ( 3 ) посредством того же процесса генерирует то, что мы называем поверхностью нормальной скорости . ^{[Примечание 5]} Следовательно, поверхность ( 3 ) можно было бы разумно назвать «овалоидом нормальной скорости». Френель, однако, назвал ее поверхностью упругости , поскольку он вывел ее, предположив, что световые волны представляют собой поперечные упругие волны, что среда имеет три перпендикулярных направления, в которых смещение молекулы создает восстанавливающую силу в точно противоположном направлении, и что восстанавливающая сила, возникающая из-за векторной суммы смещений, была векторной суммой восстанавливающих сил, возникающих из-за отдельных смещений. ^[10] ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \cos \xi =x/v}$

Френель вскоре понял, что эллипсоид, построенный на тех же главных полуосях, что и поверхность упругости, имеет такое же отношение к лучевым скоростям, какое поверхность упругости имеет к нормальным волновым скоростям. ^{[11] [12]} Эллипсоид Френеля теперь называют лучевым эллипсоидом . Таким образом, говоря современным языком, лучевой эллипсоид генерирует лучевые скорости, так же как индексный эллипсоид генерирует показатели преломления. Большая и малая полуоси диаметрального сечения лучевого эллипсоида находятся в разрешенных направлениях вектора электрического поля E. ^[13]

Термин «индексная поверхность» был придуман Джеймсом МакКаллагом в 1837 году ^. сечение эллипсоида, главные полуоси которого обратно пропорциональны полуосям эллипсоида Френеля ^[15] и которое МакКулла позже назвал «эллипсоидом индексов». ^[16] В 1891 году Лазарус Флетчер назвал этот эллипсоид оптической индикатрисой . ^[17]

Электромагнитная интерпретация

Вывод эллипсоида индекса и его порождающего свойства из теории электромагнетизма нетривиален. ^{[18] Однако,} учитывая эллипсоид индекса, мы можем легко связать его параметры с электромагнитными свойствами среды.

Скорость света в вакууме равна

$${\displaystyle c_{0}=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,}$$

проницаемостьпроницаемость^[19]относительная диэлектрическая проницаемостьдиэлектрической постоянной ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{r}\epsilon _{0}\;\!,}$ ${\displaystyle \epsilon _{r}}$

$${\displaystyle v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{r}\epsilon _{0}}}\,.}$$

${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}}}\,.}$$

анизотропнойDEDглавные диэлектрические проницаемостиD ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}}$ ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c}}$

$${\displaystyle n_{a}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{b}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{c}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,}$$

^[20]1^[21]

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,}$$

диэлектрическим

Смотрите также

• Двойное лучепреломление
• Комплексный показатель преломления
• Кристаллическая оптика
• Д-ДИА
• Математическое описание непрозрачности

Примечания

1. Или, в более старой литературе, биаксальный .
2. Или, в более старой литературе, одноосный .
3. Ярив и Йе (1984, стр. 86–7) приводят пример противоположного типа, в котором индексная поверхность вытянута (рис. 4.4), а соответствующая индексная поверхность (которую они называют «нормальной поверхностью») представляет собой сфера и сплюснутый сфероид, соприкасающиеся полюсами. В обоих примерах пропорции необыкновенного волнового фронта, распространяющегося от точечного источника в кристалле, обратны пропорциям преломляющей поверхности, поскольку показатель преломления обратно пропорционален нормальной скорости волнового фронта.
4. Или иногда в качестве эталонной среды вместо вакуума удобно использовать воздух; ср. Цернике и Мидвинтер, 1973, с. 2.
5. То есть поверхность, радиус-вектор которой в любом направлении равен скорости нормали волны в этом направлении. Дженкинс и Уайт (1976, стр. 555–6) называют это поверхностью нормальной скорости . Борн и Вольф (2002, стр. 803) называют это нормальной поверхностью . Но Ярив и Йе (1984) используют термин нормальная поверхность для индексной поверхности (стр. 87) или соответствующая поверхность для волнового вектора k (стр. 73).

Рекомендации

1. Рожденный и Вольф, 2002, с. 799; Ярив и Йе, 1984, с. 77.
2. Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 560–61.
3. Born & Wolf, 2002, стр. 799–800; Ландау и Лифшиц, 1960, с. 320; Ярив и Йе, 1984, стр. 77–8.
4. Цернике и Мидвинтер, 1973, с. 11.
5. Ландау и Лифшиц, 1960, с. 326.
6. Рожденный и Вольф, 2002, с. 801; Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 562; Ярив и Йе, 1984, с. 73.
7. См. Ярив и Йе, 1984, стр. 82, 84.
8. Ландау и Лифшиц, 1960, с. 321; Ярив и Йе, 1984, стр. 82–3; Цернике и Мидвинтер, 1973, с. 12.
9. Рожденный и Вольф, 2002, с. 805.
10. А. Френель, «Extrait du Supplément au Mémoire sur la double refraction» (прочитано 13 января 1822 г.?), Напечатано во Френеле, 1868 г., стр. 335–42; переведено как « Отрывок из дополнения к мемуарам о двойном лучепреломлении», Зенодо :  5886692 , 2022.
11. А. Френель, «Extrait d'un Mémoire sur la double refraction»,  Annales de Chimie et de Physique , Ser. 2, том. 28, стр. 263–79 (март 1825 г.); переиздано как «Extrait du Second Mémoire sur la double refraction» во Френеле, 1868, стр. 465–78; переведено как « Отрывок из [второго] мемуара о двойном лучепреломлении», Zenodo :  5442206 , 2022. (Более ранняя версия этой статьи появилась в Bulletin des Sciences par la Société Philomatique de Paris , том 9, стр. 63–71, Май 1822 г.).
12. Fresnel, 1868, стр. 395–6 (написано не позднее 31 марта 1822 г.; см. стр. 442).
13. Рожденный и Вольф, 2002, с. 802.
14. Дж. МакКаллах, «О законах кристаллического отражения и преломления» (прочитано 9 января 1837 г.), Труды Королевской ирландской академии , том. 18 (1839), стр. 31–74, JSTOR  30078974, стр. 38.
15. Дж. МакКаллах, «Геометрические положения, применимые к волновой теории света» (прочитано 24 июня 1833 г.), Труды Королевской ирландской академии , том. 17 (номинально на 1831 г.), стр. 241–63, JSTOR  30078792, стр. 260.
16. Труды Королевской ирландской академии , вып. 49 (13 января 1845 г.), стр. 49–51.
17. Л. Флетчер, «Оптическая индикатриса и передача света в кристаллах» (прочитано 16 июня 1891 г.), Минералогический журнал и журнал Минералогического общества , том. 9, стр. 278–388 (декабрь 1891 г.); переиздано в Лондоне: Издательство Оксфордского университета, 1892 г.; рассмотрено «RTG» в журнале Nature , vol. 46, нет. 1199 (20 октября 1892 г.), стр. 581–2.
18. См., например, Born & Wolf, 2002, стр. 790–801; Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 559–62; Ландау и Лифшиц, 1960, стр. 313–20; Ярив и Йе, 1984, стр. 69–79; Зернике и Мидвинтер, 1973, стр. 6–12. Из них только Ярив и Йе используют единицы СИ ; остальные используют менее известные единицы Гаусса , которые меняют формы некоторых уравнений.
19. Ландау и Лифшиц, 1960, стр. 251–3 (§60). Авторы используют единицы Гаусса , в которых магнитная проницаемость вакуума равна 1.
20. Рожденный и Вольф, 2002, с. 799; Дженкинс и Уайт, 1976, с. 560.
21. Рожденный и Вольф, 2002, с. 799; Дженкинс и Уайт, 1976, с. 560; Ландау и Лифшиц, 1960, с. 320.

Библиография

• М. Борн и Э. Вольф, 2002, Принципы оптики , 7-е изд., Cambridge University Press, 1999 (перепечатано с исправлениями, 2002 г.), ISBN 978-0-521-64222-4 . 
• А. Френель (изд. Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), 1868, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Париж: Imprimerie Impériale (3 тома, 1866–70), том. 2 (1868 г.).
• Ф.А. Дженкинс и Х.Э. Уайт, 1976, Основы оптики , 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 . 
• Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц (тр. Дж. Б. Сайкс и Дж. С. Белл), 1960, Электродинамика сплошных сред (том 8 курса теоретической физики ), Лондон: Pergamon Press.
• А. Ярив и П. Йе, 1984, Оптические волны в кристаллах: распространение и контроль лазерного излучения , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-09142-1 . 
• Ф. Зернике и Дж. Э. Мидуинтер, 1973, Прикладная нелинейная оптика , Нью-Йорк: Wiley (перепечатано Минеола, Нью-Йорк: Дувр, 2006).