Индекс Миллера

Описание плоскостей кристаллической решетки

Плоскости с разными индексами Миллера в кубических кристаллах

Примеры направлений

Индексы Миллера образуют в кристаллографии систему обозначений плоскостей кристаллической решетки (решеток Браве) .

В частности, семейство плоскостей решетки данной (прямой) решетки Браве определяется тремя целыми числами h , k и  ℓ , индексами Миллера . Они записываются ( hkℓ ) и обозначают семейство (параллельных) плоскостей решетки (данной решетки Браве), ортогональных , где - базисные или примитивные векторы сдвига обратной решетки для данной решетки Браве. (Обратите внимание, что плоскость не всегда ортогональна линейной комбинации векторов прямой или исходной решетки, поскольку векторы прямой решетки не обязательно должны быть взаимно ортогональными.) Это основано на том факте, что вектор обратной решетки (вектор, указывающий точку обратной решетки от начала обратной решетки) — волновой вектор плоской волны в ряду Фурье пространственной функции (например, функции электронной плотности), периодичность которой соответствует исходной решетке Браве, поэтому волновые фронты плоской волны совпадают с параллельными плоскостями решетки оригинальная решетка. Поскольку измеренный вектор рассеяния в рентгеновской кристаллографии с исходящим (рассеянным от кристаллической решетки) волновым вектором рентгеновских лучей и входящим (к кристаллической решетке) волновым вектором рентгеновских лучей равен вектору обратной решетки, как указано по уравнениям Лауэ измеренный пик рассеянного рентгеновского излучения на каждом измеренном векторе рассеяния отмечается индексами Миллера . По соглашению отрицательные целые числа записываются через черту, например, 3 вместо −3. Целые числа обычно записываются в наименьшей степени, т. е. их наибольший общий делитель должен быть равен 1. Индексы Миллера также используются для обозначения отражений в рентгеновской кристаллографии . В этом случае целые числа не обязательно выражаются в самых низких терминах, и их можно рассматривать как соответствующие плоскостям, расположенным так, что отражения от соседних плоскостей будут иметь разность фаз ровно в одну длину волны (2 π ) , независимо от того, есть ли атомы на все эти самолеты или нет. ${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {k} }$

Есть также несколько связанных обозначений: ^[1]

• обозначение обозначает множество всех плоскостей, эквивалентных по симметрии решетки. ${\textstyle \{hk\ell \}}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$

В контексте направлений кристалла (а не плоскостей) соответствующие обозначения следующие:

• ${\displaystyle [hk\ell ],}$с квадратными вместо круглых скобок обозначает направление в базисе векторов прямой решетки вместо обратной решетки; и
• аналогично обозначение обозначает множество всех направлений, эквивалентных по симметрии. ${\displaystyle \langle hk\ell \rangle }$ ${\displaystyle [hk\ell ]}$

Обратите внимание: для интерференций Лауэ – Брэгга

• ${\displaystyle hk\ell }$отсутствуют какие-либо скобки при обозначении отражения

Индексы Миллера были введены в 1839 году британским минералогом Уильямом Хэллоузом Миллером , хотя почти идентичная система ( параметры Вейсса ) уже использовалась немецким минералогом Кристианом Сэмюэлем Вайсом с 1817 года . ^[2] Этот метод был также исторически известен как система Миллера, и индексы Миллера ^[3] , хотя сейчас это редкость.

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждают.

Определение

Примеры определения индексов плоскости с помощью пересечений с осями; левый (111), правый (221)

Есть два эквивалентных способа определить значение индексов Миллера: ^[1] через точку обратной решетки или через обратные точки пересечения вдоль векторов решетки. Оба определения приведены ниже. В любом случае необходимо выбрать три вектора решетки a ₁ , a ₂ и a ₃ , которые определяют элементарную ячейку (обратите внимание, что обычная элементарная ячейка может быть больше, чем примитивная ячейка решетки Браве , как показано в примерах ниже). ). Учитывая это, также определяются три примитивных вектора обратной решетки (обозначенные b ₁ , b ₂ и b ₃ ).

Тогда с учетом трех индексов Миллера обозначаются плоскости, ортогональные вектору обратной решетки: ${\displaystyle h,k,\ell ,(hk\ell )}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$

То есть ( hkℓ ) просто указывает нормаль к плоскостям в основе примитивных векторов обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль сама по себе всегда является вектором обратной решетки. Требование наименьших членов означает, что это самый короткий вектор обратной решетки в данном направлении.

Эквивалентно, ( hkℓ ) обозначает плоскость, которая пересекает три точки a ₁ / h , a ₂ / k и a ₃ / ℓ или их кратное число. То есть индексы Миллера пропорциональны обратным точкам пересечения плоскости в базисе векторов решетки. Если один из индексов равен нулю, это означает, что плоскости не пересекают эту ось (точка пересечения находится «на бесконечности»).

Учитывая только ( hkℓ ) плоскости, пересекающие одну или несколько точек решетки (плоскости решетки ), перпендикулярное расстояние d между соседними плоскостями решетки связано с (кратчайшим) вектором обратной решетки, ортогональным плоскостям по формуле: . ^[1] ${\displaystyle d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|}$

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление :

${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.}$

То есть вместо обратной решетки используется прямой базис решетки. Обратите внимание, что [hkℓ] обычно не является нормальным к плоскостям ( hkℓ ), за исключением кубической решетки, как описано ниже.

Случай кубических структур

В частном случае простых кубических кристаллов векторы решетки ортогональны и имеют одинаковую длину (обычно обозначаемые a ), как и векторы обратной решетки. Таким образом, в этом общем случае индексы Миллера ( hkℓ ) и [ hkℓ ] просто обозначают нормали/направления в декартовых координатах .

Для кубических кристаллов с постоянной решетки a расстояние d между соседними плоскостями решетки ( hkℓ ) равно (сверху)

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}}$.

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять место и знак целых чисел и иметь эквивалентные направления и плоскости:

• Индексы в угловых скобках , такие как ⟨100⟩, обозначают семейство направлений, которые эквивалентны благодаря операциям симметрии, например [100], [010], [001] или отрицательному значению любого из этих направлений.
• Индексы в фигурных скобках или фигурных скобках , например {100}, обозначают семейство нормалей плоскости, которые эквивалентны благодаря операциям симметрии, подобно тому, как угловые скобки обозначают семейство направлений.

Для гранецентрированных кубических и объемноцентрированных кубических решеток примитивные векторы решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера традиционно определяются относительно векторов решетки кубической суперячейки и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональных и ромбоэдрических структур.

Индексы Миллера-Браве

С гексагональными и ромбоэдрическими решетчатыми системами можно использовать систему Браве – Миллера , которая использует четыре индекса ( h k i ℓ ), которые подчиняются ограничению

ч + к + я = 0.

Здесь h , k и ℓ идентичны соответствующим индексам Миллера, а i — избыточный индекс.

Эта четырехиндексная схема разметки плоскостей в гексагональной решетке делает очевидными симметрии перестановок. Например, сходство между (110) ≡ (11 2 0) и (1 2 0) ≡ (1 2 10) становится более очевидным, когда показан избыточный индекс.

На рисунке справа плоскость (001) имеет 3-кратную симметрию: она остается неизменной при повороте на 1/3 (2 π /3 рад, 120°). Направления [100], [010] и [ 1 1 0] действительно похожи. Если S — точка пересечения плоскости с осью [ 1 1 0], то

я знак равно 1/ С .

Существуют также специальные схемы (например, в литературе по просвечивающей электронной микроскопии ) для индексации векторов гексагональной решетки (а не векторов или плоскостей обратной решетки) с четырьмя индексами. Однако они не работают аналогичным образом, добавляя избыточный индекс к обычному набору из трех индексов.

Например, вектор обратной решетки ( hkℓ ), как предложено выше, можно записать через векторы обратной решетки как . Для гексагональных кристаллов это можно выразить через базисные векторы прямой решетки a ₁ , a ₂ и a ₃ как ${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}}$

${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a} _{1}+{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a} _{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a} _{3}.}$

Следовательно, индексы зон в направлении, перпендикулярном плоскости ( hkℓ ), в подходящей нормализованной тройной форме равны просто . Однако, когда для зоны, нормальной к плоскости ( hkℓ ), используются четыре индекса , в литературе часто используются вместо этого. ^[4] Таким образом, как вы можете видеть, четырехиндексные индексы зон в квадратных или угловых скобках иногда смешивают один индекс прямой решетки справа с индексами обратной решетки (обычно в круглых или фигурных скобках) слева. ${\displaystyle [2h+k,h+2k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$ ${\displaystyle [h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$

Причем заметим, что для шестиугольных межплоскостных расстояний они принимают вид

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {{\tfrac {4}{3}}\left(h^{2}+k^{2}+hk\right)+{\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}}$

Кристаллографические плоскости и направления

Плотные кристаллографические плоскости

Кристаллографические направления — это линии , соединяющие узлы ( атомы , ионы или молекулы ) кристалла. Точно так же кристаллографические плоскости — это плоскости , соединяющие узлы. Некоторые направления и плоскости имеют более высокую плотность узлов; эти плотные плоскости влияют на поведение кристалла:

• оптические свойства : в конденсированном состоянии свет «перескакивает» от одного атома к другому за счет рэлеевского рассеяния ; таким образом, скорость света меняется в зависимости от направления, независимо от того, находятся ли атомы близко или далеко; это дает двойное лучепреломление
• адсорбция и реакционная способность : адсорбция и химические реакции могут происходить на атомах или молекулах на поверхности кристаллов, поэтому эти явления чувствительны к плотности узлов;
• поверхностное натяжение : конденсация материала означает, что атомы, ионы или молекулы более стабильны, если они окружены другими подобными частицами; Таким образом, поверхностное натяжение границы раздела варьируется в зависимости от плотности на поверхности.
  • Поры и кристаллиты имеют тенденцию иметь прямые границы зерен, повторяющие плотные плоскости.
  • расщепление
• дислокации ( пластическая деформация )
  • ядро дислокации стремится растекаться по плотным плоскостям (упругое возмущение «разбавлено»); это уменьшает трение ( сила Пайерлса-Набарро ), скольжение происходит чаще на плотных плоскостях;
  • возмущение, переносимое дислокацией ( вектор Бюргерса ), происходит вдоль плотного направления: сдвиг одного узла в плотном направлении вызывает меньшее искажение;
  • линия дислокации имеет тенденцию следовать плотному направлению, линия дислокации часто представляет собой прямую линию, петля дислокации часто представляет собой многоугольник .

По всем этим причинам важно определять плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера: плоскости решетки и квазикристаллы

Обычно индексы Миллера по определению всегда являются целыми числами, и это ограничение физически значимо. Чтобы понять это, предположим, что мы допускаем плоскость ( abc ), где «индексы» Миллера a , b и c (определенные, как указано выше) не обязательно являются целыми числами.

Если a , b и c имеют рациональные отношения, то одно и то же семейство плоскостей можно записать через целочисленные индексы ( hkℓ ), соответствующим образом масштабируя a , b и c : разделить на наибольшее из трех чисел, а затем умножить на наименьший общий знаменатель . Таким образом, целочисленные индексы Миллера неявно включают индексы со всеми рациональными соотношениями. Причина, по которой плоскости, в которых компоненты (в базисе обратной решетки) имеют рациональные соотношения, представляют особый интерес, заключается в том, что это плоскости решетки : это единственные плоскости, пересечения которых с кристаллом являются 2d-периодическими.

С другой стороны, для плоскости (abc), где a , b и c имеют иррациональные отношения, пересечение плоскости с кристаллом не является периодическим. Он образует апериодическую структуру, известную как квазикристалл . Эта конструкция в точности соответствует стандартному методу определения квазикристалла «вырезание и проецирование» с использованием плоскости с индексами Миллера иррационального отношения. (Хотя многие квазикристаллы, такие как мозаика Пенроуза , образуются «разрезами» периодических решеток в более чем трех измерениях, включая пересечение более чем одной такой гиперплоскости .)

Смотрите также

• Кристальная структура
• Кристальная привычка
• Линия Кикучи
• Ось зоны

Рекомендации

1. Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030839939. ОСЛК  934604.
2. Вайс, Кристиан Сэмюэл (1817). «Ueber eine verbesserte Methode für die Bezeichnung der verschiedenen Flächen eines Krystallisationssystems, nebst Bemerkungen über den Zustand der Polarisierung der Seiten in den Linien der krystallinischen Structur». Abhandlungen der Physikalischen Klasse der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften : 286–336.
3. Оксфордский онлайн-словарь английского языка (проверено в мае 2007 г.)
4. JW Edington (1976) Практическая электронная микроскопия в материаловедении (Gloeilampenfabrieken NV Philips, Эйндховен) ISBN 1-878907-35-2 , Приложение 2 

Внешние ссылки

• Интернет-словарь кристаллографии IUCr
• Описание индекса Миллера с диаграммами
• Онлайн-учебник по плоскостям решетки и индексам Миллера.
• MTEX – бесплатный набор инструментов MATLAB для анализа текстур
• http://sourceforge.net/projects/orilib – Коллекция процедур для манипуляций с вращением/ориентацией, включая специальные инструменты для ориентации кристаллов.