индекс Миллера

Система обозначений плоскостей кристаллической решетки

Плоскости с разными индексами Миллера в кубических кристаллах

Примеры направлений

Индексы Миллера образуют систему обозначений в кристаллографии для плоскостей кристаллических решеток (решеток Браве) .

В частности, семейство плоскостей решетки заданной (прямой) решетки Бравэ определяется тремя целыми числами h , k и  ℓ , индексами Миллера . Они записываются ( hkℓ ) и обозначают семейство (параллельных) плоскостей решетки (заданной решетки Бравэ), ортогональных , где — базисные или примитивные векторы трансляции обратной решетки для заданной решетки Бравэ. (Обратите внимание, что плоскость не всегда ортогональна линейной комбинации прямых или исходных векторов решетки , поскольку прямые векторы решетки не обязательно должны быть взаимно ортогональны.) Это основано на том факте, что вектор обратной решетки (вектор, указывающий точку обратной решетки из начала координат обратной решетки) является волновым вектором плоской волны в ряду Фурье пространственной функции (например, функции электронной плотности), периодичность которой следует за исходной решеткой Бравэ, поэтому волновые фронты плоской волны совпадают с параллельными плоскостями решетки исходной решетки. Поскольку измеренный вектор рассеяния в рентгеновской кристаллографии , с как исходящий (рассеянный от кристаллической решетки) волновой вектор рентгеновского излучения и как входящий (к кристаллической решетке) волновой вектор рентгеновского излучения, равен обратному вектору решетки, как указано в уравнениях Лауэ , измеренный пик рассеянного рентгеновского излучения при каждом измеренном векторе рассеяния отмечен индексами Миллера . По соглашению отрицательные целые числа записываются с чертой, как в 3 для −3. Целые числа обычно записываются в младших членах, т. е. их наибольший общий делитель должен быть равен 1. Индексы Миллера также используются для обозначения отражений в рентгеновской кристаллографии . В этом случае целые числа не обязательно записываются в младших членах, и их можно рассматривать как соответствующие плоскостям, разнесенным таким образом, что отражения от соседних плоскостей будут иметь разность фаз ровно в одну длину волны (2 π ), независимо от того, есть ли атомы на всех этих плоскостях или нет. ${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {k} }$

Существует также несколько связанных обозначений: ^[1]

• обозначение обозначает множество всех плоскостей, эквивалентных по симметрии решетки. ${\textstyle \{hk\ell \}}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$

В контексте направлений кристалла (не плоскостей) соответствующие обозначения следующие:

• ${\displaystyle [hk\ell ],}$с квадратными скобками вместо круглых, обозначает направление в базисе векторов прямой решетки вместо обратной решетки; и
• Аналогично, обозначение обозначает множество всех направлений, которые эквивалентны по симметрии. ${\displaystyle \langle hk\ell \rangle }$ ${\displaystyle [hk\ell ]}$

Обратите внимание, что для интерференции Лауэ-Брэгга

• ${\displaystyle hk\ell }$не имеет скобок при обозначении отражения

Индексы Миллера были введены в 1839 году британским минералогом Уильямом Хэллоусом Миллером , хотя почти идентичная система ( параметры Вейсса ) уже использовалась немецким минералогом Христианом Самуэлем Вейссом с 1817 года. ^[2] Метод также был исторически известен как система Миллера, а индексы — как миллеровские, ^[3] хотя сейчас это встречается редко.

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждается.

Определение

Примеры определения индексов для плоскости с использованием пересечений с осями: слева (111), справа (221)

Существует два эквивалентных способа определения значения индексов Миллера: ^[1] через точку в обратной решетке или как обратные отрезки вдоль векторов решетки. Оба определения приведены ниже. В любом случае необходимо выбрать три вектора решетки a _{1 ,} a ₂ и a ₃ , которые определяют элементарную ячейку (обратите внимание, что обычная элементарная ячейка может быть больше примитивной ячейки решетки Браве , как иллюстрируют приведенные ниже примеры). Учитывая это, также определяются три примитивных вектора обратной решетки (обозначаемые _b 1 _, b 2 _и b 3 ) .

Тогда, учитывая три индекса Миллера, обозначают плоскости, ортогональные вектору обратной решетки: ${\displaystyle h,k,\ell ,(hk\ell )}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$

То есть ( hkℓ ) просто указывает нормаль к плоскостям в базисе примитивных векторов обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль сама по себе всегда является вектором обратной решетки. Требование наименьших членов означает, что это самый короткий вектор обратной решетки в заданном направлении.

Эквивалентно, ( hkℓ ) обозначает плоскость, которая пересекает три точки a ₁ / h , a ₂ / k и a ₃ / ℓ или некоторое их кратное. То есть индексы Миллера пропорциональны обратным значениям отрезков плоскости в базисе векторов решетки. Если один из индексов равен нулю, это означает, что плоскости не пересекают эту ось (отрезок находится «на бесконечности»).

Рассматривая только плоскости ( hkℓ ), пересекающие одну или несколько точек решетки ( плоскости решетки ), перпендикулярное расстояние d между соседними плоскостями решетки связано с (кратчайшим) вектором обратной решетки, ортогональным плоскостям, по формуле: [ ^1] ${\displaystyle d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|}$

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление :

${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.}$

То есть, он использует прямую решетку вместо обратной решетки. Обратите внимание, что [hkℓ] обычно не является нормальным к плоскостям ( hkℓ ), за исключением кубической решетки, как описано ниже.

Случай кубических структур

Для особого случая простых кубических кристаллов векторы решетки ортогональны и имеют одинаковую длину (обычно обозначаются как a ), как и векторы обратной решетки. Таким образом, в этом общем случае индексы Миллера ( hkℓ ) и [ hkℓ ] оба просто обозначают нормали/направления в декартовых координатах .

Для кубических кристаллов с постоянной решетки a расстояние d между соседними ( hkℓ ) плоскостями решетки равно (сверху)

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}}$.

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять местами и знаками целые числа и иметь эквивалентные направления и плоскости:

• Индексы в угловых скобках, такие как ⟨100⟩, обозначают семейство направлений, которые эквивалентны из-за операций симметрии, таких как [100], [010], [001] или отрицательное значение любого из этих направлений.
• Индексы в фигурных скобках или фигурных скобках, такие как {100}, обозначают семейство нормалей плоскости, которые эквивалентны из-за операций симметрии, подобно тому, как угловые скобки обозначают семейство направлений.

Для гранецентрированных кубических и объемноцентрированных кубических решеток примитивные векторы решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера условно определяются относительно векторов решетки кубической суперячейки и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональных и ромбоэдрических структур

Индексы Миллера-Браве

В системах гексагональных и ромбоэдрических решеток можно использовать систему Браве–Миллера , которая использует четыре индекса ( h k i ℓ ), которые подчиняются ограничению

ч + к + я = 0.

Здесь h , k и ℓ идентичны соответствующим индексам Миллера, а i — избыточный индекс.

Эта четырехиндексная схема маркировки плоскостей в гексагональной решетке делает симметрии перестановок очевидными. Например, сходство между (110) ≡ (11 2 0) и (1 2 0) ≡ (1 2 10) становится более очевидным, когда показан избыточный индекс.

На рисунке справа плоскость (001) имеет 3-кратную симметрию: она остается неизменной при повороте на 1/3 (2 π /3 рад, 120°). Направления [100], [010] и [ 1 1 0] действительно похожи. Если S — пересечение плоскости с осью [ 1 1 0], то

я = 1/ S .

Существуют также специальные схемы (например, в литературе по просвечивающей электронной микроскопии ) для индексации векторов гексагональной решетки (а не векторов или плоскостей обратной решетки) с четырьмя индексами. Однако они не работают путем добавления избыточного индекса к обычному набору из трех индексов.

Например, вектор обратной решетки ( hkℓ ), предложенный выше, может быть записан в терминах векторов обратной решетки как . Для гексагональных кристаллов это может быть выражено в терминах базисных векторов прямой решетки a ₁ , a ₂ и a ₃ как ${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}}$

${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a} _{1}+{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a} _{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a} _{3}.}$

Следовательно, индексы зон направления, перпендикулярного плоскости ( hkℓ ), в соответствующим образом нормализованной триплетной форме просто . Однако, когда для зоны, перпендикулярной плоскости ( hkℓ ), используются четыре индекса , в литературе часто вместо этого используется . ^[4] Таким образом, как вы можете видеть, четырехиндексные индексы зон в квадратных или угловых скобках иногда смешивают один индекс прямой решетки справа с индексами обратной решетки (обычно в круглых или фигурных скобках) слева. ${\displaystyle [2h+k,h+2k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$ ${\displaystyle [h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$

И, обратите внимание, что для гексагональных межплоскостных расстояний они принимают вид

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {{\tfrac {4}{3}}\left(h^{2}+k^{2}+hk\right)+{\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}}$

Кристаллографические плоскости и направления

Плотные кристаллографические плоскости

Кристаллографические направления — это линии, соединяющие узлы ( атомы , ионы или молекулы ) кристалла. Аналогично, кристаллографические плоскости — это плоскости, соединяющие узлы. Некоторые направления и плоскости имеют более высокую плотность узлов; эти плотные плоскости оказывают влияние на поведение кристалла:

• оптические свойства : в конденсированном веществе свет «перескакивает» от одного атома к другому с рэлеевским рассеянием ; скорость света, таким образом, меняется в зависимости от направлений, от того, находятся ли атомы близко или далеко; это дает двойное лучепреломление
• адсорбция и реакционная способность : адсорбция и химические реакции могут происходить на атомах или молекулах на поверхности кристаллов, поэтому эти явления чувствительны к плотности узлов;
• поверхностное натяжение : конденсация материала означает, что атомы, ионы или молекулы более стабильны, если они окружены другими подобными видами; поверхностное натяжение интерфейса, таким образом, изменяется в зависимости от плотности на поверхности.
  • Поры и кристаллиты, как правило, имеют прямые границы зерен, следующие за плотными плоскостями.
  • расщепление
• дислокации ( пластическая деформация )
  • ядро дислокации имеет тенденцию распространяться на плотных плоскостях (упругое возмущение «разбавляется»); это уменьшает трение ( силу Пайерлса–Набарро ), скольжение происходит чаще на плотных плоскостях;
  • возмущение, переносимое дислокацией ( вектор Бюргерса ), происходит вдоль плотного направления: смещение одного узла в плотном направлении представляет собой меньшее искажение;
  • линия дислокации имеет тенденцию следовать плотному направлению, линия дислокации часто представляет собой прямую линию, петля дислокации часто представляет собой многоугольник .

По всем этим причинам важно определить плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целые и иррациональные индексы Миллера: решеточные плоскости и квазикристаллы

Обычно индексы Миллера всегда являются целыми числами по определению, и это ограничение физически значимо. Чтобы понять это, предположим, что мы допускаем плоскость ( abc ), где «индексы» Миллера a , b и c (определенные выше) не обязательно являются целыми числами.

Если a , b и c имеют рациональные отношения, то то же самое семейство плоскостей можно записать в терминах целочисленных индексов ( hkℓ ), масштабируя a , b и c соответствующим образом: разделив на наибольшее из трех чисел, а затем умножив на наименьший общий знаменатель . Таким образом, целочисленные индексы Миллера неявно включают индексы со всеми рациональными отношениями. Причина, по которой плоскости, где компоненты (в базисе обратной решетки) имеют рациональные отношения, представляют особый интерес, заключается в том, что это плоскости решетки : они являются единственными плоскостями, чьи пересечения с кристаллом являются 2d-периодическими.

Для плоскости (abc), где a , b и c имеют иррациональные отношения, с другой стороны, пересечение плоскости с кристаллом не является периодическим. Оно образует апериодический узор, известный как квазикристалл . Эта конструкция точно соответствует стандартному методу «разрез-и-проекция» определения квазикристалла, использующему плоскость с индексами Миллера с иррациональными отношениями. (Хотя многие квазикристаллы, такие как мозаика Пенроуза , образованы «разрезами» периодических решеток в более чем трех измерениях, включающими пересечение более чем одной такой гиперплоскости .)

Смотрите также

• Кристаллическая структура
• Кристаллическая привычка
• Линия Кикучи
• Обратная решетка
• Зональная ось

Ссылки

1. Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030839939. OCLC  934604.
2. Вайс, Кристиан Сэмюэл (1817). «Ueber eine verbesserte Methode für die Bezeichnung der verschiedenen Flächen eines Krystallisationssystems, nebst Bemerkungen über den Zustand der Polarisierung der Seiten in den Linien der krystallinischen Structur». Abhandlungen der Physikalischen Klasse der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften : 286–336.
3. Oxford English Dictionary Online (дата обращения: май 2007 г.)
4. JW Edington (1976) Практическая электронная микроскопия в материаловедении (Gloeilampenfabrieken NV Philips, Эйндховен) ISBN 1-878907-35-2 , Приложение 2 

Внешние ссылки

• Онлайн-словарь кристаллографии IUCr
• Описание индекса Миллера с диаграммами
• Онлайн-урок по решетчатым плоскостям и индексам Миллера.
• MTEX – бесплатный набор инструментов MATLAB для анализа текстур
• http://sourceforge.net/projects/orilib – Коллекция процедур для вращения/манипулирования ориентацией, включая специальные инструменты для ориентации кристаллов.