Эрмитова матрица

Матрица равна своей сопряженно-транспонированной

В математике эрмитова матрица (или самосопряженная матрица ) — это комплексная квадратная матрица , равная своей собственной сопряженной транспонированной матрице , то есть элемент в i -й строке и j -м столбце равен комплексно сопряженному элементу в j -й строке и i -м столбце для всех индексов i и j : $${\displaystyle A{\text{ is Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$$

или в матричной форме: $${\displaystyle A{\text{ is Hermitian}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.}$$

Эрмитовы матрицы можно понимать как комплексное расширение действительных симметричных матриц .

Если сопряженное транспонирование матрицы обозначается как , то эрмитово свойство можно кратко записать как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {H}},}$

$${\displaystyle A{\text{ is Hermitian}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}}$$

Эрмитовы матрицы названы в честь Шарля Эрмита ^[1] , который в 1855 году продемонстрировал, что матрицы этой формы обладают свойством, свойственным действительным симметричным матрицам, всегда имеющим действительные собственные значения . Другие эквивалентные обозначения, которые широко используются, хотя в квантовой механике , как правило, означают только комплексное сопряжение , а не сопряженное транспонирование . ${\displaystyle A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast },}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$

Альтернативные характеристики

Эрмитовы матрицы можно охарактеризовать несколькими эквивалентными способами, некоторые из которых перечислены ниже:

Равенство с присоединенным

Квадратная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда она равна своей сопряженной транспонированной матрице , то есть она удовлетворяет условию для любой пары векторов , где обозначает операцию скалярного произведения . ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle =\langle A\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} ,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Таким же образом определяется и более общее понятие самосопряженного оператора .

Действительность квадратичных форм

Матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n\times {}n}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad {\text{for all }}\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}.}$$

Спектральные свойства

Квадратная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда она унитарно диагонализируема с действительными собственными значениями . ${\displaystyle A}$

Приложения

Эрмитовы матрицы являются фундаментальными для квантовой механики , поскольку они описывают операторы с обязательно действительными собственными значениями. Собственное значение оператора в некотором квантовом состоянии является одним из возможных результатов измерения оператора, что требует, чтобы операторы имели действительные собственные значения. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

При обработке сигналов эрмитовы матрицы используются в таких задачах, как анализ Фурье и представление сигналов. ^[2] Собственные значения и собственные векторы эрмитовых матриц играют решающую роль в анализе сигналов и извлечении значимой информации.

Эрмитовы матрицы широко изучаются в линейной алгебре и численном анализе . Они имеют четко определенные спектральные свойства, и многие численные алгоритмы, такие как алгоритм Ланцоша , используют эти свойства для эффективных вычислений. Эрмитовы матрицы также появляются в таких методах, как разложение по сингулярным значениям (SVD) и разложение по собственным значениям .

В статистике и машинном обучении эрмитовы матрицы используются в ковариационных матрицах , где они представляют отношения между различными переменными. Положительная определенность эрмитовой ковариационной матрицы обеспечивает хорошую определенность многомерных распределений. ^[3]

Эрмитовы матрицы применяются при проектировании и анализе систем связи , особенно в области систем MIMO с множественным входом и множественным выходом . Матрицы каналов в системах MIMO часто проявляют эрмитовы свойства.

В теории графов эрмитовы матрицы используются для изучения спектров графов . Эрмитова матрица Лапласа является ключевым инструментом в этом контексте, поскольку она используется для анализа спектров смешанных графов. ^[4] Эрмитова матрица смежности смешанного графа является еще одним важным понятием, поскольку это эрмитова матрица, которая играет роль в изучении энергий смешанных графов. ^[5]

Примеры и решения

В этом разделе сопряженная транспонированная матрица обозначается как , транспонированная матрица обозначается как , а сопряженная матрица обозначается как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}.}$

Смотрите следующий пример:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}}$$

Диагональные элементы должны быть действительными , так как они должны быть сами себе комплексно сопряженными.

Известные семейства эрмитовых матриц включают матрицы Паули , матрицы Гелл-Манна и их обобщения. В теоретической физике такие эрмитовы матрицы часто умножаются на мнимые коэффициенты, ^{[6] [7]} что приводит к косо-эрмитовым матрицам .

Здесь мы предлагаем еще одну полезную эрмитову матрицу, используя абстрактный пример. Если квадратная матрица равна произведению матрицы на ее сопряженную транспонированную, то есть, то является эрмитовой положительно полуопределенной матрицей . Кроме того, если является строкой полного ранга, то является положительно определенной. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=BB^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Характеристики

Значения главной диагонали действительны

Элементы главной диагонали (сверху слева направо вниз) любой эрмитовой матрицы являются действительными .

Доказательство

Из определения эрмитовой матрицы so для i = j следует вышеизложенное. $${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$$

Только элементы главной диагонали обязательно являются действительными; эрмитовы матрицы могут иметь произвольные комплекснозначные элементы в своих недиагональных элементах , при условии, что диагонально противоположные элементы являются комплексно сопряженными.

Симметричный

Матрица, которая имеет только действительные элементы, симметрична тогда и только тогда, когда она является эрмитовой матрицей. Действительная и симметричная матрица — это просто частный случай эрмитовой матрицы.

Доказательство

${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$по определению. Таким образом (симметрия матрицы) тогда и только тогда, когда ( действительна). ${\displaystyle H_{ij}=H_{ji}}$ ${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ij}}$ ${\displaystyle H_{ij}}$

Таким образом, если действительную антисимметричную матрицу умножить на действительное кратное мнимой единицы, то она станет эрмитовой. ${\displaystyle i,}$

Нормальный

Каждая эрмитова матрица является нормальной матрицей . То есть, ${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.}$

Доказательство

${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}},}$так ${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.}$

Диагонализуемый

Конечномерная спектральная теорема гласит, что любая эрмитова матрица может быть диагонализирована унитарной матрицей , и что полученная диагональная матрица имеет только действительные элементы. Это означает, что все собственные значения эрмитовой матрицы A размерности n действительны, и что A имеет n линейно независимых собственных векторов . Более того, эрмитова матрица имеет ортогональные собственные векторы для различных собственных значений. Даже если есть вырожденные собственные значения, всегда можно найти ортогональный базис C ^{n ,} состоящий из n собственных векторов A .

Сумма эрмитовых матриц

Сумма любых двух эрмитовых матриц является эрмитовой.

Доказательство

$${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji},}$$как и заявлено.

Обратное является эрмитовым

Обратная матрица обратимой эрмитовой матрицы также является эрмитовой.

Доказательство

Если так, то так , как утверждается. ${\displaystyle A^{-1}A=I,}$ ${\displaystyle I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}$

Ассоциативное произведение эрмитовых матриц

Произведение двух эрмитовых матриц A и B является эрмитовым тогда и только тогда, когда AB = BA .

Доказательство

$${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.}$$Таким образом , если и только если ${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}=AB}$ ${\displaystyle AB=BA.}$

Таким образом, A ⁿ является эрмитовым, если A является эрмитовым и n — целое число.

АБАЭрмитов

Если A и B эрмитовы, то ABA также эрмитова.

Доказательство

$${\displaystyle (ABA)^{\mathsf {H}}=(A(BA))^{\mathsf {H}}=(BA)^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA}$$

в Х А вреально для сложныхв

Для произвольного комплексного вектора v произведение является действительным, поскольку Это особенно важно в квантовой физике, где эрмитовы матрицы являются операторами, измеряющими свойства системы, например, полный спин , которые должны быть действительными. ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {H}}.}$

Комплексные эрмитовы формы векторного пространства надℝ

Эрмитовы комплексные матрицы n на n не образуют векторное пространство над комплексными числами , ℂ , поскольку единичная матрица I _n является эрмитовой, а i  I _n — нет. Однако комплексные эрмитовы матрицы образуют векторное пространство над действительными числами ℝ . В 2 n ² -мерном векторном пространстве комплексных матриц n  ×  n над ℝ комплексные эрмитовы матрицы образуют подпространство размерности n ² . Если E _jk обозначает матрицу n на n с 1 в позиции j , k и нулями в остальных местах, базис (ортонормированный относительно скалярного произведения Фробениуса) можно описать следующим образом: $${\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})}$$

вместе с набором матриц вида $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$

и матрицы $${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$

где обозначает мнимую единицу , ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}~.}$

Примером может служить то, что четыре матрицы Паули образуют полную основу для векторного пространства всех комплексных эрмитовых матриц размером 2 на 2 над ℝ .

Собственное разложение

Если выбрать n ортонормированных собственных векторов эрмитовой матрицы и записать их как столбцы матрицы U , то одно собственное разложение матрицы A будет иметь вид где и, следовательно, где — собственные значения на диагонали диагональной матрицы ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ ${\displaystyle A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}}$ ${\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}$ $${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}},}$$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle \Lambda .}$

Единичные значения

Сингулярные значения — это абсолютные значения его собственных значений: ${\displaystyle A}$

Так как имеет собственное разложение , где — унитарная матрица (ее столбцы — ортонормированные векторы; см. выше), то разложение по сингулярным значениям имеет вид , где и — диагональные матрицы, содержащие абсолютные значения и знаки собственных значений , соответственно. является унитарным, поскольку столбцы умножаются только на . содержит сингулярные значения , а именно абсолютные значения его собственных значений. ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=U\Lambda U^{H}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=U|\Lambda |{\text{sgn}}(\Lambda )U^{H}}$ ${\displaystyle |\Lambda |}$ ${\displaystyle {\text{sgn}}(\Lambda )}$ ${\displaystyle |\lambda |}$ ${\displaystyle {\text{sgn}}(\lambda )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\Lambda )U^{H}}$ ${\displaystyle U^{H}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle |\Lambda |}$ ${\displaystyle A}$

Действительный определитель

Определитель эрмитовой матрицы является действительным числом:

Доказательство

${\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}}$Поэтому, если ${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}.}$

(В качестве альтернативы определитель является произведением собственных значений матрицы, а, как упоминалось ранее, собственные значения эрмитовой матрицы являются действительными.)

Разложение на эрмитовы и косоэрмитовы матрицы

Дополнительные факты, связанные с эрмитовыми матрицами, включают:

• Сумма квадратной матрицы и ее сопряженной транспонированной матрицы является эрмитовой. ${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Разность квадратной матрицы и ее сопряженной транспонированной матрицы является косоэрмитовой (также называемой антиэрмитовой). Это означает, что коммутатор двух эрмитовых матриц является косоэрмитовым. ${\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Произвольная квадратная матрица C может быть записана как сумма эрмитовой матрицы A и косоэрмитовой матрицы B. Это известно как разложение Теплица матрицы C. [ ^{9] : 227} $${\displaystyle C=A+B\quad {\text{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\text{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}$$

Коэффициент Рэлея

В математике для заданной комплексной эрмитовой матрицы M и ненулевого вектора x отношение Рэлея ^[10] определяется как: ^{[9] : стр. 234  [11]} ${\displaystyle R(M,\mathbf {x} ),}$ $${\displaystyle R(M,\mathbf {x} ):={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}M\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}\mathbf {x} }}.}$$

Для действительных матриц и векторов условие эрмитовости сводится к условию симметричности, а сопряженное транспонирование — к обычному транспонированию для любого ненулевого действительного скаляра. Также напомним, что эрмитова (или действительная симметричная) матрица имеет действительные собственные значения. ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}.}$ ${\displaystyle R(M,c\mathbf {x} )=R(M,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle c.}$

Можно показать ^[9] , что для заданной матрицы отношение Рэлея достигает своего минимального значения (наименьшего собственного значения M), когда есть (соответствующий собственный вектор). Аналогично, и ${\displaystyle \lambda _{\min }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\min }}$ ${\displaystyle R(M,\mathbf {x} )\leq \lambda _{\max }}$ ${\displaystyle R(M,\mathbf {v} _{\max })=\lambda _{\max }.}$

Коэффициент Рэлея используется в теореме о минимуме-максимуме для получения точных значений всех собственных значений. Он также используется в алгоритмах собственных значений для получения приближения собственного значения из приближения собственного вектора. В частности, это основа для итерации коэффициента Рэлея.

Диапазон отношения Рэлея (для матрицы, которая не обязательно является эрмитовой) называется числовым диапазоном (или спектром в функциональном анализе). Когда матрица эрмитова, числовой диапазон равен спектральной норме. В функциональном анализе также известен как спектральный радиус. В контексте C*-алгебр или алгебраической квантовой механики функция, которая сопоставляет M отношение Рэлея R ( M , x ) для фиксированного x и M, изменяющегося по алгебре, будет называться «векторным состоянием» алгебры. ${\displaystyle \lambda _{\max }}$

Смотрите также

• Комплексная симметричная матрица  – Матрица, равная своей транспонированнойPages displaying short descriptions of redirect targets
• Формула аддитивности инерции Хейнсворта  – подсчитывает положительные, отрицательные и нулевые собственные значения блочно-секционированной эрмитовой матрицы.
• Эрмитова форма  – Обобщение билинейной формыPages displaying short descriptions of redirect targets
• Нормальная матрица  – матрица, которая коммутирует со своей сопряженной транспонированной матрицей.
• Теорема Шура–Хорна  – Характеризует диагональ эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями.
• Самосопряженный оператор  – Линейный оператор, равный своему собственному сопряженному
• Косоэрмитова матрица  – матрица, сопряженная транспонированная матрица которой является ее отрицательной (аддитивной обратной) матрицей (антиэрмитова матрица)
• Унитарная матрица  – комплексная матрица, сопряженная транспонированная матрица которой равна ее обратной
• Векторные пространства  – Алгебраическая структура в линейной алгебре

Ссылки

1. Арчибальд, Том (2010-12-31), Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, Джун; Лидер, Имре (ред.), "VI.47 Чарльз Эрмит", The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 773, doi :10.1515/9781400830398.773a, ISBN 978-1-4008-3039-8, получено 2023-11-15
2. Рибейро, Алехандро. «Обработка сигналов и информации» (PDF) .
3. «МНОГОМЕРНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ» (PDF) .
4. Лау, Иван. «Эрмитова спектральная теория смешанных графов» (PDF) .
5. Лю, Цзяньси; Ли, Сюэлян (февраль 2015 г.). «Матрицы эрмитовой смежности и эрмитовые энергии смешанных графов». Линейная алгебра и ее приложения . 466 : 182–207. дои : 10.1016/j.laa.2014.10.028 .
6. Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики: введение. Cambridge University Press . стр. 652. ISBN 0-521-53927-7.
7. Заметки по курсу физики 125, архив 2022-03-07 в Wayback Machine Калифорнийского технологического института
8. Трефетан, Ллойд Н.; Бау, III, Дэвид (1997). Численная линейная алгебра. Филадельфия, Пенсильвания, США: СИАМ . п. 34. ISBN 0-89871-361-7. OCLC  1348374386.
9. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ, второе издание . Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
10. Также известно как отношение Рэлея–Ритца ; названо в честь Вальтера Ритца и лорда Рэлея .
11. Парлет Б.Н. Симметричная задача собственных значений , SIAM, Классика прикладной математики, 1998

Внешние ссылки

• "Эрмитова матрица", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Визуализация эрмитовой матрицы в виде эллипса с доктором Гео, архивировано 29 августа 2017 г. на Wayback Machine , автором Чао-Куэй Хунг из Университета Чаоян, дает более геометрическое объяснение.
• «Эрмитовы матрицы». MathPages.com .