Эрмитово сопряженное

Сопряженное транспонирование оператора в бесконечных измерениях

В математике , в частности в теории операторов , каждый линейный оператор в пространстве скалярного произведения определяет эрмитов сопряженный (или адъюнктный ) оператор в этом пространстве в соответствии с правилом ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}$

где — скалярное произведение в векторном пространстве . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Сопряжённый оператор также может называться эрмитово сопряжённым или просто эрмитовым ^[1] в честь Шарля Эрмита . Он часто обозначается как A ^† в таких областях, как физика , особенно при использовании в сочетании с обозначением скобок в квантовой механике . В конечных измерениях , где операторы могут быть представлены матрицами , эрмитово сопряжённый оператор задаётся сопряжённым транспонированием (также известным как эрмитово транспонирование).

Вышеприведенное определение сопряженного оператора дословно распространяется на ограниченные линейные операторы в гильбертовых пространствах . Определение было дополнительно расширено, чтобы включить неограниченные плотно определенные операторы, область определения которых топологически плотна в, но не обязательно равна, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$

Неформальное определение

Рассмотрим линейное отображение между гильбертовыми пространствами . Не вдаваясь в подробности, сопряженный оператор — это (в большинстве случаев однозначно определенный) линейный оператор, выполняющий ${\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}$

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}$

где — скалярное произведение в гильбертовом пространстве , линейное по первой координате и сопряженно-линейное по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и является оператором в этом гильбертовом пространстве. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle A}$

При замене скалярного произведения на двойственное спаривание можно определить сопряженный оператор, также называемый транспонированием , оператора , где — банаховы пространства с соответствующими нормами . Здесь (опять же, не принимая во внимание технические детали) его сопряженный оператор определяется как с ${\displaystyle A:E\to F}$ ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}$

${\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}$

то есть, для . ${\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}$ ${\displaystyle f\in F^{*},u\in E}$

Вышеприведенное определение в гильбертовом пространстве на самом деле является просто применением случая банахова пространства, когда мы отождествляем гильбертово пространство с его дуальным (через теорему о представлении Рисса ). Тогда вполне естественно, что мы также можем получить сопряженный оператор , где — гильбертово пространство, а — банахово пространство. Дуальное тогда определяется как с таким, что ${\displaystyle A:H\to E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$ ${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

Определение неограниченных операторов между банаховыми пространствами

Пусть будут банаховыми пространствами . Предположим и , и предположим, что — (возможно, неограниченный) линейный оператор, который плотно определен (т.е. плотен в ). Тогда его сопряженный оператор определяется следующим образом. Область определения — это ${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$ ${\displaystyle A:D(A)\to F}$ ${\displaystyle D(A)\subset E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}$

Теперь для произвольного, но фиксированного мы устанавливаем с . По выбору и определению , f (равномерно) непрерывна на как . Тогда по теореме Хана–Банаха , или альтернативно через расширение по непрерывности, это дает расширение , называемое , определенное на всех из . Эта техническая особенность необходима для того, чтобы позже получить как оператор вместо Заметим также, что это не означает, что может быть расширен на все из , но расширение работало только для определенных элементов . ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$ ${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(u)=g(Au)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$

Теперь мы можем определить сопряженное значение как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}}$

Таким образом, фундаментальная определяющая идентичность — это

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$для ${\displaystyle u\in D(A).}$

Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Предположим, что H — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением . Рассмотрим непрерывный линейный оператор A  : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченности оператора ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A ^∗  : H → H, удовлетворяющий условию ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}$

Существование и единственность этого оператора следует из теоремы Рисса о представлении . ^[2]

Это можно рассматривать как обобщение присоединенной матрицы квадратной матрицы, которая имеет аналогичное свойство, включающее стандартное комплексное внутреннее произведение.

Характеристики

Следующие свойства эрмитово сопряженного оператора ограниченных операторов очевидны: ^[2]

1. Инволютивность : A ^∗∗ = A
2. Если A обратим, то A ^∗ тоже обратим , причем ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Сопряженная линейность :
   • ( А + В ) ^∗ = А ^∗ + В ^∗
   • ( λA ) ^∗ = λ A ^∗ , где λ обозначает комплексно сопряженное число комплексного числа λ
4. « Антидистрибутивность »: ( AB ) ^∗ = B ^∗ A ^∗

Если мы определим операторную норму A как

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

затем

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$^[2]

Более того,

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$^[2]

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшее значение», экстраполируя случай самосопряженных операторов.

Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве H вместе с сопряженной операцией и операторной нормой образуют прототип C*-алгебры .

Сопряженный плотно определенных неограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Определение

Пусть скалярное произведение линейно по первому аргументу. Плотно определенный оператор A из комплексного гильбертова пространства H в себя является линейным оператором, область определения D ( A ) которого является плотным линейным подпространством H и чьи значения лежат в H . ^[3] По определению, область определения D ( A ^∗ ) его сопряженного A ^∗ является множеством всех y ∈ H, для которых существует z ∈ H, удовлетворяющий ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).}$

В силу плотности и теоремы Рисса о представлении , однозначно определяется, и, по определению, ^[4] ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A^{*}y=z.}$

Свойства 1.–5. сохраняются с соответствующими положениями о доменах и кодоменах . ^{[ необходимо разъяснение ]} Например, последнее свойство теперь утверждает, что ( AB ) ^∗ является расширением B ^∗ A ^∗, если A , B и AB являются плотно определенными операторами. ^[5]

кер А*=(я А)⊥

Для каждого линейный функционал тождественно равен нулю, и, следовательно, ${\displaystyle y\in \ker A^{*},}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$ ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}$

Наоборот, предположение, что приводит к тому, что функционал тождественно равен нулю. Поскольку функционал, очевидно, ограничен, определение гарантирует, что Тот факт, что для каждого показывает, что при условии, что является плотным. ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle y\in D(A^{*}).}$ ${\displaystyle x\in D(A),}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}$ ${\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}$ ${\displaystyle D(A)}$

Это свойство показывает, что является топологически замкнутым подпространством, даже если таковым не является. ${\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$

Геометрическая интерпретация

Если и являются гильбертовыми пространствами, то является гильбертовым пространством со скалярным произведением ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}$

${\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}$

где и ${\displaystyle a,c\in H_{1}}$ ${\displaystyle b,d\in H_{2}.}$

Пусть — симплектическое отображение , т.е. Тогда график ${\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}$ ${\displaystyle J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).}$

${\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H}$

является ортогональным дополнением​ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle JG(A):}$

${\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}$

Утверждение следует из эквивалентностей

${\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,}$

и

${\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}$

Следствия

А^*закрыто

Оператор замкнут , если его график топологически замкнут в График сопряженного оператора является ортогональным дополнением подпространства и, следовательно, замкнут. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle H\oplus H.}$ ${\displaystyle G(A^{*})}$ ${\displaystyle A^{*}}$

А^*плотно определено ⇔ A закрываемо

Оператор замыкаем, если топологическое замыкание графика является графиком функции. Поскольку является (замкнутым) линейным подпространством, слово «функция» можно заменить на «линейный оператор». По той же причине замыкаем, если и только если ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle v=0.}$

Сопряженный плотно определен тогда и только тогда, когда замыкаем. Это следует из того факта, что для каждого ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v\in H,}$

${\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}$

что, в свою очередь, доказывается с помощью следующей цепочки эквивалентностей:

${\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}}$

А^**= А^кл

Замыкание оператора — это оператор, график которого есть, если этот график представляет функцию. Как и выше, слово «функция» можно заменить на «оператор». Кроме того, это означает, что ${\displaystyle A^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}$ ${\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}$

Чтобы доказать это, заметим, что для каждого Действительно, ${\displaystyle J^{*}=-J,}$ ${\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}$ ${\displaystyle x,y\in H\oplus H.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}}$

В частности, для каждого подпространства тогда и только тогда, когда Таким образом, и Подставляя, получаем ${\displaystyle y\in H\oplus H}$ ${\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}$ ${\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}$ ${\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}$ ${\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}$ ${\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}$ ${\displaystyle V=G(A),}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}$

А^*= (А^кл)^*

Для замыкаемого оператора это означает, что Действительно, ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}$ ${\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}$

${\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).}$

Контрпример, где сопряженное выражение не является плотно определенным

Пусть где — линейная мера. Выберите измеримую, ограниченную, нетождественно нулевую функцию и выберите Определить ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}$

${\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}$

Отсюда следует, что Подпространство содержит все функции с компактным носителем. Так как плотно определено. Для любого и ${\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi \in D(A)}$ ${\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}$

${\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}$

Таким образом, Определение сопряженного оператора требует, чтобы Поскольку это возможно только если По этой причине, Следовательно, не является плотно определенным и тождественно равен нулю на В результате не является замыкаемым и не имеет второго сопряженного ${\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}$ ${\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*}).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{**}.}$

Эрмитовы операторы

Ограниченный оператор A  : H → H называется эрмитовым или самосопряженным , если

${\displaystyle A=A^{*}}$

что эквивалентно

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}$^[6]

В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (будучи равными своим собственным «комплексно сопряженным») и образуют действительное векторное пространство . Они служат моделью действительных наблюдаемых в квантовой механике . Полное рассмотрение см. в статье о самосопряженных операторах .

Сопряженные операторы сопряженно-линейных операторов

Для сопряженно-линейного оператора определение сопряженного должно быть скорректировано, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженный оператор сопряженно-линейного оператора A в комплексном гильбертовом пространстве H — это сопряженно-линейный оператор A ^∗  : H → H со свойством:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}$

Другие примыкающие

Уравнение

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

формально аналогичны определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , отсюда и произошло название сопряженных функторов.

Смотрите также

• Математические концепции
  • Сопряженная транспонированная операция
  • Эрмитов оператор
  • Вытягивание § Функциональный анализ
  • Транспонирование линейных отображений
• Физические приложения
  • Оператор (физика)
  • †-алгебра

Ссылки

1. Миллер, Дэвид АБ (2008). Квантовая механика для ученых и инженеров . Cambridge University Press. С. 262, 280.
2. Reed & Simon 2003, стр. 186–187; Рудин 1991, §12.9
3. Подробности см . в разделе «Оператор без ограничений» .
4. Рид и Саймон 2003, стр. 252; Рудин 1991, §13.1
5. Рудин 1991, Thm 13.2
6. Рид и Саймон 2003, стр. 187; Рудин 1991, §12.11

• Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.