Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

Специальная ортогональная группа

В математике группа вращений вокруг неподвижной точки в четырехмерном евклидовом пространстве обозначается SO(4 ) . Название происходит от того, что это специальная ортогональная группа четвертого порядка.

В этой статье ротация означает вращательное перемещение . В целях уникальности предполагается, что углы поворота находятся в сегменте [0, π], за исключением случаев, когда указано или явно подразумевается из контекста иное.

«Неподвижная плоскость» — это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости не изменяется после вращения. «Инвариантная плоскость» — это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости, хотя и может подвергаться вращению, остается в плоскости после вращения.

Геометрия 4D вращений

Четырехмерные вращения бывают двух типов: простые вращения и двойные вращения.

Простые вращения

Простое вращение R вокруг центра вращения O оставляет неподвижной всю плоскость от A до O (плоскость-ось). Каждая плоскость B , полностью ортогональная ^[a] к A , пересекает A в некоторой точке P. Для каждой такой точки P является центром двумерного вращения, вызванного R в B . Все эти двумерные вращения имеют одинаковый угол поворота α .

Полулинии из О в оси-плоскости А не смещены; полупрямые из O , ортогональные A , смещаются через α ; все остальные полупрямые смещаются на угол, меньший α .

Двойные вращения

Тессеракт , в стереографической проекции , в двойном вращении.

4D тор Клиффорда, стереографически проецируемый в 3D, выглядит как тор , и двойное вращение можно рассматривать как спиральную траекторию на этом торе. Для вращения, два угла поворота которого имеют рациональное соотношение, пути в конечном итоге снова соединятся; тогда как при иррациональном соотношении они этого не сделают. Изоклиническое вращение образует на торе круг Вильярсо , а простое вращение образует круг, параллельный или перпендикулярный центральной оси. ^[2]

Для каждого вращения R 4-пространства (фиксации начала координат) существует по крайней мере одна пара ортогональных 2 -плоскостей A и B , каждая из которых инвариантна и прямая сумма которых A ⊕ B целиком принадлежит 4-пространству. Следовательно, R , действуя в любой из этих плоскостей, производит обычное вращение этой плоскости. Почти для всех R (весь шестимерный набор вращений, за исключением трехмерного подмножества) углы поворота α в плоскости A и β в плоскости B – оба считаются ненулевыми – различны. Неравные углы поворота α и β, удовлетворяющие −π < α , β < π , почти ^[b] однозначно определяются R . Если предположить, что 4-пространство ориентировано, то ориентации 2-плоскостей A и B можно выбрать в соответствии с этой ориентацией двумя способами. Если углы поворота неравны ( α ≠ β ), R иногда называют «двойным вращением».

В случае двойного вращения A и B являются единственной парой инвариантных плоскостей, причем полупрямые из начала координат в A , B смещаются через α и β соответственно, а полупрямые из начала координат не в A или B. смещаются на углы строго между α и β .

Изоклинические вращения

Если углы поворота двойного поворота равны, то существует бесконечно много инвариантных плоскостей вместо двух, и все полупрямые из O смещаются на один и тот же угол. Такие вращения называются изоклиническими или равноугольными вращениями или смещениями Клиффорда . Будьте осторожны: не все плоскости, проходящие через O , инвариантны относительно изоклинического вращения; Инвариантными являются только плоскости, охватываемые полупрямой и соответствующей смещенной полупрямой. ^[3]

Предполагая, что для четырехмерного пространства выбрана фиксированная ориентация, изоклинические четырехмерные вращения можно разделить на две категории. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим изоклиническое вращение R и возьмем согласованный по ориентации упорядоченный набор OU , OX , OY , OZ взаимно перпендикулярных полупрямых в точке O (обозначаемый как OUXYZ ), такой, что OU и OX охватывают инвариантную плоскость, и, следовательно, OY и OZ также охватывают инвариантную плоскость. Теперь предположим, что задан только угол поворота α . Тогда в плоскостях OUX и OYZ вообще существует четыре изоклинических вращения с углом поворота α , в зависимости от направлений вращения в OUX и OYZ .

Мы договорились, что направления вращения от OU до OX и от OY до OZ считаются положительными. Тогда у нас есть четыре вращения R ₁ = (+ α , + α ) , R ₂ = (− α , − α ) , R ₃ = ( + α , − α ) и R ₄ = (- α , + α ) . R ₁ и R ₂ являются инверсиями друг друга ; то же самое относится и к R ₃ и R ₄ . Пока α лежит между 0 и π , эти четыре вращения будут различны.

Изоклинические вращения с подобными знаками обозначаются как левоизоклинические ; те, которые имеют противоположные знаки, относятся к правоизоклиническим . Левое и правое изоклиническое вращение представлено соответственно левым и правым умножением на единичные кватернионы; см. параграф «Отношение к кватернионам» ниже.

Четыре вращения попарно различны, за исключением случаев, когда α = 0 или α = π . Угол α = 0 соответствует тождественному повороту; α = π соответствует центральной инверсии , заданной отрицательным значением единичной матрицы. Эти два элемента SO(4) — единственные, которые одновременно являются левой и правой изоклиной.

Левая и правая изоклиния, определенные, как указано выше, по-видимому, зависят от того, какое конкретное изоклиническое вращение было выбрано. Однако когда выбрано другое изоклиническое вращение R' со своими осями OU' , OX' , OY' , OZ ' , то всегда можно выбрать порядок U' , X' , Y' , Z' такой, что OUXYZ может быть преобразуется в OU'X'Y'Z' вращением, а не вращением-отражением (то есть так, что упорядоченный базис OU' , OX' , OY' , OZ' также согласуется с тем же фиксированным выбором ориентации как OU , OX , OY , OZ ). Поэтому, выбрав ориентацию (т. е. систему осей OUXYZ , которую повсеместно называют правосторонней), можно определить левый или правый характер конкретного изоклинического вращения.

Групповая структура SO(4)

SO(4) — некоммутативная компактная 6- мерная группа Ли .

Каждая плоскость, проходящая через центр вращения O , является осью-плоскостью коммутативной подгруппы , изоморфной SO(2). Все эти подгруппы взаимно сопряжены в SO(4).

Каждая пара полностью ортогональных плоскостей через O является парой инвариантных плоскостей коммутативной подгруппы SO(4), изоморфной SO(2) × SO(2) .

Эти группы являются максимальными торами SO(4), которые все взаимно сопряжены в SO(4). См. также тор Клиффорда .

Все левоизоклинические вращения образуют некоммутативную подгруппу S ³ _L группы SO(4), которая изоморфна мультипликативной группе S ³ единичных кватернионов . Все правоизоклинические вращения также образуют подгруппу S ³ _R группы SO(4), изоморфную S ³ . Обе S ³ _L и S ³ _R являются максимальными подгруппами группы SO(4).

Каждое левоизоклиническое вращение коммутирует с каждым правоизоклиническим вращением. Отсюда следует, что существует прямое произведение S ³ _L × S ³ _R с нормальными подгруппами S ³ _L и S ³ _R ; обе соответствующие фактор-группы изоморфны другому фактору прямого произведения, т.е. изоморфны S ³ . (Это не SO(4) или ее подгруппа, поскольку S ³ _L и S ³ _R не пересекаются: тождество I и центральная инверсия − I принадлежат как S ³ _L , так и S ³ _R .)

Каждое четырехмерное вращение A в двух отношениях является произведением левого и правого изоклинических вращений A _L и A _R . A _L и A _R вместе определяются с точностью до центральной инверсии, т. е. когда оба A _L и A _R умножаются на центральную инверсию, их продукт снова равен A.

Отсюда следует, что S ³ _L × S ³ _R — универсальная накрывающая группа SO(4) — ее единственное двойное накрытие — и что S ³ _L и S ³ _R являются нормальными подгруппами SO(4). Тождественное вращение I и центральная инверсия − I образуют группу C ₂ порядка 2, которая является центром SO(4), а также S ³ _L и S ³ _R . Центром группы является нормальная подгруппа этой группы. Фактор-группа C ₂ в SO(4) изоморфна SO(3) × SO(3). Каждая фактор-группа S ³ _L по C ₂ и S ³ _R по C ₂ изоморфна SO(3). Аналогично, каждая фактор-группа SO(4) по S ³ _L и SO(4) по S ³ _R изоморфна SO(3).

Топология SO(4) такая же, как у группы Ли SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) , а именно пространство , где — вещественное проективное пространство размерности 3 и 3 -сфера . Однако примечательно, что SO(4) как группа Ли не является прямым произведением групп Ли и поэтому не изоморфна SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2 ) . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

Особое свойство SO (4) среди групп вращения в целом

Нечетномерные группы вращений не содержат центральной инверсии и являются простыми группами .

Группы четномерного вращения содержат центральную инверсию − I и имеют группу C ₂ = { I , − I } в качестве своего центра . Для четного n ≥ 6 группа SO(n) почти проста, поскольку фактор-группа SO(n)/C ₂ группы SO(n) по ее центру является простой группой.

SO(4) отличается: в SO(4) нет сопряжения , которое преобразует лево- и правоизоклинические вращения друг в друга. Отражения путем сопряжения преобразуют левоизоклиническое вращение в правоизоклиническое и наоборот. Это означает, что под группой O(4) всех изометрий с неподвижной точкой O различные подгруппы S ³ _L и S ³ _R сопряжены друг с другом и поэтому не могут быть нормальными подгруппами группы O(4). Группа 5D-вращения SO(5) и все более высокие группы вращений содержат подгруппы, изоморфные O(4). Как и SO(4), все четномерные группы вращений содержат изоклинические вращения. Но в отличие от SO(4), в SO(6) и всех более высоких группах четномерных вращений любые два изоклинических поворота на один и тот же угол сопряжены. Множество всех изоклинических вращений не является даже подгруппой SO(2 N ), не говоря уже о нормальной подгруппе.

Алгебра 4D вращений

SO (4) обычно отождествляется с группой сохраняющих ориентацию изометрических линейных отображений четырехмерного векторного пространства со скалярным произведением действительных чисел на себя.

По отношению к ортонормированному базису в таком пространстве SO(4) представляется как группа вещественных ортогональных матриц 4-го порядка с определителем +1. ^[4]

Изоклиническое разложение

Четырехмерное вращение, заданное его матрицей, разлагается на левоизоклиническое и правоизоклиническое вращение ^[5] следующим образом:

Позволять

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}}$

— его матрица относительно произвольного ортонормированного базиса.

Вычислите отсюда так называемую ассоциативную матрицу

${\displaystyle M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}}$

M имеет ранг один и имеет единичную евклидову норму как 16D вектор тогда и только тогда, когда A действительно является 4D матрицей вращения. В этом случае существуют действительные числа a , b , c , d и p , q , r , s такие, что

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle (ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.}$

Существует ровно два набора a , b , c , d и p , q , r , s такие, что a ² + b ² + c ² + d ² = 1 и p ² + q ² + r ² + s ² = 1. . Они являются противоположностями друг друга.

Матрица вращения тогда равна

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Эта формула принадлежит Ван Эльфринкхофу (1897).

Первый фактор в этом разложении представляет собой левоизоклиническое вращение, второй фактор - правоизоклиническое вращение. Коэффициенты определяются с точностью до отрицательной единичной матрицы 4-го порядка , т.е. до центральной инверсии.

Отношение к кватернионам

Точка в 4-мерном пространстве с декартовыми координатами ( u , x , y , z ) может быть представлена ​​кватернионом P = u + xi + yj + zk .

Левоизоклиническое вращение представлено умножением слева на единичный кватернион Q _L = a + bi + cj + dk . На матрично-векторном языке это

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

Аналогично, правоизоклиническое вращение представляется умножением вправо на единичный кватернион Q _R = p + qi + rj + sk , который находится в матрично-векторной форме.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.}$

В предыдущем разделе (#Изоклиническое разложение) показано, как общее четырехмерное вращение разбивается на лево- и право-изоклинические факторы.

На языке кватернионов формула Ван Эльфринкхофа гласит:

${\displaystyle u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),}$

или, в символической форме,

${\displaystyle P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,}$

По словам немецкого математика Феликса Кляйна, ^эта формула была известна Кэли уже в ^{1854 году} .

Умножение кватернионов ассоциативно . Поэтому,

${\displaystyle P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,}$

который показывает, что левоизоклиническое и правоизоклиническое вращения коммутируют.

Собственные значения 4D-матриц вращения

Четыре собственных значения четырехмерной матрицы вращения обычно представляют собой две сопряженные пары комплексных чисел единичной величины. Если собственное значение действительно, оно должно быть ±1, поскольку вращение оставляет величину вектора неизменной. Сопряженное с этим собственным значением также равно единице, что дает пару собственных векторов, которые определяют фиксированную плоскость, и поэтому вращение является простым. В обозначениях кватернионов правильное (т. е. неинвертирующее) вращение в SO(4) является правильным простым вращением тогда и только тогда, когда вещественные части единичных кватернионов Q _L и Q _R равны по величине и имеют одинаковый знак. ^[c] Если они оба равны нулю, все собственные значения вращения равны единице, а вращение является нулевым вращением. Если действительные части Q _L и Q _R не равны, то все собственные значения являются комплексными, и вращение представляет собой двойное вращение.

Формула Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений

Наше обычное трехмерное пространство удобно рассматривать как подпространство с системой координат 0XYZ четырехмерного пространства с системой координат UXYZ. Ее группа вращения SO(3) отождествляется с подгруппой SO(4), состоящей из матриц

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}$

В формуле Ван Эльфринкхофа в предыдущем подразделе это ограничение на три измерения приводит к p = a , q = - b , r = - c , s = - d или в представлении кватернионов: Q _R = Q _L ′ = Q _L ⁻¹ . Матрица трехмерного вращения затем становится формулой Эйлера-Родригеса для трехмерного вращения.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},}$

которое представляет собой трехмерное вращение его параметрами Эйлера-Родригеса : a , b , c , d .

Соответствующая формула кватернионов P′ = QPQ ⁻¹ , где Q = Q _L , или в развернутом виде:

${\displaystyle x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)}$

известна как формула Гамильтона – Кэли .

Координаты Хопфа

Вращение в трехмерном пространстве становится математически более управляемым благодаря использованию сферических координат . Любое вращение в 3D можно охарактеризовать фиксированной осью вращения и инвариантной плоскостью, перпендикулярной этой оси. Без ограничения общности мы можем принять плоскость xy в качестве инвариантной плоскости, а ось z в качестве фиксированной оси. Поскольку вращение не влияет на радиальные расстояния, мы можем охарактеризовать вращение по его влиянию на единичную сферу (2-сферу) с помощью сферических координат , отнесенных к неподвижной оси и инвариантной плоскости:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}}$

Поскольку x ² + y ² + z ² = 1 , точки лежат на 2-сфере. Точка в { θ ₀ , φ ₀ } , повёрнутая на угол φ вокруг оси z , определяется просто { θ ₀ , φ ₀ + φ } . Хотя гиперсферические координаты также полезны при четырехмерном вращении, еще более полезная система координат для четырехмерного вращения обеспечивается координатами Хопфа { ξ ₁ , η , ξ ₂ } , ^[6] которые представляют собой набор из трех угловых координат, определяющих положение на 3-сфера. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}}$

Поскольку u ² + x ² + y ² + z ² = 1 , точки лежат на 3-сфере.

В четырехмерном пространстве каждое вращение вокруг начала координат имеет две инвариантные плоскости, которые полностью ортогональны друг другу, пересекаются в начале координат и поворачиваются на два независимых угла ξ ₁ и ξ ₂ . Без ограничения общности в качестве этих инвариантных плоскостей можно выбрать соответственно uz- и xy -плоскости. Поворот в 4D точки { ξ ₁₀ , η ₀ , ξ ₂₀ } на углы ξ ₁ и ξ ₂ тогда просто выражается в координатах Хопфа как { ξ ₁₀ + ξ ₁ , η ₀ , ξ ₂₀ + ξ ₂ } .

Визуализация 4D-вращений

Траектории точки на торе Клиффорда:
Рис.1: простые вращения (черные) и левые и правые изоклинические вращения (красные и синие)
Рис.2: общее вращение с угловыми смещениями в соотношении 1:5
Рис.3: общее вращение с угловыми смещениями в соотношении 5:1.
Все изображения представляют собой стереографические проекции .

Каждое вращение в трехмерном пространстве имеет фиксированную ось, не изменяющуюся при вращении. Вращение полностью задается путем указания оси вращения и угла поворота вокруг этой оси. Без ограничения общности эту ось можно выбрать в качестве оси z декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В трехмерном пространстве сферические координаты { θ , φ } можно рассматривать как параметрическое выражение двухсферы. При фиксированном θ они описывают круги на 2-сфере, перпендикулярные оси z , и эти круги можно рассматривать как траектории точки на сфере. Точка { θ ₀ , φ ₀ } на сфере при вращении вокруг оси z будет следовать по траектории { θ ₀ , φ ₀ + φ } при изменении угла φ . Траекторию можно рассматривать как параметрическое во времени вращение, где угол поворота линеен во времени: φ = ωt , где ω является «угловой скоростью».

Аналогично трехмерному случаю, каждое вращение в четырехмерном пространстве имеет как минимум две инвариантные оси-плоскости, которые остаются инвариантными при вращении и полностью ортогональны (т.е. пересекаются в точке). Вращение полностью задается путем указания плоскостей осей и углов поворота вокруг них. Без ограничения общности эти плоскости осей могут быть выбраны в качестве плоскостей uz и xy декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В 4D-пространстве углы Хопфа { ξ ₁ , η , ξ ₂ } параметризуют 3-сферу. При фиксированном η они описывают тор, параметризованный ξ ₁ и ξ ₂ , причем η =π/4являющийся частным случаем тора Клиффорда в плоскостях xy и uz . Эти торы не являются обычными торами, встречающимися в трехмерном пространстве. Хотя они по-прежнему являются 2D-поверхностями, они встроены в 3-сферу. 3-сферу можно стереографически спроецировать на все евклидово 3D-пространство, и эти торы затем рассматриваться как обычные торы вращения. Можно видеть, что точка, заданная { ξ ₁₀ , η ₀ , ξ ₂₀ } , испытывающая вращение с инвариантом uz - и xy -плоскостей, останется на торе, заданном η ₀ . ^[7] Траекторию точки можно записать как функцию времени как { ξ ₁₀ + ω ₁ t , η ₀ , ξ ₂₀ + ω ₂ t } и стереографически спроецировать на связанный с ней тор, как показано на рисунках ниже. ^[8] На этих рисунках за начальную точку принята {0,π/4, 0} , т. е. на торе Клиффорда. На рис. 1 две простые траектории вращения показаны черным цветом, а левая и правая изоклинические траектории показаны красным и синим соответственно. На рис. 2 показано общее вращение, при котором ω ₁ = 1 и ω ₂ = 5 , а на рис. 3 показано общее вращение, при котором ω ₁ = 5 и ω ₂ = 1 .

Создание матриц вращения 4D

Четырехмерное вращение можно получить из формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. Пусть A — кососимметричная матрица размера 4 × 4 . Кососимметричная матрица A однозначно разлагается как

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}$

на две кососимметричные матрицы A ₁ и A ₂ , удовлетворяющие свойствам A ₁ A ₂ = 0 , A ₁ ³ = − A ₁ и A ₂ ³ = − A ₂ , где ∓ θ ₁ i и ∓ θ ₂ i — собственные значения А. _ _ Затем 4D-матрицы вращения могут быть получены из кососимметричных матриц A ₁ и A ₂ с помощью формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. ^[9]

Пусть A — ненулевая кососимметричная матрица размера 4 × 4 с набором собственных значений

${\displaystyle \left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.}$

Тогда A можно разложить как

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}$

где A ₁ и A ₂ — кососимметричные матрицы, удовлетворяющие свойствам

${\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.}$

При этом кососимметричные матрицы A ₁ и A ₂ однозначно получаются как

${\displaystyle A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}}$

и

${\displaystyle A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.}$

Затем,

${\displaystyle R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}}$

— матрица вращения в E ⁴ , которая генерируется формулой вращения Родригеса, с набором собственных значений

${\displaystyle \left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.}$

Также,

${\displaystyle R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}}$

является матрицей вращения в E ⁴ , которая генерируется формулой вращения Кэли, так что набор собственных значений R равен:

${\displaystyle \left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.}$

Генерирующая матрица вращения может быть классифицирована по значениям θ ₁ и θ ₂ следующим образом:

1. Если θ ₁ = 0 и θ ₂ ≠ 0 или наоборот, то формулы генерируют простые вращения;
2. Если θ ₁ и θ ₂ ненулевые и θ ₁ ≠ θ ₂ , то формулы генерируют двойные вращения;
3. Если θ ₁ и θ ₂ ненулевые и θ ₁ = θ ₂ , то формулы генерируют изоклинические вращения.

Смотрите также

• Вектор Лапласа–Рунге–Ленца
• группа Лоренца
• Ортогональная группа
• Ортогональная матрица
• Плоскость вращения
• Группа Пуанкаре
• Кватернионы и пространственное вращение

Примечания

1. Два плоских подпространства S ₁ и S ₂ размерностей M и N евклидова пространства S не менее M + N измерений называются полностью ортогональными , если каждая линия в S ₁ ортогональна каждой прямой в S ₂ . Если dim( S ) = M + N , то S ₁ и S ₂ пересекаются в одной точке O . Если dim( S ) > M + N , то S ₁ и S ₂ могут пересекаться, а могут и не пересекаться. Если dim( S ) = M + N , то линия в S ₁ и линия в S ₂ могут пересекаться, а могут и не пересекаться; если они пересекаются, то они пересекаются в O. ^[1]
2. Предполагая, что 4-мерное пространство ориентировано, тогда ориентацию каждой из 2-плоскостей A и B можно выбрать так, чтобы она соответствовала этой ориентации 4-пространства, двумя одинаково допустимыми способами. Если углы одного такого выбора ориентации A и B равны { α , β } , то углы другого выбора равны {− α , − β } . (Чтобы измерить угол поворота в 2-плоскости, необходимо указать ориентацию в этой 2-плоскости. Угол поворота − π такой же, как угол + π . Если ориентация 4-пространства равна в обратном порядке результирующие углы будут либо { α , − β } , либо {− α , β } . Следовательно, абсолютные значения углов четко определены совершенно независимо от любого выбора.)
3. Пример противоположных знаков: центральная инверсия; в представлении кватернионов действительные части равны +1 и -1, а центральная инверсия не может быть достигнута одним простым поворотом.

Рекомендации

1. Шауте 1902, Том 1.
2. Дорст 2019, стр. 14–16, 6.2. Изоклинические вращения в 4D.
3. Kim & Rote 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
4. Ким и Роте 2016, §5 Четырехмерные вращения.
5. Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9. hdl : 2117/113067 . S2CID  12350382.
6. Керхер, Герман, «Плоские Тори Бьянки – Пинкалла в S3», Документация 3DXM , Консорциум 3DXM , получено 5 апреля 2015 г.
7. Пинкал, У. (1985). «Торы Хопфа в S3» (PDF) . Изобретать. Математика . 81 (2): 379–386. Бибкод : 1985InMat..81..379P. дои : 10.1007/bf01389060. S2CID  120226082 . Проверено 7 апреля 2015 г.
8. Банчофф, Томас Ф. (1990). За пределами третьего измерения . ISBN WH Freeman & Co. 978-0716750253. Проверено 8 апреля 2015 г.
9. Эрдогду, М.; Оздемир, М. (2015). «Создание четырехмерных матриц вращения». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )

Библиография

• Л. ван Эльфринкхоф: Eene eigenschap van de ortagonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Делфт, 1897 г.
• Феликс Кляйн : Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ. Перевод Э.Р. Хедрика и К.А. Нобла. Компания Macmillan, Нью-Йорк, 1932 год.
• Генри Паркер Мэннинг: Геометрия четырех измерений . The Macmillan Company, 1914. Переиздано без изменений и сокращений издательством Dover Publications в 1954 году. В этой монографии четырехмерная геометрия развивается на основе первых принципов синтетическим аксиоматическим способом. Работу Мэннинга можно рассматривать как прямое расширение работ Евклида и Гильберта на четыре измерения.
• Дж. Х. Конвей и Д. А. Смит: О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия. АК Петерс, 2003.
• Хэтэуэй, Артур С. (1902). «Кватернионное пространство». Труды Американского математического общества . 3 (1): 46–59. дои : 10.1090/S0002-9947-1902-1500586-2 . JSTOR  1986315.
• Йохан Эрнест Мебиус (2005). «Матричное доказательство теоремы о представлении кватернионов для четырехмерных вращений». arXiv : math/0501249 .
• Йохан Эрнест Мебиус (2007). «Вывод формулы Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений». arXiv : math/0701759 .
• PHSchoute: Многомерная геометрия . Лейпциг: GJGöschensche Verlagshandlung. Том 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die Linearen Räume, 1902. Том 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
• Стрингем, Ирвинг (1901). «О геометрии плоскостей в параболическом четырехмерном пространстве». Труды Американского математического общества . 2 (2): 183–214. дои : 10.1090/s0002-9947-1901-1500564-2 . JSTOR  1986218.
• Эрдогду, Мелек; Оздемир, Мустафа (2020). «Простые, двойные и изоклинические вращения с приложениями». Электронные заметки по математическим наукам и приложениям . дои : 10.36753/mathenot.642208 .
• Мортари, Даниэле (июль 2001 г.). «О концепции жесткого вращения в n-мерных пространствах» (PDF) . Журнал астронавтических наук . 49 (3): 401–420. Бибкод : 2001JAnSc..49..401M. дои : 10.1007/BF03546230. S2CID  16952309. Архивировано из оригинала (PDF) 17 февраля 2019 года.
• Ким, Хына; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
• Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного дизайна и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.
• Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вильярсо». Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 29 (44). дои : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID  253592159.