Эпигруппа

В абстрактной алгебре эпигруппа — это полугруппа , в которой каждый элемент имеет степень, принадлежащую подгруппе . Формально для всех x в полугруппе S существует положительное целое число n и подгруппа G из S, такие что x ⁿ принадлежит G.

Эпигруппы известны под множеством других названий, включая квазипериодическую полугруппу , группово-связанную полугруппу , полностью π-регулярную полугруппу, сильно π-регулярную полугруппу ( sπr ^[1] ) ^[2] или просто π-регулярную полугруппу ^[3] (хотя последнее неоднозначно).

В более общем смысле, в произвольной полугруппе элемент называется связанным с группой, если он имеет мощность, принадлежащую подгруппе.

Эпигруппы имеют приложения к теории колец . Многие из их свойств изучаются в этом контексте. ^[4]

Эпигруппы были впервые изучены Дугласом Манном в 1961 году, который назвал их псевдообратимыми . ^[5]

Характеристики

Эпигруппы являются обобщением периодических полугрупп , ^[6] поэтому все конечные полугруппы также являются эпигруппами.
Класс эпигрупп также содержит все вполне регулярные полугруппы и все вполне 0-простые полугруппы . ^[5]
Все эпигруппы в конечном итоге являются также регулярными полугруппами . ^[7] (также известны как π-регулярные полугруппы)
Сократительная эпигруппа — это группа . ^[8]
Отношения Грина D и J совпадают для любой эпигруппы. ^[9]
Если S — эпигруппа, то любая регулярная подполугруппа S также является эпигруппой . ^[1]
В эпигруппе порядок Намбурипада (расширенный П. Р. Джонсом) и естественный частичный порядок (Митча) совпадают. ^[10]

Примеры

Полугруппа всех квадратных матриц заданного размера над телом является эпигруппой. ^[5]
Мультипликативная полугруппа любого полупростого артинова кольца является эпигруппой. ^[4]^{: 5}
Любая алгебраическая полугруппа является эпигруппой.

Структура

По аналогии с периодическими полугруппами, эпигруппа S разбивается на классы , заданные ее идемпотентами , которые действуют как тождества для каждой подгруппы. Для каждого идемпотента e из S множество: называется классом унипотентности (тогда как для периодических полугрупп обычное название — класс кручения.) ^[5] $K_{e}=\{x\in S\mid \exists n>0:x^{n}\in G_{e}\}$

Подполугруппы эпигруппы не обязательно должны быть эпигруппами, но если они являются таковыми, то они называются подэпигруппами. Если эпигруппа S имеет разбиение на унипотентные подэпигруппы (т. е. каждая содержит один идемпотент), то это разбиение уникально, и его компоненты являются в точности классами унипотентности, определенными выше; такая эпигруппа называется унипотентно расщепляемой . Однако не каждая эпигруппа обладает этим свойством. Простым контрпримером является полугруппа Брандта с пятью элементами B _{2 ,} поскольку класс унипотентности ее нулевого элемента не является подполугруппой. B ₂ на самом деле является квинтэссенцией эпигруппы, которая не является унипотентно расщепляемой. Эпигруппа унипотентно расщепляема тогда и только тогда, когда она не содержит подполугруппы, которая является идеальным расширением унипотентной эпигруппы с помощью B ₂ . ^[5]

Смотрите также

Специальные классы полугрупп

Ссылки

^ ab Lex E. Renner (2005). Линейные алгебраические моноиды. Springer. стр. 27–28. ISBN 978-3-540-24241-3.
^ А. В. Келарев, Приложения эпигрупп к теории градуированных колец , Semigroup Forum , том 50, номер 1 (1995), 327–350 doi :10.1007/BF02573530
^ Эрик Йесперс; Ян Окнински (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры. Springer. стр. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7.
^ ab Андрей В. Келарев (2002). Кольцевые конструкции и приложения . World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4.
^ abcde Лев Н. Шеврин (2002). "Эпигруппы". В Александр Васильевич Михалев и Гюнтер Пильц (ред.). Краткий справочник по алгебре. Springer. С. 23–26. ISBN 978-0-7923-7072-7.
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. стр. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. стр. 50. ISBN 978-0-19-853577-5.
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. стр. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. стр. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. стр. 48. ISBN 978-0-19-853577-5.