В музыке класс высоты тона ( pc или pc ) — это набор всех высот , которые находятся на расстоянии целого числа октав друг от друга; например, класс высоты тона C состоит из нот C во всех октавах. «Класс высоты тона C обозначает все возможные ноты C, в любой позиции октавы». [1] Важно для музыкальной теории множеств , класс высоты тона — это «все высоты тона, связанные друг с другом октавой, энгармонической эквивалентностью или обоими». [2] Таким образом, используя научную нотацию высоты тона , класс высоты тона «C» — это набор
Хотя формального верхнего или нижнего предела для этой последовательности нет, только некоторые из этих тонов слышны человеку. Класс высоты звука важен, поскольку человеческое восприятие высоты звука является периодическим : высоты звука, принадлежащие к одному и тому же классу высоты звука, воспринимаются как имеющие схожее качество или цвет, свойство, называемое « октавной эквивалентностью ».
Психологи называют качество высоты тона его «цветностью». [3] Цветность — это атрибут высоты тона (в отличие от высоты тона ), точно так же, как оттенок — это атрибут цвета . Класс высоты тона — это набор всех высот, которые разделяют одну и ту же цветность, точно так же, как «набор всех белых вещей» — это набор всех белых объектов. [4]
В стандартной западной равномерной темперации различные варианты написания могут относиться к одному и тому же звучащему объекту: B ♯ 3 , C 4 и D
4 все относятся к одной и той же высоте тона, следовательно, имеют одну и ту же цветность, и, следовательно, принадлежат к одному и тому же классу высоты тона. Это явление называется энгармонической эквивалентностью .
Чтобы избежать проблемы энгармонических написаний, теоретики обычно представляют классы высоты тона, используя числа, начинающиеся с нуля, причем каждое последовательно большее целое число представляет класс высоты тона, который был бы на один полутон выше предыдущего, если бы они все были реализованы как фактические высоты тона в одной октаве. Поскольку высоты тона, связанные с октавой, принадлежат к одному и тому же классу, при достижении октавы числа снова начинаются с нуля. Эта циклическая система называется модульной арифметикой , и в обычном случае хроматических двенадцатитоновых гамм нумерация классов высоты тона «по модулю 12» (обычно сокращенно «mod 12» в литературе по теории музыки) — то есть каждый двенадцатый член идентичен. Можно сопоставить основную частоту высоты тона f (измеряемую в герцах ) с действительным числом p, используя уравнение
Это создает линейное пространство высоты тона , в котором октавы имеют размер 12, полутоны (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре пианино) имеют размер 1, а средней C (C 4 ) присвоен номер 0 (таким образом, высота тона на пианино составляет от −39 до +48). Действительно, отображение высоты тона в действительные числа, определенное таким образом, формирует основу стандарта настройки MIDI , который использует действительные числа от 0 до 127 для представления высоты тона от C −1 до G 9 (таким образом, средняя C равна 60). Чтобы представить классы высоты тона , нам нужно идентифицировать или «склеить» все высоты тона, принадлежащие одному и тому же классу высоты тона, то есть все числа p и p + 12. Результатом является циклическая фактор-группа , которую теоретики музыки называют пространством классов высоты тона , а математики называют R /12 Z . Точки в этом пространстве могут быть помечены с помощью действительных чисел в диапазоне 0 ≤ x < 12. Эти числа представляют собой числовые альтернативы буквенным обозначениям элементарной теории музыки:
( диез на четверть тона ), 3 = D ♯ /E ♭ ,и т. д. В этой системе классы высоты тона, представленные целыми числами, являются классами двенадцатитоновой равномерной темперации (предполагается стандартный концертный ля).
В музыке целочисленная нотация — это перевод классов высоты тона или интервальных классов в целые числа . [5] Таким образом , если C = 0, то C ♯ = 1 ... A ♯ = 10, B = 11, причем «10» и «11» заменяются на «t» и «e» в некоторых источниках, [5] A и B в других [6] (как в двенадцатеричной системе счисления, которая также использует «t» и «e», или A и B , для «10» и «11»). Это позволяет наиболее экономично представлять информацию относительно посттональных материалов. [5]
В целочисленной модели высоты тона все классы высоты тона и интервалы между классами высоты тона обозначаются с помощью чисел от 0 до 11. Она не используется для записи музыки для исполнения, но является общим аналитическим и композиционным инструментом при работе с хроматической музыкой, включая двенадцатитоновую , серийную или иную атональную музыку.
Классы высоты тона можно обозначить таким образом, присвоив число 0 некоторой ноте и присвоив последовательные целые числа последовательным полутонам ; так, если 0 — это C natural, 1 — это C ♯ , 2 — это D ♮ и так далее до 11, что есть B ♮ . C выше этого — это не 12, а снова 0 (12 − 12 = 0). Таким образом, арифметика по модулю 12 используется для представления эквивалентности октавы . Одним из преимуществ этой системы является то, что она игнорирует «написание» нот (B ♯ , C ♮ и Dвсе 0) в соответствии с их диатонической функциональностью .
У целочисленной нотации есть несколько недостатков. Во-первых, теоретики традиционно использовали одни и те же целые числа для обозначения элементов различных систем настройки. Таким образом, числа 0, 1, 2, ... 5 используются для обозначения классов высоты тона в 6-тоновой равномерной темперации. Это означает, что значение данного целого числа меняется в зависимости от базовой системы настройки: «1» может относиться к C ♯ в 12-тоновой равномерной темперации, но к D в 6-тоновой равномерной темперации.
Кроме того, одни и те же числа используются для представления как высоты тона , так и интервалов . Например, число 4 служит как меткой для класса высоты тона E (если C = 0), так и меткой для расстояния между классами высоты тона D и F ♯ . (Во многом таким же образом термин «10 градусов» может обозначать как температуру, так и расстояние между двумя температурами.) Только одна из этих маркировок чувствительна к (произвольному) выбору класса высоты тона 0. Например, если сделать другой выбор относительно того, какой класс высоты тона обозначен как 0, то класс высоты тона E больше не будет обозначен «4». Однако расстоянию между D и F ♯ по-прежнему будет присвоено число 4. И это, и проблема в абзаце непосредственно выше могут рассматриваться как недостатки (хотя математически элемент «4» не следует путать с функцией «+4»).
Описанная выше система достаточно гибка, чтобы описать любой класс высоты тона в любой системе настройки: например, можно использовать числа {0, 2.4, 4.8, 7.2, 9.6} для обозначения пятитоновой шкалы, которая делит октаву поровну. Однако в некоторых контекстах удобно использовать альтернативные системы маркировки. Например, в just intonation мы можем выразить высоту тона в терминах положительных рациональных чисел п/д , выраженный ссылкой на 1 (часто пишется " 1/1 "), который представляет фиксированный шаг. Если a и b — два положительных рациональных числа, они принадлежат к одному и тому же классу шага тогда и только тогда, когда
для некоторого целого числа n . Поэтому мы можем представить классы высоты звука в этой системе, используя соотношения п/д где ни p, ни q не делятся на 2, то есть как отношения нечетных целых чисел. В качестве альтернативы мы можем представить только классы высоты интонации, сведя их к октаве, 1 ≤ п/д < 2.
Также очень распространено маркировать классы высоты тона со ссылкой на некоторую шкалу . Например, можно маркировать классы высоты тона n -тоновой равномерной темперации, используя целые числа от 0 до n − 1. Примерно таким же образом можно маркировать классы высоты тона гаммы C мажор, C–D–E–F–G–A–B, используя числа от 0 до 6. Эта система имеет два преимущества по сравнению с непрерывной системой маркировки, описанной выше. Во-первых, она устраняет любые предположения о том, что есть что-то естественное в двенадцатикратном делении октавы. Во-вторых, она избегает вселенных классов высоты тона с громоздкими десятичными расширениями, если рассматривать их относительно 12; например, в непрерывной системе классы высоты тона 19 равномерной темперации маркируются как 0,63158..., 1,26316... и т. д. Маркировка этих классов высоты тона {0, 1, 2, 3 ..., 18} упрощает арифметику, используемую при манипуляциях с наборами классов высоты тона.
Недостатком системы, основанной на гамме, является то, что она присваивает бесконечное количество различных названий аккордам, которые звучат одинаково. Например, в двенадцатитоновой равномерно темперированной системе трезвучие C мажор обозначается как {0, 4, 7}. В двадцатичетырехтоновой равномерно темперированной системе это же трезвучие обозначается как {0, 8, 14}. Более того, система, основанная на гамме, по-видимому, предполагает, что разные системы настройки используют шаги одинакового размера («1»), но имеют октавы разного размера («12» в двенадцатитоновой равномерно темперированной системе, «19» в девятнадцатитоновой равномерно темперированной системе и т. д.), тогда как на самом деле верно обратное: разные системы настройки делят одну и ту же октаву на шаги разного размера.
В целом, зачастую полезнее использовать традиционную целочисленную систему, когда работаешь в рамках одной темперации; при сравнении аккордов в разных темперациях более полезной может оказаться непрерывная система.
