ядро Бергмана

В математическом исследовании нескольких комплексных переменных ядро ​​Бергмана , названное в честь Стефана Бергмана , является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства ( RKHS ) всех квадратично интегрируемых голоморфных функций на области D в  C ⁿ .

Более подробно, пусть L ² ( D ) — гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на D , и пусть L ^{2, h} ( D ) обозначает подпространство, состоящее из голоморфных функций в L ² ( D ): то есть,

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

где H ( D ) — пространство голоморфных функций в D . Тогда L ^{2, h} ( D ) — гильбертово пространство: оно является замкнутым линейным подпространством L ² ( D ), и, следовательно, полным само по себе. Это следует из фундаментальной оценки, что для голоморфной квадратично интегрируемой функции ƒ в D

для любого компактного подмножества K из D. Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L ² ( D ) влечет также компактную сходимость , и поэтому предельная функция также голоморфна.

Другим следствием ( 1 ) является то, что для каждого z  ∈  D оценка

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

является непрерывным линейным функционалом на L ^{2, h} ( D ). По теореме о представлении Рисса этот функционал может быть представлен как скалярное произведение с элементом L ^{2, h} ( D ), то есть

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

Ядро Бергмана K определяется как

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

Ядро K ( z ,ζ) голоморфно по z и антиголоморфно по ζ и удовлетворяет условию

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

Одним из ключевых наблюдений относительно этой картины является то, что L ^{2, h} ( D ) можно отождествить с пространством голоморфных (n,0)-форм на D посредством умножения на . Поскольку скалярное произведение на этом пространстве явно инвариантно относительно биголоморфизмов D, ядро ​​Бергмана и связанная с ним метрика Бергмана, следовательно, автоматически инвариантны относительно группы автоморфизмов области. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Ядро Бергмана для единичного круга D — это функция $${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}}.}$$

Смотрите также

• метрика Бергмана
• Пространство Бергмана
• ядро сегё

Ссылки

• Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], "Функция ядра Бергмана", Энциклопедия математики , EMS Press.