stringtranslate.com

Кусочно-линейное многообразие

В математике кусочно-линейное многообразие ( PL -многообразие ) — это топологическое многообразие вместе с кусочно-линейной структурой на нем. Такая структура может быть определена с помощью атласа , так что можно переходить от карты к карте в нем с помощью кусочно-линейных функций . Это немного сильнее топологического понятия триангуляции . [ a] Изоморфизм PL - многообразий называется PL-гомеоморфизмом.

Связь с другими категориями коллекторов

PDIFF служит для связи DIFF и PL и эквивалентен PL.

PL, или точнее PDIFF, находится между DIFF (категорией гладких многообразий ) и TOP (категорией топологических многообразий): она категорически «ведёт себя лучше», чем DIFF — например, обобщенная гипотеза Пуанкаре верна в PL (за возможным исключением размерности 4, где она эквивалентна DIFF), но в целом ложна в DIFF — но «ведёт себя хуже», чем TOP, как это разработано в теории хирургии .

Гладкие коллекторы

Гладкие многообразия имеют канонические PL-структуры — они однозначно триангулируемы, согласно теореме Уайтхеда о триангуляции (Уайтхед 1940) [1] [2] — но PL-многообразия не всегда имеют гладкие структуры — они не всегда сглаживаемы. Это отношение можно развить, введя категорию PDIFF , которая содержит как DIFF, так и PL и эквивалентна PL.

Один из способов, которым PL ведет себя лучше, чем DIFF, заключается в том, что в PL можно брать конусы , но не в DIFF — точка конуса приемлема в PL. Следствием этого является то, что обобщенная гипотеза Пуанкаре верна в PL для размерностей больше четырех — доказательство состоит в том, чтобы взять гомотопическую сферу , удалить два шара, применить теорему о h -кобордизме, чтобы заключить, что это цилиндр, а затем присоединить конусы, чтобы восстановить сферу. Этот последний шаг работает в PL, но не в DIFF, что приводит к экзотическим сферам .

Топологические многообразия

Не каждое топологическое многообразие допускает PL-структуру, а для тех, которые допускают, PL-структура не обязательно должна быть единственной — их может быть бесконечно много. Это подробно описано в Hauptvermutung .

Препятствием к размещению PL-структуры на топологическом многообразии является класс Кирби–Зибенмана . Если быть точным, класс Кирби–Зибенмана является препятствием к размещению PL-структуры на M x R, а в размерностях n > 4 класс KS исчезает тогда и только тогда, когда M имеет хотя бы одну PL-структуру.

Действительные алгебраические множества

A-структура на PL-многообразии — это структура, которая дает индуктивный способ разрешения PL-многообразия до гладкого многообразия. Компактные PL-многообразия допускают A-структуры. [3] [4] Компактные PL-многообразия гомеоморфны вещественно-алгебраическим множествам . [5] [6] Другими словами, A-категория располагается над PL-категорией как более богатая категория без препятствий для подъема, то есть BA → BPL — это расслоение произведения с BA = BPL × PL/A, а PL-многообразия являются вещественными алгебраическими множествами, поскольку A-многообразия являются вещественными алгебраическими множествами.

Комбинаторные многообразия и цифровые многообразия

Смотрите также

Примечания

  1. ^ PL-структура также требует, чтобы связь симплекса была PL-сферой. Примером топологической триангуляции многообразия, которое не является PL-структурой, является  ( n  − 3)-кратная подвеска сферы Пуанкаре (с некоторой фиксированной триангуляцией) в размерности n ≥ 5: она имеет симплекс, связью которого является сфера Пуанкаре, трехмерное многообразие, которое не гомеоморфно сфере, следовательно, не является PL-сферой. Подробности см. в разделе Триангуляция (топология) § Кусочно-линейные структуры .

Ссылки

  1. ↑ Лури, Якоб (13 февраля 2009 г.), Триангуляции Уайтхеда (лекция 3) (PDF)
  2. ^ М.А. Штанько (2001) [1994], "Топология многообразий", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
  3. ^ Акбулут, С.; Тейлор, Л. (1980). «Теорема топологического разрешения». Бюллетень Американского математического общества . (NS). 2 (1): 174–176. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 .
  4. ^ Акбулут, С.; Тейлор, Л. (1981). «Теорема о топологическом разрешении». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 163–196. дои : 10.1007/BF02698689. S2CID  121566364.
  5. ^ Акбулут, С.; Кинг, ХК (1980). «Топологическая характеристика вещественных алгебраических многообразий». Бюллетень Американского математического общества . (NS). 2 (1): 171–173. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 .
  6. ^ Акбулут, С.; Кинг, ХК (1981). «Реальные алгебраические структуры на топологических пространствах». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 79–162. дои : 10.1007/BF02698688. S2CID  13323578.