Кронштейн Фрелихера – Нийенхейса

В математике скобка Фрёлихера –Нийенхейса является расширением скобки Ли векторных полей до векторнозначных дифференциальных форм на дифференцируемом многообразии .

Он полезен при изучении связностей , в частности связности Эресмана , а также при более общем изучении проекций в касательном расслоении . Он был введен Альфредом Фрёлихером и Альбертом Нийенхейсом (1956) и связан с работой Схоутена (1940).

Она связана со скобкой Нийенхейса–Ричардсона и скобкой Схоутена–Нийенхейса, но не является ими .

Определение

Пусть Ω*( M ) — пучок внешних алгебр дифференциальных форм на гладком многообразии M. Это градуированная алгебра , в которой формы градуированы по степени:

${\displaystyle \Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M).}$

Градуированное выведение степени ℓ — это отображение

${\displaystyle D:\Omega ^{*}(M)\to \Omega ^{*+l}(M)}$

которая линейна относительно констант и удовлетворяет

${\displaystyle D(\alpha \wedge \beta )=D(\alpha )\wedge \beta +(-1)^{\ell \deg(\alpha )}\alpha \wedge D(\beta ).}$

Так, в частности, внутреннее произведение с вектором определяет градуированный вывод степени ℓ = −1, тогда как внешняя производная является градуированным выводом степени ℓ = 1.

Вектор пространства всех дифференциаций степени ℓ обозначается Der _ℓ Ω*( M ). Прямая сумма этих пространств — градуированное векторное пространство , однородные компоненты которого состоят из всех градуированных дифференциаций данной степени; оно обозначается

${\displaystyle \mathrm {Der} \,\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=-\infty }^{\infty }\mathrm {Der} _{k}\,\Omega ^{*}(M).}$

Это образует градуированную супералгебру Ли относительно антикоммутатора дифференцирований, определенных на однородных дифференцированиях D ₁ и D ₂ степеней d ₁ и d ₂ соответственно, как

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-(-1)^{d_{1}d_{2}}D_{2}\circ D_{1}.}$

Любая векторнозначная дифференциальная форма K в Ω ^k ( M , T M ) со значениями в касательном расслоении M определяет градуированную производную степени k  − 1, обозначаемую i _K , и называемую оператором вставки. Для ω ∈ Ω ^ℓ ( M ),

${\displaystyle i_{K}\,\omega (X_{1},\dots ,X_{k+\ell -1})={\frac {1}{k!(\ell -1)!}}\sum _{\sigma \in {S}_{k+\ell -1}}{\textrm {sign}}\,\sigma \cdot \omega (K(X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (k)}),X_{\sigma (k+1)},\dots ,X_{\sigma (k+\ell -1)})}$

Производная Нийенхейса –Ли вдоль K  ∈ Ω ^k ( M , T M ) определяется как

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]=i_{K}\,{\circ }\,d-(-1)^{k-1}d\,{\circ }\,i_{K}}$

где d — внешняя производная, а i _K — оператор вставки.

Скобка Фрёлихера–Нийенхейса определяется как уникальная векторнозначная дифференциальная форма

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{FN}:\Omega ^{k}(M,\mathrm {T} M)\times \Omega ^{\ell }(M,\mathrm {T} M)\to \Omega ^{k+\ell }(M,\mathrm {T} M):(K,L)\mapsto [K,L]_{FN}}$

такой что

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[K,L]_{FN}}=[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{L}].}$

Следовательно,

${\displaystyle [K,L]_{FN}=-(-1)^{kl}[L,K]_{FN}.}$

Если k  = 0, так что K  ∈ Ω ⁰ ( M , T M ) является векторным полем, то восстанавливается обычная гомотопическая формула для производной Ли

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]=i_{K}\,{\circ }\,d+d\,{\circ }\,i_{K}.}$

Если k = ℓ =1, так что K,L  ∈ Ω ¹ ( M , T M ), то для любых векторных полей X и Y имеем

${\displaystyle [K,L]_{FN}(X,Y)=[KX,LY]+[LX,KY]+(KL+LK)[X,Y]-K([LX,Y]+[X,LY])-L([KX,Y]+[X,KY]).}$

Если k =0 и ℓ =1, так что K=Z ∈ Ω ⁰ ( M , T M ) — векторное поле и L  ∈ Ω ¹ ( M , T M ), то для любого векторного поля X имеем

${\displaystyle [Z,L]_{FN}(X)=[Z,LX]-L[Z,X].}$

Явная формула для скобок Фрёлихера–Нийенхейса и (для форм φ и ψ и векторных полей X и Y ) имеет вид ${\displaystyle \phi \otimes X}$ ${\displaystyle \psi \otimes Y}$

${\displaystyle \left.\right.[\phi \otimes X,\psi \otimes Y]_{FN}=\phi \wedge \psi \otimes [X,Y]+\phi \wedge {\mathcal {L}}_{X}\psi \otimes Y-{\mathcal {L}}_{Y}\phi \wedge \psi \otimes X+(-1)^{\deg(\phi )}(d\phi \wedge i_{X}(\psi )\otimes Y+i_{Y}(\phi )\wedge d\psi \otimes X).}$

Производные кольца форм

Каждое выведение Ω ^* ( M ) можно записать как

${\displaystyle i_{L}+{\mathcal {L}}_{K}}$

для уникальных элементов K и L из Ω ^* ( M , T M ). Скобка Ли этих выводов задается следующим образом.

• Выводы формы образуют супералгебру Ли всех выводов, коммутирующих с d . Скобка задается как ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K_{1}},{\mathcal {L}}_{K_{2}}]={\mathcal {L}}_{[K_{1},K_{2}]}}$

где скобка справа — это скобка Фрёлихера–Нийенхейса. В частности, скобка Фрёлихера–Нийенхейса определяет градуированную структуру алгебры Ли на , которая расширяет скобку Ли векторных полей . ${\displaystyle \Omega (M,\mathrm {T} M)}$

• Выводы формы образуют супералгебру Ли всех выводов, обращающихся в нуль на функциях Ω ⁰ ( M ). Скобка задается как ${\displaystyle i_{L}}$

${\displaystyle [i_{L_{1}},i_{L_{2}}]=i_{[L_{1},L_{2}]^{\land }}}$

где скобка справа — это скобка Нийенхейса–Ричардсона .

• Скобка выводов разных типов задается формулой

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K},i_{L}]=i_{[K,L]}-(-1)^{kl}{\mathcal {L}}_{i_{L}K}}$

для K в Ω ^k ( M , T M ), L в Ω ^l+1 ( M , T M ).

Приложения

Тензор Нийенхейса почти комплексной структуры J — это скобка Фрёлихера–Нийенхейса структуры J с самой собой. Почти комплексная структура является комплексной структурой тогда и только тогда, когда тензор Нийенхейса равен нулю.

С помощью скобки Фрёлихера–Нийенхейса можно определить кривизну и кокривизну векторнозначной 1-формы, которая является проекцией . Это обобщает концепцию кривизны связности .

Существует общее обобщение скобки Схоутена – Нейенхейса и скобки Фрелихера – Нейенхейса; подробнее см. статью о скобке Схоутена – Нийенхейса .

Ссылки

• Фрёлихер, А.; Ниженхейс, А. (1956), «Теория векторнозначных дифференциальных форм. Часть I.», Indagationes Mathematicae , 18 : 338–360, doi : 10.1016/S1385-7258(56)50046-7.
• Фрёлихер, А.; Нидженхейс, А. (1960), «Инвариантность операций векторной формы при отображениях», Commentarii Mathematici Helvetici , 34 : 227–248, doi : 10.1007/bf02565938, S2CID  122349574.
• PW Michor (2001) [1994], «Скобка Фрёлихера–Нейенхейса», Энциклопедия математики , EMS Press
• Схоутен, Дж. А. (1940), «Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen», Indagationes Mathematicae , 2 : 449–452..