Додекаэдр

Многогранник с 12 гранями

В геометрии додекаэдр (от древнегреческого δωδεκάεδρον ( dōdekáedron ) ; от δώδεκα ( dṓdeka )  «двенадцать» и ἕδρα ( hédra )  «основание, посадочное место, грань») или дуодекаэдр ^[1] — это любой многогранник с двенадцатью плоскими гранями. Самый известный додекаэдр — это правильный додекаэдр с правильными пятиугольниками в качестве граней, который является платоновым телом . Также существуют три правильных звездчатых додекаэдра , которые построены в виде звездочек выпуклой формы. Все они имеют икосаэдрическую симметрию порядка 120.

Некоторые додекаэдры имеют ту же комбинаторную структуру, что и правильный додекаэдр (с точки зрения графа, образованного его вершинами и ребрами), но их пятиугольные грани не являются правильными: Пиритоэдр, распространенная кристаллическая форма в пирите , имеет пиритоэдрическую симметрию , тогда как тетартоид обладает тетраэдрической симметрией .

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как предельный случай пиритоэдра и он обладает октаэдрической симметрией . Варианты удлиненного додекаэдра и трапецоромбического додекаэдра , а также ромбических додекаэдров заполняют пространство . Есть множество других додекаэдров.

Хотя правильный додекаэдр имеет много общих черт с другими платоновыми телами, одно его уникальное свойство состоит в том, что можно начать с угла поверхности и провести через фигуру бесконечное количество прямых линий, которые возвращаются в исходную точку, не пересекая любую другую. угол. ^[2]

Правильный додекаэдр

Выпуклый правильный додекаэдр является одним из пяти правильных платоновых тел и может быть представлен символом Шлефли {5, 3}.

Двойственный многогранник — это правильный икосаэдр {3, 5}, имеющий пять равносторонних треугольников вокруг каждой вершины.

Выпуклый правильный додекаэдр также имеет три звездчатых элемента , все из которых являются правильными звездчатыми додекаэдрами. Они образуют три из четырех многогранников Кеплера–Пуансо . Это малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5}, большой додекаэдр {5, 5/2} и большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}. Малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр двойственны друг другу; большой звездчатый додекаэдр двойственен большому икосаэдру {3, 5/2}. Все эти правильные звездчатые додекаэдры имеют правильные пятиугольные или пентаграммные грани. Выпуклый правильный додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр — это разные реализации одного и того же абстрактного правильного многогранника ; малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр — это разные реализации другого абстрактного правильного многогранника.

Другие пятиугольные додекаэдры

В кристаллографии два важных додекаэдра могут встречаться как кристаллические формы в некоторых классах симметрии кубической кристаллической системы , которые топологически эквивалентны правильному додекаэдру, но менее симметричны: пиритоэдр с пиритоэдрической симметрией и тетартоид с тетраэдрической симметрией :

Пиритоэдр

Пиритоэдр — это додекаэдр с пиритоэдрической (T _h ) симметрией. Как и правильный додекаэдр , он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три сходящихся в каждой из 20 вершин (см. рисунок). ^[3] Однако пятиугольники не обязательно должны быть правильными, а лежащее в их основе расположение атомов не имеет истинной оси симметрии пятого порядка. Его 30 ребер разделены на два набора — содержащие 24 и 6 ребер одинаковой длины. Единственными осями вращательной симметрии являются три взаимно перпендикулярные оси двойного порядка и четыре оси тройного порядка.

Хотя правильные додекаэдры не существуют в кристаллах, форма пиритоэдра встречается в кристаллах минерала пирита и может стать источником вдохновения для открытия правильной платоновской твердой формы. Истинный правильный додекаэдр может иметь форму квазикристаллов (таких как квазикристалл гольмия-магния-цинка ) с икосаэдрической симметрией , которая включает в себя истинные оси вращения пятого порядка.

Двойные позиции в моделях кристаллов пирита

Кристаллический пирит

Название «кристаллический пирит» происходит от одного из двух распространенных кристаллических форм пирита (второй — куб ). В пиритоэдрическом пирите грани имеют индекс Миллера (210), что означает, что двугранный угол составляет 2 · арктан (2) ≈ 126,87 °, а каждая пятиугольная грань имеет один угол примерно 121,6 ° между двумя углами примерно 106,6 °. и противоположные два угла примерно 102,6°. Следующие формулы показывают размеры грани идеального кристалла (который редко встречается в природе).

${\displaystyle {\text{Height}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot {\text{Long side}}}$

${\displaystyle {\text{Width}}={\frac {4}{3}}\cdot {\text{Long side}}}$

${\displaystyle {\text{Short sides}}={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot {\text{Long side}}}$

Декартовы координаты

Восемь вершин куба имеют координаты (±1, ±1, ±1).

Координаты 12 дополнительных вершин: ( 0, ±(1 + h ), ±(1 − h ² ) ) , ( ±(1 + h ), ±(1 − h ² ), 0 ) и ( ±(1 - час ² ), 0, ±(1 + час ) ) .

h — высота клиновидной « крыши» над гранями куба с длиной ребра 2.

Важный случай: h =1/2(четверть длины ребра куба) для идеального природного пирита (также пиритоэдра в структуре Вейра – Фелана ).

Еще один: h =1/φ= 0,618... для правильного додекаэдра . Другие случаи см. в разделе «Геометрическая свобода» .

Два пиритоэдра с перепутанными ненулевыми координатами находятся в двойном положении друг к другу, как додекаэдры в соединении двух додекаэдров .

Геометрическая свобода

Пиритоэдр имеет геометрическую степень свободы с предельными случаями кубической выпуклой оболочки на одном пределе коллинеарных ребер и ромбического додекаэдра на другом пределе, поскольку 6 ребер вырождены до нулевой длины. Правильный додекаэдр представляет собой особый промежуточный случай, когда все ребра и углы равны.

Эти предельные случаи можно обойти, создав вогнутые или невыпуклые пиритоэдры. Эндододекаэдр вогнутый и равносторонний ; он может мозаику пространства с помощью выпуклого правильного додекаэдра. Продолжая оттуда в том же направлении, мы проходим через вырожденный случай, когда двенадцать вершин совпадают в центре, и переходим к правильному большому звездчатому додекаэдру , где все ребра и углы снова равны, а грани искажены в правильные пентаграммы . С другой стороны, за ромбическим додекаэдром, мы получаем невыпуклый равносторонний додекаэдр с самопересекающимися равносторонними пятиугольными гранями в форме рыбы.

Тетартоид

Тетартоид (также тетрагональный пятиугольный додекаэдр , пентагон-тритетраэдр и тетраэдрический пятиугольный додекаэдр ) представляет собой додекаэдр с киральной тетраэдрической симметрией (T). Как и правильный додекаэдр , он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три сходящихся в каждой из 20 вершин. Однако пятиугольники не являются правильными, и фигура не имеет осей симметрии пятого порядка.

Хотя в кристаллах не существует правильных додекаэдров, существует тетартоидная форма. Название тетартоид происходит от греческого корня, обозначающего одну четверть, потому что он имеет одну четверть полной октаэдрической симметрии и половину пиритоэдрической симметрии. ^[4] Минерал кобальтит может иметь такую ​​форму симметрии. ^[5]

Абстракции, разделяющие топологию и симметрию твердого тела, могут быть созданы на основе куба и тетраэдра. В кубе каждая грань разделена пополам наклонным краем. В тетраэдре каждое ребро разделено на три части, и каждая новая вершина соединена с центром грани. (В обозначениях многогранников Конвея это гиротетраэдр.)

Декартовы координаты

Следующие точки являются вершинами пятиугольника тетартоида при тетраэдрической симметрии :

( а , б , в ); (- а , - б , с ); (−н/д ₁, −н/д ₁,н/д ₁); (- с , - а , б ); (−н/д ₂,н/д ₂,н/д ₂),

при следующих условиях: ^[6]

0 ≤ а ≤ б ≤ с ,

п знак равно а ² c - bc ² ,

d ₁ знак равно а ² - ab + b ² + ac - 2 bc ,

d ₂ знак равно а ² + ab + b ² - ac - 2 bc ,

нд ₁ d ₂ ≠ 0 .

Геометрическая свобода

Правильный додекаэдр — это тетартоид, симметрия которого превышает требуемую. Триакис -тетраэдр представляет собой вырожденный случай с 12 ребрами нулевой длины. (С точки зрения цветов, использованных выше, это означает, что белые вершины и зеленые края поглощаются зелеными вершинами.)

Двойной треугольный гиробиантикупол

Форма более низкой симметрии правильного додекаэдра может быть построена как двойственный многогранник, построенный из двух треугольных антикуполов , соединенных основаниями, называемый треугольным гиробиантикуполом. Он имеет симметрию D _3d , порядок 12. Он состоит из 2 наборов по 3 одинаковых пятиугольника сверху и снизу, соединенных по 6 пятиугольников по бокам, которые чередуются вверх и вниз. Эта форма имеет шестиугольное поперечное сечение, и одинаковые копии можно соединить как частичную шестиугольную соту, но не все вершины будут совпадать.

Ромбический додекаэдр

Ромбический додекаэдр

Ромбдодекаэдр представляет собой зоноэдр с двенадцатью ромбическими гранями и октаэдрической симметрией. Он двойственен квазиправильному кубооктаэдру ( архимедову телу ) и встречается в природе в виде кристалла. Ромбический додекаэдр складывается вместе, заполняя пространство.

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как вырожденный пиритоэдр , в котором шесть особых ребер уменьшены до нулевой длины, превращая пятиугольники в ромбические грани.

Ромбдодекаэдр имеет несколько звездочек , первая из которых также является параллелоэдрическим заполнителем пространства .

Другой важный ромбический додекаэдр, додекаэдр Билинского , имеет двенадцать граней, конгруэнтных граням ромбического триаконтаэдра , то есть диагонали находятся в соотношении золотого сечения . Это также зоноэдр , описанный Билинским в 1960 году. ^[7] Эта фигура является еще одним заполнителем пространства и может также встречаться в непериодических заполнениях пространства вместе с ромбическим триаконтаэдром, ромбическим икосаэдром и ромбическими шестигранниками. ^[8]

Другие додекаэдры

Существует 6 384 634 топологически различных выпуклых додекаэдров, исключая зеркальные изображения — число вершин колеблется от 8 до 20. ^[9] (Два многогранника «топологически различны», если они имеют существенно различное расположение граней и вершин, так что невозможно искажать одно в другое, просто изменяя длину ребер или углы между ребрами или гранями.)

Топологически различные додекаэдры (исключая пятиугольные и ромбические формы)

• Однородные многогранники:
  • Десятиугольная призма – 10 квадратов, 2 декагона, симметрия D _10h , порядок 40.
  • Пятиугольная антипризма – 10 равносторонних треугольников, 2 пятиугольника, симметрия D 5d , порядок 20.
• Твердые тела Джонсона (обычная поверхность):
  • Пятиугольный купол – 5 треугольников, 5 квадратов, 1 пятиугольник, 1 десятиугольник, симметрия C 5v , порядок 10.
  • Курносый дисфеноид – 12 треугольников, D 2d , порядок 8.
  • Вытянутая квадратная дипирамида – 8 треугольников и 4 квадрата, симметрия D _{4h , порядок 16.}
  • Метабидиминидированный икосаэдр – 10 треугольников и 2 пятиугольника, симметрия C 2v , порядок 4.
• Конгруэнтное неправильное лицо: ( лицо-переходное )
  • Шестиугольная бипирамида – 12 равнобедренных треугольников , двойственная шестиугольной призме , симметрия D _{6h , порядок 24.}
  • Шестиугольный трапецоэдр – 12 змеев , двойная шестиугольная антипризма , симметрия D 6d , порядок 24
  • Триакис тетраэдр - 12 равнобедренных треугольников, двойственных усеченному тетраэдру , симметрия T d , порядок 24.
• Другие менее регулярные лица:
  • Пятиугольная пирамида – 11 равнобедренных треугольников и 1 правильный пятиугольник , C _11v , порядок 11.
  • Трапецоромбический додекаэдр – 6 ромбов, 6 трапеций – двойственный треугольному ортобикуполу , симметрия D 3h , порядок 12
  • Ромбо-шестиугольный додекаэдр или вытянутый додекаэдр – 8 ромбов и 4 равносторонних шестиугольника , симметрия D 4h , порядок 16.
  • Усеченный пятиугольный трапецоэдр , D 5d , порядка 20, топологически эквивалентный правильному додекаэдру.

Практическое использование

Арманд Шпитц использовал додекаэдр в качестве эквивалента «глобуса» для своего проектора планетария Digital Dome ^[10] , основанного на предложении Альберта Эйнштейна .

Смотрите также

• 120-ячеечный – правильный полихорон (4D-многогранник), поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек.
• Braarudosphaera bigelowii - кокколитофор в форме додекаэдра ( одноклеточная водоросль -фитопланктон ).
• Додекаэдр Пентакиса
• Римский додекаэдр
• Курносый додекаэдр
• Усеченный додекаэдр

Рекомендации

1. Словарь английского языка двадцатого века Чемберса 1908 года, Пересмотренный полный словарь Вебстера 1913 года
2. Атрея, Джаядев С.; Ауличино, Дэвид; Хупер, В. Патрик (27 мая 2020 г.). «Платоновые тела и накрытия высокого рода решетчатых поверхностей». Экспериментальная математика . 31 (3): 847–877. arXiv : 1811.04131 . дои : 10.1080/10586458.2020.1712564. S2CID  119318080.
3. Кристальная привычка. Галереи.com. Проверено 2 декабря 2016 г.
4. Датч, Стив. 48 особых кристаллических форм, заархивированных 18 сентября 2013 г. в Wayback Machine . Естественные и прикладные науки, Университет Висконсина-Грин-Бей , США
5. Кристальная привычка. Галереи.com. Проверено 2 декабря 2016 г.
6. Тетартоид. Демонстрации.wolfram.com. Проверено 2 декабря 2016 г.
7. Хафнер И. и Зитко Т. Введение в золотые ромбические многогранники. Факультет электротехники Люблянского университета , Словения.
8. Лорд, Э.А.; Ранганатан, С.; Кулкарни, УД (2000). «Мозаики, покрытия, кластеры и квазикристаллы». Курс. Наука . 78 : 64–72.
9. Подсчет многогранников. Numericana.com (31 декабря 2001 г.). Проверено 2 декабря 2016 г.
10. Лей, Вилли (февраль 1965 г.). «Предтечи планетария». Довожу до вашего сведения. Галактическая научная фантастика . стр. 87–98.

Внешние ссылки

• Четвертое тело Платона и «Пиритоэдр» , Пол Стивенсон, 1993, The Mathematical Gazette, Vol. 77, № 479 (июль 1993 г.), стр. 220–226 [1]
• Звездчатость пиритоэдра VRML-модели и анимация пиритоэдра и его звездочек
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники o3o5x – лань».
• Редактируемая для печати развертка додекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Однородные многогранники
• Многогранники оригами – модели, сделанные с помощью модульного оригами.
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Додекаэдр 3D-визуализация
• Стелла: Polyhedron Navigator: Программное обеспечение, использованное для создания некоторых изображений на этой странице.
• Как сделать додекаэдр из пенопластового куба.