12 равнотемперированных ( 12-ET ) [а] — музыкальная система, делящая октаву на 12 частей, все из которых одинаково темперированы (равноотстоящие друг от друга) в логарифмическом масштабе , с соотношением, равным корню 12-й степени из 2 ( 12 √ 2 ≈ 1,05946). Этот наименьший интервал, составляющий 1/12 ширины октавы , называется полутоном или полутоном.
Двенадцатитоновая равнотемперированная система — самая распространенная система в современной музыке. Это была преобладающая система настройки западной музыки, начиная с классической музыки , начиная с 18 века, и на протяжении тысячелетий до этого Европа почти исключительно использовала ее приближения. [ нужна цитация ] Он также использовался в других культурах.
В наше время 12-ET обычно настраивается относительно стандартной высоты 440 Гц, называемой A440 , что означает, что одна нота A настроена на 440 герц , а все остальные ноты определяются как несколько полутонов, кроме нее, либо выше. или ниже по частоте . Стандартная высота звука не всегда составляла 440 Гц. За последние несколько сотен лет он менялся и в целом рос. [1]
Двум фигурам, которым часто приписывают достижение точного расчета двенадцати тонов равного темперамента, являются Чжу Цзайюй (также латинизированный как Чу-Цайю. Китайский:朱載堉) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Фрица А. Каттнера, критик теории, [2] известно, что «Чу-Цайю представил в 1584 году весьма точный, простой и остроумный метод арифметического расчета равнотемперированных монохордов» и что «Саймон Стевин предложил математическое определение равнотемперированной плюс несколько менее точное вычисление соответствующих числовых значений в 1585 году или позже». События происходили независимо. [3]
Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу Цзайюю [4] и приводит в качестве доказательства текстовые цитаты. [5] Цитируется, что Чжу Цзайюй сказал в тексте, датированном 1584 годом: «Я основал новую систему. Я устанавливаю один фут как число, из которого должны быть извлечены остальные, и, используя пропорции, я извлекаю их. В целом нужно найти точные цифры для волынщиков за двенадцать операций». [5] Каттнер не согласен и отмечает, что его утверждение «нельзя считать правильным без существенных оговорок». [2] Каттнер предполагает, что ни Чжу Цзайю, ни Саймон Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни одного из двоих нельзя рассматривать как изобретателей. [3]
Полный набор бронзовых колокольчиков среди многих музыкальных инструментов, найденных в гробнице маркиза И Цзэна (ранние Воюющие царства, ок. V века до н.э. , китайский бронзовый век), охватывает пять полных семинотных октав в тональности До мажор, включая 12 нот полутона в середине диапазона. [6]
Приближение равного темперамента было описано Хэ Чэнтянем , математиком Южной и Северной династий , жившим с 370 по 447 год. [7] Он представил самую раннюю зафиксированную приблизительную числовую последовательность в отношении равного темперамента в истории: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509,5 479 450. [8]
Чжу Цзайюй (朱載堉), принц при дворе Мин , потратил тридцать лет на исследования, основанные на идее равного темперамента, первоначально постулированной его отцом. Он описал свою новую теорию высоты тона в своей работе « Слияние музыки и календаря », опубликованной в 1580 году. За этим последовала публикация подробного отчета о новой теории равного темперамента с точной числовой спецификацией для 12-ET в его 5000 -страничная работа «Полный сборник музыки и высоты звука » ( Yelü quan shu樂律全書) в 1584 году. [9] Расширенный отчет также дан Джозефом Нидхэмом. [5] Чжу получил свой результат математически, разделив длину струны и трубы последовательно на 12 √ 2 ≈ 1,059463, а длину трубы на 24 √ 2 , [10] так, что после двенадцати делений (октава) длина была разделена на коэффициент 2:
Аналогично, после 84 делений (7 октав) длина была поделена в 128 раз:
Чжу Цзайюй считается первым человеком, решившим проблему равного темперамента математически. [11] По крайней мере, один исследователь предположил, что Маттео Риччи , иезуит из Китая, записал эту работу в свой личный дневник [11] [12] и, возможно, передал ее обратно в Европу. (Стандартные ресурсы по этой теме не упоминают о таком переносе. [13] ) В 1620 году на работу Чжу ссылался европейский математик. [ ВОЗ? ] [12] Мюррей Барбур сказал: «Первое известное появление в печати правильных цифр для равного темперамента произошло в Китае, где блестящее решение принца Цайюй остается загадкой». [14] Немецкий физик XIX века Герман фон Гельмгольц писал в книге «О ощущениях тона », что китайский принц (см. ниже) ввел гамму из семи нот и что деление октавы на двенадцать полутонов было обнаружено в Китае. [15]
Чжу Цзайюй проиллюстрировал свою теорию равного темперамента, создав набор из 36 бамбуковых настраивающих трубок в трех октавах с инструкциями о типе бамбука, цвете краски и подробными спецификациями их длины, внутреннего и внешнего диаметра. Он также сконструировал 12-струнный настроечный инструмент с набором настроечных трубок, спрятанных внутри его нижней полости. В 1890 году Виктор-Шарль Махильон , хранитель музея консерватории в Брюсселе, продублировал набор звуковых трубок по спецификации Чжу Цзайюя. Он сказал, что китайская теория тонов знает больше о длине звуковых трубок, чем ее западный аналог, и что набор трубок, дублированный по данным Цзайюй, доказал точность этой теории.
Одно из самых ранних обсуждений равного темперамента встречается в трудах Аристоксена в IV веке до нашей эры. [16]
Винченцо Галилей (отец Галилео Галилея ) был одним из первых практических сторонников двенадцатитонового одинакового темперамента. Он составил набор танцевальных сюит на каждой из 12 нот хроматической гаммы во всех «тональностях транспонирования», а также опубликовал в своем « Фронимо » 1584 года 24 + 1 ричеркар . [17] Он использовал соотношение 18:17 для игры на лютне (хотя для чистых октав требовалась некоторая корректировка). [18]
Земляк Галилея и коллега- лютнист Джакомо Горзанис к 1567 году написал музыку, основанную на равном темпераменте . ) еще в 1507 году. [20] В 17 веке композитор-лютнист Джон Уилсон написал набор из 30 прелюдий, в том числе 24 во всех мажорных и минорных тональностях. [21] [22] Хенрикус Грамматеус приблизился к равной темперации в 1518 году. Первые правила настройки в равной темперации были даны Джовани Марией Ланфранко в его «Scintille de musica». [23] Зарлино в своей полемике с Галилеем первоначально выступал против равного темперамента, но в конце концов уступил ему в отношении лютни в своих «Музыкальных произведениях» в 1588 году.
Первое упоминание о равном темпераменте, связанном с корнем двенадцатой степени из двух на Западе, появилось в рукописи Саймона Стевина Van De Spiegheling der Singconst (около 1605 г.), опубликованной посмертно почти три столетия спустя, в 1884 г. [24] Однако из-за недостаточная точность его расчетов, многие полученные им значения длины хорды отклонялись на одну или две единицы от правильных значений. [13] В результате соотношение частот аккордов Саймона Стевина не имеет единого соотношения, а имеет одно соотношение на тон, что Джин Чо считает неправильным. [25]
Ниже была длина аккорда Саймона Стевина из Van de Spiegheling der Singconst : [26]
Поколение спустя французский математик Марин Мерсенн представил несколько равномерных темперированных хорд, полученных Жаном Бограном, Исмаэлем Буйо и Жаном Галлем. [27]
В 1630 году Иоганн Фаульхабер опубликовал таблицу монохорд за 100 центов, которая содержала несколько ошибок, связанных с использованием им логарифмических таблиц. Он не объяснил, как получил свои результаты. [28]
Примерно с 1450 по 1800 годы музыканты, играющие на щипковых инструментах (лютнисты и гитаристы), в целом отдавали предпочтение равному темпераменту, [29] а рукопись Броссара для лютни, составленная в последней четверти 17 века, содержит серию из 18 прелюдий, приписываемых Боке , написанных во всех тональностях, включая последнюю прелюдию под названием Prélude sur tous les тонны , которая энгармонически модулирует все тональности. [30] [ нужны разъяснения ] Анджело Микеле Бартолотти опубликовал серию пассакалий во всех тональностях, с соединяющими энгармонически модулирующими отрывками. Среди клавишных композиторов 17-го века Джироламо Фрескобальди выступал за равный темперамент. Некоторые теоретики, такие как Джузеппе Тартини , были против принятия равного темперамента; они чувствовали, что ухудшение чистоты каждого аккорда снижает эстетическую привлекательность музыки, хотя Андреас Веркмейстер решительно выступал за равный темперамент в своем трактате 1707 года, опубликованном посмертно. [31]
Двенадцатитональный равномерный темперамент прижился по разным причинам. Это удобно подходило к существующей конструкции клавиатуры и обеспечивало полную гармоническую свободу с бременем умеренных примесей в каждом интервале, особенно несовершенных созвучий. Это позволило добиться большего выражения посредством энгармонической модуляции , которая стала чрезвычайно важной в 18 веке в музыке таких композиторов, как Франческо Джеминиани , Вильгельм Фридеман Бах , Карл Филипп Эммануэль Бах и Иоганн Готфрид Мютель . [ нужна цитата ] Двенадцатитоновая равнотемперированная система имела некоторые недостатки, такие как несовершенная терция, но когда Европа перешла на равную темперацию, она изменила музыку, которую писала, чтобы приспособиться к системе и минимизировать диссонанс. [б]
Развитие равнотемпераментного темперамента с середины XVIII века подробно описано во многих современных научных публикациях: Это был темперамент выбора уже в классическую эпоху (вторая половина XVIII века ) , и стал стандартом в эпоху раннего романтизма (первое десятилетие XIX века), за исключением органов, которые перешли на него более постепенно, завершившись только во втором десятилетии XIX века. (В Англии некоторые соборные органисты и хормейстеры выступали против этого даже после этой даты; Сэмюэл Себастьян Уэсли , например, все время выступал против этого. Он умер в 1876 году . )
Точная равная темперация возможна с использованием метода Саббатини 17 века, согласно которому первая октава разделяется на три темперированные мажорные трети. [32] Это также было предложено несколькими авторами классической эпохи. Настройка без частоты биений, но с использованием нескольких проверок, обеспечивающая практически современную точность, проводилась уже в первые десятилетия XIX века. [33] Использование частоты ритмов, впервые предложенное в 1749 году, стало обычным явлением после того, как их распространили Гельмгольц и Эллис во второй половине 19 века. [34] Максимальная точность была достигнута с помощью двух десятичных таблиц, опубликованных Уайтом в 1917 году. [35]
Именно в среде равных темпераментов развивались и процветали новые стили симметричной тональности и политональности , атональная музыка , например, написанная с использованием двенадцатитоновой техники или сериализма , и джаз (по крайней мере, его фортепианная составляющая).
В двенадцатитоновой равнотемперации, разделяющей октаву на 12 равных частей, ширина полутона , т. е. соотношение частот интервала между двумя соседними нотами, равна корню двенадцатой степени из двух :
Этот интервал делится на 100 центов .
Чтобы найти частоту P n ноты в 12-ET, можно использовать следующее определение:
В этой формуле P n обозначает высоту звука или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. P a относится к частоте эталонного тона. n и a относятся к номерам, присвоенным желаемому шагу и эталонному шагу соответственно. Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, которым присвоены последовательные полутона. Например, A 4 (эталонная высота) — это 49-я клавиша слева от фортепиано (настроенная на 440 Гц ), а C 4 ( средняя C ) и F# 4 — это 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать для определения частоты C 4 и F# 4 :
Интервалы 12-ET очень близки к некоторым интервалам по интонации . [37]
12 ET очень точен в пределе 3, но по мере увеличения пределов простых чисел до 11 он постепенно ухудшается примерно на шестую полутона каждый раз. Его одиннадцатая и тринадцатая гармоники крайне неточны. 12 Семнадцатая и девятнадцатая гармоники ET почти так же точны, как и его третья гармоника, но к этому моменту основной предел стал слишком высоким, чтобы звучать созвучно большинству людей. [ нужна цитата ]
12 ET имеет очень хорошее приближение к идеальной квинте ( 3 /2) и его инверсия , чистая кварта ( 4 /3), особенно для разделения октавы на сравнительно небольшое количество тонов. В частности, идеальная квинта всего на одну пятьдесят первую полутона острее, чем равнотемперированная аппроксимация. Потому что мажорный тон ( 9 /8) — это просто две полные квинты минус октава и ее инверсия, пифагорейская минорная септима ( 16 /9), представляют собой просто две идеальные четверти вместе взятые, они по большей части сохраняют точность своих предшественников; ошибка удваивается, но остается маленькой – настолько маленькой, что люди не могут ее заметить. Можно продолжать использовать дроби с более высокими степенями тройки, следующие две будут 27 /16и 32 /27, но по мере увеличения членов дробей они становятся менее приятными для слуха. [ нужна цитата ]
12 Аппроксимация ET пятой гармоники ( 5 /4) отклоняется примерно на одну седьмую полутона. Поскольку интервалы, отступающие менее чем на четверть шкалы, по-прежнему звучат стройно, другие пятипредельные интервалы в 12 ET, такие как 5 /3и 8 /5, имеют ошибки одинакового размера. Таким образом, мажорное трезвучие звучит стройно, так как его соотношение частот составляет примерно 4:5:6, далее, слившись с его первым обращением и двумя субоктавными тониками, оно составляет 1:2:3:4:5:6, все шесть самых низких естественных гармоник басового тона. [ нужна цитата ]
12 Аппроксимация ET седьмой гармоники ( 7 /4) отклоняется примерно на одну треть полутона. Поскольку ошибка превышает четверть полутона, семипредельные интервалы в 12 ET имеют тенденцию звучать фальшиво. В тритоновых фракциях 7 /5и 10 /7, ошибки пятой и седьмой гармоник частично компенсируют друг друга, так что справедливые доли находятся в пределах четверти полутона от их равнотемперированных эквивалентов, но тритон по-прежнему звучит для большинства людей диссонансно. [ нужна цитата ]
Одиннадцатая гармоника ( 11 /8), на уровне 551,32 цента, находится почти ровно посередине между двумя ближайшими одинаково темперированными интервалами в 12 ET и, следовательно, не приближается ни к одному из них. Фактически, 11 /8почти настолько далек от любого равномерного приближения, насколько это возможно в 12 ET. Тринадцатая гармоника ( 13 /8), на две пятых полутона резче малой шестой, почти столь же неточно. Хотя это означает, что дробь 13 /11а также его инверсия ( 22 /13) точно аппроксимируются (в частности, тремя полутонами), так как ошибки одиннадцатой и тринадцатой гармоник в основном компенсируются, большинство людей, не знакомых с четвертями тонов или микротональностью, не будут знакомы с одиннадцатой и тринадцатой гармониками, поэтому эти дроби не звучало бы созвучно большинству людей. Точно так же, хотя ошибка одиннадцатой или тринадцатой гармоники могла быть в основном нейтрализована ошибкой седьмой гармоники, по тем же причинам, что и раньше, большинство западных музыкантов не находили полученные дроби созвучными. [ нужна цитата ]
Семнадцатая гармоника ( 17 /16) всего примерно на 5 центов острее, чем на один полутон в 12 ET. Его можно объединить с аппроксимацией третьей гармоники 12 ET, чтобы получить 17 /12, что является следующим приближением Пелля после 7 /5, всего на три цента от равнотемперированного тритона (квадратный корень из двух), и 17 /9, что всего на один цент отличается от основной седьмой позиции 12 ET. Девятнадцатая гармоника всего лишь примерно на 2,5 цента более плоская, чем три из 12 полутонов ET, поэтому ее также можно объединить с третьей гармоникой для получения 19 /12, что примерно на 4,5 цента более низкое, чем минорная шестая часть одинакового темперирования, и 19 /18, что примерно на 6,5 цента ниже полутона. Однако, поскольку 17 и 19 довольно велики для соотношений согласных, и большинству людей незнакомы 17 предельных и 19 предельных интервалов, 17 предельных и 19 предельных интервалов бесполезны для большинства целей, поэтому их, вероятно, нельзя рассматривать как играющие роль в любые созвучия 12 ET. [ нужна цитата ]
В следующей таблице размеры различных справедливых интервалов сравниваются с их равнотемперированными аналогами, выраженными как в пропорциях, так и в центах . Различия менее шести центов не могут быть замечены большинством людей, а также интервалы, составляющие более четверти шага; что в данном случае составляет 25 центов за фальшивый звук. [ нужна цитата ]
12-ET смягчает несколько запятых , означая, что есть несколько дробей, близких к 1 /1которые рассматриваются как 1 /112-ET из-за того, что он отображает разные фракции в один и тот же равнотемперированный интервал. Например,729/512( 3 6 /2 9) и 1024 /729( 2 10 /3 6) каждый сопоставлен с тритоном, поэтому номинально они рассматриваются как один и тот же интервал; следовательно, их частное,531441/ 524288 ( 3 12 /2 19) отображается/рассматривается как унисон. Это запятая Пифагора , и это единственная запятая с 3 пределами в 12-ET. Однако по мере увеличения предела простых чисел и включения большего количества интервалов количество запятых увеличивается. Самая важная пятипредельная запятая 12-ET — это81/ 80 (3 4/ 2 4 × 5 1 ), которая известна как синтонная запятая и является множителем между пифагорейскими терциями и шестыми и их справедливыми аналогами. Другие 5-предельные запятые 12-ET включают:
Одной из 7-предельных запятых, которые смягчает 12-ET, является семеричная клейсма , равная225/ 224 , или 3 2 ×5 2 /2 5 ×7 1. Другие запятые с 7 ограничениями в 12-ET включают:
Исторически использовалось несколько систем настройки, которые можно рассматривать как небольшие вариации 12-TEDO, с двенадцатью нотами на октаву, но с некоторыми изменениями в размерах интервалов, так что ноты не совсем равномерно расположены. Одним из примеров этого является трехпредельная шкала, в которой равномерные идеальные квинты в 700 центов заменяются правильно произнесенными чистыми квинтами в 701,955 центов. Поскольку эти два интервала различаются менее чем на 2 цента, или 1/600 октавы , эти две шкалы очень похожи. Фактически, китайцы разработали трехпредельную интонацию по крайней мере за столетие до того, как Хэ Чэнтянь создал последовательность 12-TEDO. [38] Точно так же пифагорейский строй, разработанный древними греками, был преобладающей системой в Европе до тех пор, пока в эпоху Возрождения европейцы не осознали, что диссонирующие интервалы, такие как 81 ⁄ 64 [39] , можно сделать более гармоничными, смягчая их до более простых. соотношения, такие как 5 ⁄ 4 , в результате чего в Европе возникла серия средних темпераментов , которые немного изменили размеры интервалов, но все же могли рассматриваться как приближение 12-TEDO. Из-за склонности средних темпераментов концентрировать ошибки на одной энгармонической идеальной квинте, что делает ее очень диссонирующей , европейские теоретики музыки, такие как Андреас Веркмайстер, Иоганн Филипп Кирнбергер, Франческо Антонио Валлотти и Томас Янг, создали различные хорошие темпераменты с целью разделения запятые вверх, чтобы уменьшить диссонанс наиболее пострадавших интервалов. Веркмайстер и Кирнбергер были недовольны своим первым темпераментом и поэтому создали несколько темпераментов, причем последние темпераменты более близко приближались к равному темпераменту, чем первые. Точно так же Европа в целом постепенно перешла от умеренного и хорошего темперамента к 12-TEDO, системе, которую она использует до сих пор.
Хотя в некоторых типах музыки, таких как сериализм , используются все двенадцать нот 12-TEDO, в большинстве музыкальных произведений используются только ноты из определенного подмножества 12-TEDO, известного как гамма. Существует множество различных типов весов.
Самый популярный тип шкалы в 12-TEDO — это один. Meantone относится к любой гамме, в которой все ноты идут подряд в квинтовом круге. Существуют шкалы средних тонов разных размеров, и некоторые используемые шкалы средних тонов включают в себя пятинотный средний тон , семинотный средний тон и девятинотный средний тон . Meantone присутствует в дизайне западных инструментов. Например, клавиши пианино и его предшественников устроены так, что белые клавиши образуют семинотную тональную гамму, а черные клавиши образуют пятитонную тональную гамму. Другой пример: гитары и другие струнные инструменты, имеющие как минимум пять струн, обычно настраиваются так, что их открытые струны образуют пятитоновую тональную гамму.
Другие гаммы, используемые в 12-TEDO, включают восходящую мелодическую минорную гамму , гармонический минор , гармонический мажор , уменьшенную гамму и ин-гамму .
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0e94dc870dfc2af0eb35a7b362eb3776054719)
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc85da07cabc4f33cc3fc965e9ef6e74361e7c7)
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\приблизительно 1,059463}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232c2beab28b1c46c328080d982595d9ef196e08)
![{\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(na)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381e111c79f7e16a073bbe05c6cabeaba2ff79a)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\approx 261,626\ \mathrm {Гц} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\approx 369,994\ \mathrm {Гц} \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2cc77efb874655e7633d236cfd2c9f7e5b8229)