Коллинеация

В проективной геометрии — биекция между проективными пространствами, сохраняющая коллинеарность.

В проективной геометрии коллинеация — это взаимно однозначное и на отображение ( биекция ) из одного проективного пространства в другое или из проективного пространства в себя, такое, что образы коллинеарных точек сами коллинеарны. Таким образом, коллинеация — это изоморфизм между проективными пространствами или автоморфизм из проективного пространства в себя. Некоторые авторы ограничивают определение коллинеации случаем, когда это автоморфизм. ^[1] Множество всех коллинеаций пространства в себя образует группу , называемую группой коллинеаций .

Определение

Проще говоря, коллинеация — это взаимно-однозначное отображение из одного проективного пространства в другое или из проективного пространства в себя, такое, что образы коллинеарных точек сами коллинеарны. Это можно формализовать, используя различные способы представления проективного пространства. Кроме того, случай проективной прямой является особым и, следовательно, обычно рассматривается по-разному.

Линейная алгебра

Для проективного пространства, определенного в терминах линейной алгебры (как проективизация векторного пространства ), коллинеация — это отображение между проективными пространствами, сохраняющее порядок относительно включения подпространств.

Формально, пусть V — векторное пространство над полем K , а W — векторное пространство над полем L. Рассмотрим проективные пространства PG ( V ) и PG ( W ), состоящие из векторных прямых V и W . Назовем D ( V ) и D ( W ) множеством подпространств V и W соответственно. Коллинеация из PG ( V ) в PG ( W ) — это отображение α : D ( V ) → D ( W ), такое что:

• α — биекция.
• A ⊆ B ⇔ α( A ) ⊆ α( B ) для всех A , B в D ( V ). ^[2]

Аксиоматически

Если проективное пространство аксиоматически определено в терминах структуры инцидентности (множество точек P, прямых L и отношение инцидентности I, указывающее, какие точки лежат на каких прямых, удовлетворяя определенным аксиомам), то коллинеация между проективными пространствами, определенными таким образом, является биективной функцией f между множествами точек и биективной функцией g между множествами прямых, сохраняя отношение инцидентности. ^[3]

Каждое проективное пространство размерности, большей или равной трем, изоморфно проективизации линейного пространства над телом , поэтому в этих размерностях это определение не более общее, чем линейно-алгебраическое определение, приведенное выше, но в размерности два существуют другие проективные плоскости, а именно недезарговы плоскости , и это определение позволяет определять коллинеации в таких проективных плоскостях.

Для размерности один множество точек, лежащих на одной проективной прямой, определяет проективное пространство, а результирующее понятие коллинеации — это просто любая биекция множества.

Коллинеации проективной прямой

Для проективного пространства размерности один (проективная прямая; проективизация векторного пространства размерности два) все точки коллинеарны, поэтому группа коллинеации — это в точности симметрическая группа точек проективной прямой. Это отличается от поведения в более высоких размерностях, и, таким образом, дается более ограничительное определение, заданное так, чтобы соблюдалась фундаментальная теорема проективной геометрии.

В этом определении, когда V имеет размерность два, коллинеация из PG ( V ) в PG ( W ) представляет собой отображение α  : D ( V ) → D ( W ) такое, что:

• Нулевое подпространство V отображается в нулевое подпространство W.
• V отображается в W.
• Существует невырожденное полулинейное отображение β из V в W такое, что для всех v из V , $${\displaystyle \alpha (\langle v\rangle )=\langle \beta (v)\rangle }$$

Последнее требование гарантирует, что все коллинеации являются полулинейными отображениями.

Типы

Основными примерами коллинеаций являются проективные линейные преобразования (также известные как гомографии ) и автоморфные коллинеации. Для проективных пространств, происходящих из линейного пространства, фундаментальная теорема проективной геометрии утверждает, что все коллинеации являются их комбинацией, как описано ниже.

Проективные линейные преобразования

Проективные линейные преобразования (гомографии) являются коллинеациями (плоскости в векторном пространстве соответствуют прямым в связанном проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, поэтому проективные линейные преобразования отображают прямые в прямые), но в общем случае не все коллинеации являются проективными линейными преобразованиями. Группа проективных линейных преобразований ( PGL ) в общем случае является собственной подгруппой группы коллинеаций.

Автоморфные коллинеации

АнАвтоморфная коллинеация — это отображение, которое в координатах представляет собойполевой автоморфизм,примененный к координатам.

Основная теорема проективной геометрии

Если геометрическая размерность паппова проективного пространства не менее 2, то каждая коллинеация является произведением гомографии (проективного линейного преобразования) и автоморфной коллинеации. Точнее, группа коллинеаций является проективной полулинейной группой , которая является полупрямым произведением гомографии на автоморфные коллинеации.

В частности, коллинеации вещественной проективной плоскости PG(2, R ) являются в точности гомографиями, поскольку R не имеет нетривиальных автоморфизмов (см. Automorphism#Examples и сноску d в Real number ).

Предположим, что φ — невырожденное полулинейное отображение из V в W с размерностью V не менее трех. Определим α  : D ( V ) → D ( W ), сказав, что Z ^α = { φ ( z ) : z ∈ Z } для всех Z из D ( V ). Поскольку φ полулинейно, легко проверить, что это отображение правильно определено, и, более того, поскольку φ невырождено, оно биективно. Теперь очевидно, что α — коллинеация. Мы говорим, что α индуцируется φ .

Основная теорема проективной геометрии утверждает обратное:

Предположим, что V — векторное пространство над полем K с размерностью не менее трех, W — векторное пространство над полем L , а α — коллинеация из PG( V ) в PG( W ). Это означает, что K и L — изоморфные поля, V и W имеют одинаковую размерность, и существует полулинейное отображение φ такое, что φ индуцирует α .

При n ≥ 3 группа коллинеаций является проективной полулинейной группой , PΓL – это PGL, скрученная автоморфизмами полей ; формально, полупрямое произведение PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , где k – простое поле для K .

Линейная структура

Таким образом, для K простого поля ( или ), мы имеем PGL = PΓL , но для K не простого поля (такого как или для n ≥ 2 ), проективная линейная группа в общем случае является собственной подгруппой группы коллинеаций, которую можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полулинейную структуру». Соответственно, фактор-группа PΓL / PGL ≅ Gal( K / k ) соответствует «выбору линейной структуры», причем тождество (базовая точка) является существующей линейной структурой. Если задано проективное пространство без идентификации как проективизация линейного пространства, то между группой коллинеаций и PΓL нет естественного изоморфизма, а выбор линейной структуры (реализация как проективизация линейного пространства) соответствует выбору подгруппы PGL < PΓL , причем эти выборы образуют торсор над Gal( K / k ). ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$

История

Идея линии была абстрагирована до тернарного отношения, определяемого коллинеарностью (точки, лежащие на одной прямой). Согласно Вильгельму Блашке ^[4] , именно Август Мёбиус первым абстрагировал эту сущность геометрического преобразования:

Что означают наши геометрические преобразования сейчас? Мёбиус уже поднял и затронул этот вопрос в своем Барицентрическом исчислении (1827). Там он говорил не о преобразованиях , а о перестановках [Verwandtschaften], когда сказал, что два элемента, взятые из области, переставляются , когда они меняются местами произвольным уравнением. В нашем конкретном случае, линейных уравнений между однородными координатами точек, Мёбиус назвал перестановку [Verwandtschaft] обоих точечных пространств, в частности, коллинеацией . Это значение позже будет изменено Шалем на гомографию . Выражение Мёбиуса сразу же становится понятным, когда мы следуем за Мёбиусом, называя точки коллинеарными , когда они лежат на одной прямой. Обозначение Мёбиуса можно выразить так: коллинеарные точки отображаются перестановкой в ​​коллинеарные точки, или, говоря простым языком, прямые линии остаются прямыми.

Современные математики рассматривают геометрию как структуру инцидентности с группой автоморфизмов, состоящей из отображений базового пространства, которые сохраняют инцидентность . Такое отображение переставляет линии структуры инцидентности, и понятие коллинеации сохраняется.

Как упоминали Блашке и Кляйн, Мишель Шасль предпочитал термин гомография коллинеации . Различие между терминами возникло, когда было выяснено различие между действительной проективной плоскостью и комплексной проективной прямой . Поскольку не существует нетривиальных полевых автоморфизмов действительного числового поля, все коллинеации являются гомографиями в действительной проективной плоскости, ^[5] однако из-за полевого автоморфизма комплексного сопряжения не все коллинеации комплексной проективной прямой являются гомографиями. В таких приложениях, как компьютерное зрение , где базовым полем является действительное числовое поле, гомография и коллинеация могут использоваться взаимозаменяемо.

Анти-гомография

Операция взятия комплексного сопряжения в комплексной плоскости равносильна отражению в действительной прямой . С обозначением z ^∗ для сопряжения z антигомография задается как

${\displaystyle f(z)={\frac {az^{*}+b}{cz^{*}+d}}.}$

Таким образом, антигомография является композицией сопряжения с гомографией , и поэтому является примером коллинеации, которая не является гомографией. Например, геометрически отображение равнозначно инверсии окружности . ^[6] Преобразования инверсной геометрии плоскости часто описываются как совокупность всех гомографий и антигомографий комплексной плоскости. ^[7] ${\displaystyle f(z)=1/z^{*}}$

Примечания

1. Например, Beutelspacher & Rosenbaum 1998, стр. 21, Casse 2006, стр. 56 и Yale 2004, стр. 226
2. Геометры по-прежнему обычно используют запись экспоненциального типа для функций, и это условие часто будет выглядеть как A ⊆ B ⇔ A ^α ⊆ B ^α для всех A , B в D ( V ).
3. «Сохранение отношения инцидентности» означает, что если точка p находится на прямой l , то f ( p ) лежит в g ​​( l ) ; формально, если ( p , l ) ∈ I , то ( f ( p ), g ( l )) ∈ I ′ .
4. Феликс Кляйн (1926, 1949) Vorlesungen über Höhere Geometrie , под редакцией Бляшке, страница 138
5. Касс 2006, стр. 64, Следствие 4.29
6. Морли и Морли 1933, стр. 38.
7. Блэр 2000, с. 43; Швердтфегер 2012, с. 42.

Ссылки

• Бойтельспахер, Альбрехт ; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / От основ к приложениям , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48364-6
• Блэр, Дэвид Э. (2000), Теория инверсии и конформное отображение , Студенческая математическая библиотека, т. 9, Американское математическое общество, ISBN 9780821826362
• Блашке, Вильгельм (1948), Проективная геометрия , Wolfenbütteler Verlagsanstalt
• Касс, Рей (2006), Проективная геометрия / Введение , Oxford University Press, ISBN 9780199298860
• Морли, Фрэнк ; Морли, Ф.В. (1933), Инверсивная геометрия , Лондон: G. Bell and Sons
• Швердтфегер, Ганс (2012), Геометрия комплексных чисел , Courier Dover Publications, ISBN 9780486135861
• Йель, Пол Б. (2004) [впервые опубликовано в 1968], Геометрия и симметрия , Дувр, ISBN 0-486-43835-X

Внешние ссылки

• проективность в PlanetMath .